王銀花 孫 濤

（銅陵學院電氣工程學院 安徽銅陵 244000）

香農(nóng)采樣定理的內(nèi)容表述為：一個頻譜有限的信號，當對其用采樣頻率大于信號最高頻率的2倍進行采樣得到樣本數(shù)據(jù)，則原來的模擬信號可以從樣本數(shù)據(jù)中完全重建。原始模擬信號的帶寬決定采樣間隔大小，當采樣間隔大小滿足香農(nóng)采樣定理時，采樣得到的序列不丟失原始模擬信號的全部信息。在通信領(lǐng)域中，由于任何通信設(shè)備都有其截止頻率，因此要求原始信號是頻譜有限信號的條件是適合通信系統(tǒng)的實際情況的。但是在其他很多領(lǐng)域如電磁場、地球物理學等，由于所涉及到的信號函數(shù)很多是緊支集的，且信號函數(shù)本身或者其導數(shù)不連續(xù)，其傅里葉變換得到的頻域函數(shù)的頻譜不可能是有限的，因此香農(nóng)采樣定理不再能適用。

小波分析是20世紀80年代中后期發(fā)展起來的，它是結(jié)合泛函分析、應(yīng)用數(shù)學、逼近論、調(diào)和分析、廣義函數(shù)論等數(shù)學知識的結(jié)晶。作為一種全新的分析信號的工具，克服了傅里葉分析的只是反映信號的整體特征，而非局部特征的不足，又克服了Gabor提出的窗口傅里葉變換中時—頻窗寬度固定，無法隨意更改窗結(jié)構(gòu)的不足。目前，小波分析在圖像處理、模式識別、數(shù)值分析、地震數(shù)據(jù)勘探和大氣科學等眾多非線性領(lǐng)域越來越發(fā)揮出創(chuàng)造性的作用，其潛在的應(yīng)用領(lǐng)域極其廣泛。

無線電通信是20世紀90年代初發(fā)展起來的。由天線感應(yīng)的射頻模擬信號盡可能直接進行數(shù)字化，將其轉(zhuǎn)化為適合信號處理器或者計算機處理的數(shù)據(jù)形式，然后可以通過算法來實現(xiàn)各種功能，這樣的做法使數(shù)據(jù)流具有更好的適應(yīng)性和可擴展性[1]。因此完成模擬信號的數(shù)字化就是極其重要的。信號可以通過采樣方式把模擬信號轉(zhuǎn)化為離散數(shù)值，再通過重構(gòu)公式和離散點的組合表示出原始信號，香農(nóng)等人在提出時域采樣定理后，后繼發(fā)展了頻域信號的采樣定理，多維信號的采樣定理，廣義平穩(wěn)信號的采樣定理以及非均勻采樣定理。本文是在非均勻采樣定理的思想下，利用小波變換理論，建立新的基于小波分析的采樣定理，它可以滿足不同領(lǐng)域的各種實際問題的需要。體現(xiàn)出小波分析這一新型工具用于采樣定理的優(yōu)越性。

一、采樣理論

（一）時域采樣定理。計算機處理信號需要將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，其第一步就是采樣。將連續(xù)信號采樣成離散信號，再經(jīng)過量化，編碼等處理成數(shù)字信號。以此得到的數(shù)字信號可以通過衛(wèi)星通道、微波干線、電纜、光纖等數(shù)字線路傳輸。

教材中對于滿足頻帶范圍有限的這一限定條件的信號，令其最高頻率為fm，用理想單位沖激響應(yīng)串δ(t-nT)與模擬信號f(t)相乘，得到離散信號fs(t)，其頻譜結(jié)構(gòu)是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，以采樣角頻率ωs為周期的延拓函數(shù)[2]。滿足奈奎斯特采樣頻率即（Fs≥2fm(Fs=1/T)）時，用低通濾波器從采樣信號中能不失真的提取原信號。

利用傅里葉反變換求出時域插值公式。即：

由插值公式與采樣離散點線性組合重構(gòu)出原始信號。

（1）式右邊用 S△f(t)表示，即：

當香農(nóng)采樣定理的限定條件不滿足時，對于任意取樣間隔，式（1）是不能成立的。即S△f(t)與f(t)會有較大偏差。

采樣問題研究以下兩個問題，第一，用什么樣的采樣方式可以使信號無損失。第二，插值函數(shù)的選取并用線性組合無失真的還原出原始模擬信號。

（二）非均勻采樣定理。香農(nóng)等人曾經(jīng)指出:當帶限信號f(t)在(-T,T)外，其采樣值準確為零時，則f(t)可以僅由2BT個采樣值來重構(gòu)，B指的是帶寬。同時，這2BT個采樣值不必是等間隔的采樣值[3]。

非均勻采樣定理可表述為：設(shè)f(t)為一帶限信號，其最高頻率為w,則f(t)可以由其某一組在周期非均勻采樣點t=τpm=tp+(mN/2w)，p=1,2......N，m=...-1,0,1...上的采樣值唯一確定。其重構(gòu)公式為：

