李 化,王志軍,賀 靜

(1.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210；2.河北省工業(yè)機器人產業(yè)技術研究院，河北 唐山 063210；3.唐山工業(yè)職業(yè)技術學院，河北 唐山 063299)

0 引言

六維力傳感器因其具有同時感知并測量外力和外力矩的優(yōu)點[1]，被廣泛應用于航空航天、工業(yè)生產等領域[2]。在眾多傳感器中，Stewart并聯(lián)六維力傳感器因其具有剛度大、承載能力強、無誤差積累等優(yōu)點[3]，成為越來越多研究者的研究對象。趙延治等人提出了一種全壓向力弱耦合自標定并聯(lián)六維力傳感器結構，為自標定型傳感器奠定了基礎[4]；王志軍等人提出了一種新型的并聯(lián)預緊式雙層結構六維力傳感器，并建立其數(shù)學模型，對并聯(lián)預緊式六維力傳感器的研究與開發(fā)提供了參考[5]。

結構參數(shù)優(yōu)化是指對任務模型的結構參數(shù)進行調整，使其能夠適應特定的工作情況，對傳感器精度和實用性具有重要意義，為實際傳感器結構設計提供了重要參考。姚建濤和高峰分別從數(shù)學解析和性能圖譜方面分析了各向同性,優(yōu)化了傳感器結構參數(shù)[6-7]；佟志忠等人提出了考慮測量末端為解耦中心的結構參數(shù)優(yōu)化方法，為該類傳感器的研究提供了新的思路[8]。但是多數(shù)情況下，機器人工作環(huán)境是復雜的，此時，各向同性性能指標不是最優(yōu)的。因此，基于實際工況進行傳感器結構參數(shù)優(yōu)化并確定傳感器的量程，更具有實際工程意義。王航等人提出基于任務模型的傳感器性能優(yōu)劣評價指標，為并聯(lián)結構傳感器在實際應用中的結構設計奠定了基礎[9]。本文提出一種六分支正交并聯(lián)六維力傳感器，即水平測量分支與豎直測量分支正交排布，推導出其受到六維外力時，測量分支作用反力的映射矩陣，并基于工況函數(shù)，以減小傳感器測量分支量程且結構穩(wěn)定為優(yōu)化目標，提出一種基于實際工況函數(shù)的結構參數(shù)優(yōu)化方法，該方法以滿足工況函數(shù)為前提，確保了優(yōu)化結果的可行性。最后，以打磨衛(wèi)生陶瓷曲面為實例驗證了該優(yōu)化方法的優(yōu)越性。

1 六分支正交并聯(lián)六維力傳感器測量原理

1.1 傳感器結構分析

圖1為六分支正交并聯(lián)六維力傳感器的結構示意圖。該傳感器由測力平臺b1b2b3、固定平臺B1B2B3(兩平臺結構相同，半徑為a1,兩平臺之間距離為L)和6個測量分支(b1B1、b2B2、b3B3為3個豎直分布的測量分支，鉸點呈等邊三角形分布，b4B4、b5B5、b6B6為3個水平分布的測量分支, 均相切于半徑為a2的圓，切點為水平測量分支中點)組成，坐標系o-xyz為傳感器的測量基準坐標系，原點選擇為測力平臺幾何中心，測力平臺與水平測量分支之間的距離為a3。

圖1 正交并聯(lián)六維力傳感器結構示意圖

1.2 傳感器靜力學分析

以螺旋理論為基礎，六分支并聯(lián)六維力傳感器測力平臺靜力學平衡方程為：

Fw=Gf.

(1)

其中：Fw為作用在測力平臺上的空間三維外力或空間三維外力矩矢量;G為6個測量分支所受軸向力與六維外力之間的映射系數(shù)矩陣;f為6個測量分支軸向力矢量。

6個測量分支所受軸向力與六維外力之間的映射系數(shù)矩陣為：

(2)

Bp=[a1cosζpa1sinζp-L]Tp=1,2,3.

(3)

(4)

bp=[a1cosζpa1sinζp0]Tp=1,2,3.

(5)

(6)

在式(1)兩側同時乘以G-1得：

f=G-1Fw.

(7)

式(7)為六維外力與測量分支反作用力之間的關系 。

經(jīng)計算得：

(8)

式(8)為測力平臺在六維力作用下與測量分支作用反力的映射關系。由式(8)可看出，影響結構參數(shù)的只有a1、a2和a3，與各維列向量均不相關，即此時傳感器不處于奇異位形，則六維力可由分支軸向力唯一確定。

2 傳感器優(yōu)化準則

根據(jù)以上的理論分析可知，傳感器在受到外力時，如果每個測量分支只會受到沿軸線方向的拉力或者壓力時，通過分析傳感器每一個測量分支的受力情況就可以分析整體的受力。

本文以六分支正交并聯(lián)六維力傳感器為模型，當其滿足工況函數(shù)模型時，以減小測量分支量程為目標對其進行結構優(yōu)化。

設機器人完成一個工作周期的時間為T，在周期T內，由外力作用產生的軸向反作用力的函數(shù)表達式f(t)為：

f(t)=G-1Fw(t)=[f(t1)f(t2)…f(tn)].

