赫美琳，高明慧，李 爽，楊開偉

（1.中國人民解放軍92941部隊，葫蘆島 125001；2.海軍航空大學，煙臺 264001；3.中國電子科技集團公司第54研究所，石家莊 050081；4.衛(wèi)星導航系統(tǒng)與裝備技術國家重點實驗室，石家莊 050081）

1 引言

相機標定即計算相機內部參數(shù)的過程。相機標定的常用方法可以分為兩類：傳統(tǒng)相機標定方法和相機自標定法。傳統(tǒng)相機標定法有直接線性變換法、兩步法、張正友標定法等，近幾年又提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡、粒子群、遺傳算法的相機標定算法。相機自標定法，由Faugeras和Maybank等于20世紀90代提出，一般應用在相機的焦距等內部參數(shù)需要經(jīng)常調整或相機的位姿經(jīng)常變化的情況下，每對相機做一次調整，都必須對相機的內外參數(shù)進行重新標定，應用的場合主要有：主動視覺系統(tǒng)和移動機器人視覺系統(tǒng)等，因為在這些應用場景中放置標定參照物是不現(xiàn)實的，因此在這種應用背景下就必須采用一種不需要標準參照物的相機標定方法。相機自標定方法，不需要標準參照物，僅利用相機在運動過程中的圖像序列就可以完成相機內外參數(shù)的計算。

針對傳統(tǒng)的相機標定過程復雜、對標定參照物精度要求高等問題，本文介紹了一種簡單快速的相機標定方法，具有流程簡單、準確率高、算法魯棒性強的優(yōu)點。

2 相機成像模型

2.1 相機坐標系轉換

像素坐標系是以像素為單位建立的坐標系，圖像坐標系是以物理單位而建立的坐標系。像素坐標系和圖像坐標系如圖1所示：

圖1中，像素坐標系的原點為圖像中的O0點，坐標軸為u軸和v軸，像素的坐標（u，v）代表該像素位于圖像矩陣中的第u行、第v列。圖像坐標系的原點為圖像中O1點，原點O1為相機光心，即相機光軸與成像平面的交點。圖像坐標系坐標軸為x軸、y軸，分別平行于像素坐標系的坐標軸。

圖像坐標系原點O1在像素坐標系中的坐標為（u0，v0），像素的物理尺寸大小為dx，dy，則像素在兩個坐標系下的轉換關系為：

相機的成像幾何關系如圖2所示：

圖2 相機的成像幾何關系

其中，點O為相機光心；OO1為相機焦距f；點O1為圖像坐標系的原點。相機坐標系原點為點O，坐標軸為Xc，Yc，Zc軸，坐標軸Xc和Yc分別與圖像坐標系中的x軸、y軸平行，Zc軸為相機的光軸。世界坐標系原點為Ow，坐標軸為圖中的Xw，Yw，Zw軸，相機可以安放在室內環(huán)境中的任何位置，所以相機坐標系是隨相機位姿變化而變化的，因此需要設置世界坐標系。

假設空間中存在一點P，在相機坐標下的坐標為（Xc，Yc，Zc，1）T，在世界坐標下的坐標為（Xw，Yw，Zw，1）T，則兩個坐標系之間的轉換關系如式（4）所示：

式中，R為3*3旋轉矩陣；t為3*1平移向量；0=[0 0 0]T；M1為R，t組成的4*4矩陣，為相機坐標系與世界坐標系的轉換矩陣。

2.2 相機針孔成像模型

在忽略相機畸變的條件下，相機的成像模型近似為針孔模型，即空間中任意一點P在圖像上的投影位置為點p，即相機光心O與P點的連線OP與圖像平面的交點（如圖2所示）。比例關系如式（5）：

式中，（x，y）為投影點p在圖像坐標系下的坐標；（Xc，Yc，Zc）為空間點P在相機坐標系下的坐標；f為相機焦距。上述關

式中，；M為3*4矩陣，稱為投影矩陣；M1由決定，只與相機內部結構相關，為相機內部參數(shù)；M2由R，t決定，R，t代表相機在世界坐標系中的位姿，為相機外部參數(shù)。

2.3 相機的畸變參數(shù)

由于針孔成像模型忽略了相機的畸變，因此不能準確地描述相機的成像幾何關系。相機畸變包含三種類型：徑向畸變產(chǎn)生的原因是成像平面與透鏡平面不嚴格平行，它造成的不利影響有兩種，一種是枕型效應，一種是桶型效應，在圖像中表現(xiàn)為遠離中心位置的圖像部分會存在一定程度的畸變；切向畸變是由于透鏡與成像平面不嚴格平行造成的；薄棱鏡畸變是透鏡制造過程中存在缺陷造成的。相機的徑向和切向畸變如圖3所示。

圖3 相機的徑向和切向畸變

采用下列公式描述相機的非線性畸變：

式中，為按照針孔成像模型計算出的投影點p在圖像坐標系下的坐標；x，y為投影點p在圖像坐標系下的真實坐標；等式右邊第一項為徑向畸變，第二項為切向畸變，第三項為薄棱鏡畸變，各項的系數(shù)k1，k2，p1，p2，s1，s2稱為非線性畸變參數(shù)。

一般情況下，描述相機的非線性畸變只需要考慮等式（8）中的第一項徑向畸變。如果只考慮徑向畸變，等式（8）表示為：

式中，r2=x2+y2。該式表明x方向和y方向的徑向畸變大小與半徑的平方成正比，即越遠離圖像中心畸變越大。參數(shù)和畸變參數(shù)k1，k2，p1，p2，s1，s2構成非線性模型的相機內部參數(shù)。