式中

正是基于非均勻采樣的思想，本文研究討論基于小波變換的非均勻采樣定理特性。

二、小波變換與采樣

小波分析是克服傅里葉分析缺陷的一種新型研究信號的工具，傅里葉變換的基函數(shù)不是屬于平方可積的信號空間即，而小波函數(shù)滿足[4]。令小波函數(shù)的傅里葉變換為ψ(ω)，若其滿足條件：

則稱ψ(t)是一個小波母函數(shù)。小波函數(shù)具有衰減性和正負交替的波動性。由小波母函數(shù)經(jīng)過尺度變換和位移變換可以得到小波基函數(shù)。圖1所示就是一種小波基函數(shù)。

圖1 小波基函數(shù)

連續(xù)小波基函數(shù)的數(shù)學公式可表示為：

式（6）中為尺度參數(shù)，b為位移參數(shù)。

信號f(t)的連續(xù)小波變換的定義式為：

可見小波變換將一維的信號變換成依賴于參數(shù)的二維分析，故小波變換實際上是一種升維分析。任何變換必須有其逆變換才有意義。小波變換的逆變換是存在的。根據(jù)小波變換系數(shù)可以精確的恢復原信號。小波逆變換公式為：

式（8）說明對連續(xù)小波變換系數(shù)與小波基函數(shù)的乘積再做二重積可確定信號f(t)的重構(gòu)。

信號f(t)的連續(xù)小波變換系數(shù)信息是冗余的，在許多情況下，需要考慮數(shù)據(jù)壓縮和存儲計算，如圖像數(shù)據(jù)壓縮、語音數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)值計算等領(lǐng)域。希望在不丟失原始信號f(t)的情況下，盡可能地減小小波變換系數(shù)的冗余度。非正交離散小波變換能夠滿足這方面的要求。

式（7）中，當ψ(t)是正交小波時，應(yīng)滿足以下條件：

按照尺度參數(shù)=2-j，位移參數(shù)b=2-jk將小波離散化處理，降低了連續(xù)小波變換的冗余性。

將式（10）帶入式（7）得

其中。

式（13）就是小波采樣定理。對于任意f(t)∈L2(R)，連續(xù)小波變換系數(shù)Wf(a,b)把尺度參數(shù)和位移參數(shù)離散化后的Wf(2-j,k×2-j)與插值基函數(shù)Tj,k(a,b)相乘，二重求和就可以重構(gòu)原始信號。

三、Harr小波

以Harr小波為例，它是最早用到的，最簡單的具有緊支集的正交小波。

圖2 Harr尺度函數(shù)和Har小波函數(shù)

由式（13）得。

下面分情況討論，由此得出了中的表達式和圖像。

情況①：當，即

則由式（16）得

同理，情況②：當

情況③：當

利用MATLAB畫出情況③的Tj,k(a,b)圖像如圖3。

圖3 情況③的圖像

情況④：當

利用MATLAB畫出情況④的Tj,k(a,b)圖像如圖4。

圖4 情況④的圖像

四、結(jié)束語

隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機和數(shù)字化處理得的實際運用越來越多，采樣理論已經(jīng)成為現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)。經(jīng)典采樣定理僅對帶限信號成立[5]。實踐中在處理頻域非緊支集和非均勻采樣信號時，香農(nóng)定理很難保證信號的無失真?zhèn)鬏?，為解決這一問題，廣義采樣理論得到了迅速發(fā)展，廣義采樣研究的一個重要方向即是小波采樣理論[6]。本文以Harr小波為基礎(chǔ)，詳細逐步推論出小波采樣定理的優(yōu)越性。在香農(nóng)采樣定理當中，單位理想沖激串是等間隔采樣的，而小波采樣定理卻不要求等間隔采樣，而是以2-j整數(shù)倍為采樣間隔。同時在香農(nóng)采樣定理當中，要求原始模擬信號f(t)是頻帶有限的連續(xù)信號。而利用小波采樣理論卻只要求信f(t)∈L2(R)，也即。這顯然降低了帶限信號的要求。由此看出小波升維分析的優(yōu)越性。

[1]王志田.軍用軟件無線電通信技術(shù)發(fā)展分析[J].中國新通信，2016(24)：23-24.

[2]燕慶明.信號與系統(tǒng)教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010：139.

[3]李秋生，也麗華.帶通信號采樣理論中的若干問題研究[J].井岡山大學學報（自然科學版），2017(2)：61-65.

[4]王經(jīng)民.小波分析[M].陜西：西北農(nóng)林科技大學出版社，2004：190.

[5]周盼盼,付應(yīng)雄.一類非帶限信號的采樣定理[J].湖北大學學報（自然科學版），2017(5)：542-545.

[6]張治國,黃建國,劉震.小波采樣的濾波算法研究[J].湖北大學學報（自然科學版）電子科技大學學報，2010(6)：900-905.

[責任編輯 鄭麗娟]