(9)

其中：f(tj)為tj時刻測量分支在施加外力時產生的軸向反作用力，j=1,2,…,n。

第i個測量分支所受的軸向反作用力為fi(t)，表示為G的第i行與Fw(t)的代數(shù)和，由此易知，F(xiàn)w(t)在時間周期T∈(0,t)內有定義且有界，因此fi(t)為有界函數(shù)，即在時間周期T∈(0,t)內，fi(t)一定存在最小值和最大值。鑒于六維力傳感器的測量分支受到沿軸向正、反兩方向的力及繞軸向正、反兩方向的力矩，因此以測量分支軸向反作用力fi(t)的絕對值為優(yōu)化目標，優(yōu)化步驟如下：

(1) 計算測量分支受力最小。在時間周期T∈(0,t)內，存在：

fmin(t)≤|fi(t)|≤fmax(t)i=1,2,…，6.

(10)

其中：fmin(t)和fmax(t)分別為函數(shù)|fi(t)|的最小值和最大值。

第i個測量分支由外力引起的最大軸向反作用力為:

(11)

其中：Fxm、Fym、Fzm分別為空間外力x、y、z方向的最大值；Mxm、Mym、Mzm分別為空間外力矩x、y、z方向的最大值。

當測量分支量程軸向力的最大值趨于最小時，滿足傳感器的參數(shù)優(yōu)化，即在滿足工況函數(shù)的前提下，fi max(tj)最小，測量分支量程則最小。求解的具體方法如下：求出每一個測量分支的最大軸向力，對其取絕對值，fA為6個測量分支最大軸向力中的最大值，即fA為fmin中最大的一項；搜索fA，當fA取得最小時對應的結構參數(shù)即為優(yōu)化目標，即在滿足工況函數(shù)的前提下，測量分支的最大軸向力最小。經(jīng)優(yōu)化得到的傳感器在工況函數(shù)下測量分支量程最小，傳感器尺寸最小。

(2) 計算測量分支受力的方差最小。設σ為軸向反作用力f每一列的標準差，每一列的最大值為σB，搜索σB中的最小值，該最小值即為所對應的結構參數(shù)的優(yōu)化目標，即在工況函數(shù)下，測量分支軸向力趨于一個穩(wěn)定值，此時，傳感器各測量分支受力均衡，穩(wěn)定性好。

在滿足以上優(yōu)化方法時，工況函數(shù)下傳感器既滿足了測量分支量程較小，也使傳感器結構穩(wěn)定，傳感器結構達到了最優(yōu)?；诠r函數(shù)的結構參數(shù)優(yōu)化，對設計并聯(lián)結構六維力傳感器更具有應用價值。

3 六分支正交并聯(lián)六維力傳感器結構參數(shù)優(yōu)化

本文以六自由度通用機器人進行衛(wèi)生陶瓷曲面打磨作業(yè)為例，對具體的工況函數(shù)進行優(yōu)化。

通用機器人衛(wèi)生陶瓷曲面打磨作業(yè)具體工況如下：工作周期T=23 s，打磨步驟為吹塵(0≤t<17)-打磨外部曲面(17≤t<17.5)-打磨內部曲面(17.5≤t<22.5)-細致打磨不便打磨的地方(22.5≤t<23)。

根據(jù)衛(wèi)生陶瓷曲面打磨的經(jīng)驗，可得到具體的空間接觸外力函數(shù)Fx(t)、Fy(t)、Fz(t)(N)和空間接觸外力矩函數(shù)Mx(t)、My(t)、Mz(t)(N/mm)表達式:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Mz(t)=0 0≤t<23.

(17)

式(12)至式(17)確定了衛(wèi)生陶瓷在曲面打磨作業(yè)中受到的空間六維外力的工況函數(shù)Fw(t)。正交并聯(lián)六維力傳感器安裝在六自由度機器人手臂末端，檢測六維力Fw(t)在曲面打磨過程的變化。

由式(8)可以看出，六分支正交并聯(lián)六維力傳感器只有a1、a2、a3三個結構參數(shù)，為簡化計算，假設a3=15 mm，僅分析分支最大軸向力與結構參數(shù)a1、a2的關系即可。

給定結構參數(shù)a1和a2的區(qū)間[40,70]和[20,50] 以及步長向量λ=[1 1]。在a1和a2的區(qū)間內，根據(jù)已給定的步長λ逐一給映射關系矩陣G-1中的a1和a2賦值，再經(jīng)計算，整理得到式(9)和式(10)的具體表達，利用MATLAB分別進行數(shù)值計算獲得最終結果，如圖2、圖3所示。

由圖2、圖3可知：當傳感器滿足測量分支量程最小時，結構參a1=70 mm,a2=20 mm;當傳感器滿足結構最穩(wěn)定時，a1=70 mm,a2=28 mm。

由圖2可以看出，在自變量范圍內fA遞減；由圖3可以看出，在自變量a2∈(20,30)內，σB遞減。因此同時滿足兩種優(yōu)化結果時，取a1=(70+70)/2=70 mm，a2=(20+28)=24 mm。

圖2 測量分支受力最小優(yōu)化結果 圖3 測量分支受力方差最小優(yōu)化結果

4 結論

本文提出一種六分支正交并聯(lián)六維力傳感器，通過螺旋理論建立了其靜力學平衡方程，得到了測力平臺在六維力作用下向測量分支反作用力的映射關系。根據(jù)傳感器的受力情況，提出了一種基于工況函數(shù)的優(yōu)化準則，最后以六分支正交并聯(lián)六維力傳感器為例，針對機器人曲面打磨作業(yè)進行結構優(yōu)化，驗證了該優(yōu)化方法的可行性。

參考文獻：

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[9] 王航,姚建濤,侯雨雷,等.面向任務的并聯(lián)結構六維力傳感器設計[J].機械工程學報,2011,47(11):7-13.