由上述相機成像過程得到三維空間中任意一點與其投影在圖像上的點之間的對應關系，相機成像過程示意圖如圖4所示：

圖4 相機成像過程示意圖

3 相機標定

本文方法利用多幅不同位置和角度拍攝的平面棋盤格圖像求解相機內外參數(shù)。該標定法的過程可以分成兩步：第一步，采用針孔成像模型，建立線性方程組，求解相機內、外參數(shù)的初始值，然后以該參數(shù)作為初始值，采用最大似然進行非線性優(yōu)化；第二步，考慮相機的徑向畸變，采用非線性模型求解相機內外參數(shù)。具體實現(xiàn)步驟如下：

假設已知空間一點P的世界坐標為，對應的投影點P在像素坐標系下的坐標為P=（u，v）T，它們對應的齊次坐標分別為和=（u，v）T，空間點P和投影點P的映射關系如式（10）：

式中，s為比例因子；R、t分別為旋轉矩陣和平移向量；A為相機內參矩陣，即

式中，fu，fv為圖像橫縱坐標軸的尺度因子即焦距與像素寬和高的比值；（u0，v0）為相機光軸與圖像平面交點的坐標。

用ri表示旋轉矩陣R的第i列，因為采用平面棋盤格進行標定，所以所有的空間參考點的Zw=0，由此式（12）還可以表示為：

利用最小二乘法求解式（14）可得h，進而得到單應性矩陣H的大小，按這種方法求得的單應性矩陣H與真正的單應性矩陣之間存在比例因子λ，設H=[h1h2h3]，則有：

單應性矩陣H中包含相機的內外參數(shù)，通過單應性矩陣求解出相機的內外參數(shù)。將單應性矩陣中分解得到相機的內外參數(shù)，設矩陣B滿足下列條件：

求得相機內參數(shù)矩陣參數(shù)，利用內參矩陣A來確定相對于每幅圖像的外參數(shù)，即旋轉矩陣R和平移向量t：

設每幅棋盤格圖像中包含W個標定參考點，每個標定點的坐標受到相同的噪聲干擾，噪聲滿足獨立同分布，利用最大似然估計對上述計算結果進一步優(yōu)化，建立如下目標函數(shù)：

式中，Pij為三維空間中第i個參考點在第j幅圖像上的投影點的坐標；Ri，ti分別為第i幅圖像的旋轉矩陣和平移向量；Pi為空間中第i個參考點在世界坐標系下的三維坐標；為投影點由相機內外參數(shù)計算得到的圖像坐標系下的二維坐標。通過目標函數(shù)（26）的將相機標定參數(shù)求解問題轉化為非線性優(yōu)化問題，使目標函數(shù)最小的A，R，t即該問題的最優(yōu)解。將由方程組（25）求得的結果作為初始值，然后通過牛頓法、高斯牛頓法或Levenberg-Marquarant法進行求解。

針對相機成像過程中存在的鏡頭畸變問題，在計算相機內外參數(shù)的公式中加入鏡頭的一階和二階徑向畸變，并假設相機鏡頭在X軸方向與Y軸方向的畸變系數(shù)相同。設徑向畸變的畸變模型為：

求得相機的一級徑向畸變和二級徑向畸變系數(shù)k1，k2，利用已經(jīng)求出內外參，重新利用L-M算法迭代進行最小化處理，進一步優(yōu)化所有的參數(shù)，得到最終相機的內部參數(shù)和畸變系數(shù)。

4 系統(tǒng)實驗及結果分析

實驗平臺為：Inter（R）Core（TM）i5-4460 CPU，主頻：3.20 GHz，內存大小：8.00 GB。

4.1 實驗數(shù)據(jù)集

實驗選用蘋果電腦一體機Isight 攝像頭，分辨率大小設置為320×240。標準標定參照物分為三類：三維、虛擬三維和二維。三維標定物一般用于高精度的標定，但存在制造復雜成本高的缺點。虛擬三維標定物是按照已知的移動方式移動二維標定物來模擬三維場景，其不足是需要使用高精度運動平臺來實現(xiàn)，標定過程復雜成本高昂。本論文采用二維標定參照物，即使用A4紙打印的黑白相間的棋盤格，棋盤格數(shù)為7×10，每個方格的大小為19mm×19mm，如圖5所示：

影響相機定標結果的準確性和穩(wěn)定性的因素除標定算法本身外還有操作過程引入的誤差，主要有三類：標定棋盤所在平面與成像平面間的夾角；標定時拍攝的棋盤格圖像的數(shù)目；手動提取圖像上的角點時存在誤差。為了減小操作過程引入的誤差，在實際標定過程中，共拍攝16幅棋盤圖像，每拍攝一次就要調整一次標定板的位姿，使每幅圖像拍攝的角度和距離各不相同，如圖6所示：

圖5 棋盤格圖像

圖6 相機標定圖像

4.2 實驗結果及分析

相機與棋盤格之間的位置關系如圖7所示。

圖7 相機與棋盤格的位置關系

從圖8中可知，同一顏色的小十字表示同一幅標定板圖像，x軸和y表示誤差，單位為像素。距離坐標原點（0，0）越近的點，誤差越小，反之，越大。實驗表明，最終得到的參數(shù)精度較高。

相機內參標定結果如表1所示：

表1 相機內部參數(shù)標定結果

圖8 重投影誤差圖

5 結束語

本文對基于棋盤格的相機標定法進行深入研究，詳細闡述了方法的理論原理，分析了相機參數(shù)模型，并進行相機的參數(shù)標定實驗，通過對實驗結果的分析表明該方法具有步驟簡單、精度較高的優(yōu)勢。下一步準備開展基于雙目的相機標定算方法研究。

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