苗李達(dá)，姜青山

（海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001）

0 引言

武裝直升機(jī)對地面目標(biāo)攻擊的主要武器是空地導(dǎo)彈和火箭彈，兩者各有優(yōu)劣?？盏貙?dǎo)彈射程大、命中精度高，對地面目標(biāo)具有高殺傷力［1］，但是空地導(dǎo)彈成本高、重量大、易受干擾，飛機(jī)掛載數(shù)量少?；鸺龔棾杀镜?、重量輕，可以大量裝備用于齊射和連射，在短時間內(nèi)大量發(fā)射以壓制目標(biāo)，并且不易受干擾，但是火箭彈射程近、彈著點(diǎn)散布大［2］、殺傷力低。同時，在現(xiàn)代作戰(zhàn)條件下，武裝直升機(jī)對地攻擊行動一般并不是由單架執(zhí)行，而是由多架飛機(jī)組成編隊，協(xié)同對多個地面目標(biāo)進(jìn)行［3］，所以合理可行的火力分配方法便成為武裝直升機(jī)編隊對地攻擊研究的一個方面。編隊對地攻擊火力分配的目的［4］是確定對各個攻擊目標(biāo)實(shí)施何種強(qiáng)度的火力打擊，使火力分配結(jié)果在滿足各種約束的條件下，整個編隊的作戰(zhàn)效能最高或在滿足作戰(zhàn)任務(wù)要求的前提下作戰(zhàn)代價最小。由于一些目標(biāo)有厚重的裝甲或堅固的掩體保護(hù)，攻擊時需要多枚同類或不同種類彈藥共同積累疊加以達(dá)到任務(wù)要求的毀傷效果，所以在考慮武裝直升機(jī)編隊對目標(biāo)的毀傷效能時應(yīng)當(dāng)考慮到對不同目標(biāo)的不同毀傷積累效果。涉及目標(biāo)毀傷積累的武裝直升機(jī)編隊對地攻擊火力分配是一個純整數(shù)非線性規(guī)劃問題（PINLP），本文使用分支定界方法求解。

1 直升機(jī)編隊對地攻擊火力分配模型

1.1 有毀傷積累的毀傷概率模型

毀傷概率，是衡量武器系統(tǒng)在給定投射條件下戰(zhàn)斗部毀傷目標(biāo)可能性大小的量度，表示目標(biāo)被毀傷的可能性與發(fā)射彈藥數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系。

式中，P為目標(biāo)毀傷概率，x為向目標(biāo)發(fā)射的彈藥數(shù)量。對于不同目標(biāo)，毀傷概率函數(shù)不盡相同，但在彈藥確定的情況下，主要取決于目標(biāo)的性質(zhì)，目標(biāo)“硬度”越低，彈藥命中后對目標(biāo)的毀傷就越大，反之亦然。如果一枚導(dǎo)彈或火箭彈命中目標(biāo)，目標(biāo)便被摧毀，如果未命中，目標(biāo)則完好，即每一枚彈藥擊毀目標(biāo)的事件均是相互獨(dú)立的，此類毀傷概率屬于無積累毀傷概率，例如空地導(dǎo)彈對地面非裝甲車輛的毀傷。無積累毀傷概率的表達(dá)式為：

但在實(shí)際作戰(zhàn)中，被攻擊的地面目標(biāo)都有一定“硬度”，如裝甲目標(biāo)、堅固掩體等，一枚彈命中只能造成目標(biāo)某種程度的損壞，而達(dá)不到判定目標(biāo)被毀傷的程度，或在攻擊集群目標(biāo)時，命中的彈藥只能對集群目標(biāo)的一部分造成毀傷，卻達(dá)不到使集群目標(biāo)整體毀傷的效果。同時，命中同一目標(biāo)的多發(fā)彈藥之間的關(guān)系也不是相互獨(dú)立的。每發(fā)命中的彈藥都會對目標(biāo)造成損傷，從而使后續(xù)發(fā)射彈藥的毀傷概率值不減。即

在這種情況下，目標(biāo)的毀傷概率屬于有毀傷積累的毀傷概率。

典型的有毀傷積累的目標(biāo)毀傷概率模型［5］有突變型積累模型、線性積累模型、指數(shù)型積累模型、正態(tài)型積累模型、反轉(zhuǎn)正態(tài)型積累模型等。其中，突變型積累模型更適合描述道路、橋梁等的毀傷情況；反轉(zhuǎn)正態(tài)型積累模型只適合反映堅固目標(biāo)的毀傷情況，不適合描述非裝甲類目標(biāo)和有生力量；指數(shù)型積累模型可以通過適當(dāng)改變積累強(qiáng)度系數(shù)，反映廣泛類型的目標(biāo)積累毀傷，也可以近似描述線性積累模型和正態(tài)型積累模型所反映的目標(biāo)毀傷情況。因此，本文采用指數(shù)型積累模型。

指數(shù)型積累模型的表達(dá)式為：

式中，p為彈藥單發(fā)殺傷力；q為彈藥單發(fā)命中概率；u為調(diào)整參數(shù)，一般取略高于編隊可攜帶該種彈藥總量的定值；k為毀傷積累強(qiáng)度系數(shù)，反映目標(biāo)的“硬度”，決定了模型曲線的形狀。

圖1 不同k值下的指數(shù)型毀傷積累概率

如圖1所示，當(dāng)k=1時，曲線接近為一條直線；當(dāng)k＞1并且持續(xù)增大時，積累強(qiáng)度增大，曲線向左上方彎曲呈凸型，這時對目標(biāo)發(fā)射很小數(shù)量的彈藥時，便可以產(chǎn)生很大的毀傷概率，但隨著彈藥發(fā)射數(shù)量的增加，毀傷概率增大的幅度逐漸減小，即P''（x）＜0。例如，當(dāng)k=5，x=1時，P（x）=0.465，當(dāng)x=3時，P（x）便已經(jīng)達(dá)到了0.918。這種曲線可以表示如非裝甲車輛、人員、技術(shù)裝備等目標(biāo)，這類目標(biāo)的特點(diǎn)是“硬度”較低，命中目標(biāo)的彈藥與目標(biāo)“硬度”相比，威力巨大，只需發(fā)射少量彈藥就可造成十分可觀的毀傷效果。當(dāng)實(shí)際發(fā)射數(shù)量達(dá)到一定數(shù)值時（如k=5，x=3），即使發(fā)射彈藥的數(shù)量成倍增長，毀傷概率提升的幅度也很不明顯，因此，攻擊此類目標(biāo)時少分配彈藥即可。當(dāng)k＜1并且持續(xù)減小時，積累強(qiáng)度降低，曲線向右下方彎曲呈凹型，這時當(dāng)發(fā)射的彈藥數(shù)量不大時，毀傷概率很小，隨著發(fā)射數(shù)量的增加，毀傷概率提升的速度逐漸加快，即P''（x）＞0。例如，當(dāng) k=0.1，x=4 時，P（x）只能達(dá)到 0.077，當(dāng)x 提高到 7 時，P（x）也只有 0.295，但之后 P（x）隨 x的增大幅度明顯遞增。這種曲線可以表示如堅固掩體、永備工事等目標(biāo)，這類目標(biāo)的特點(diǎn)是外部“硬度”高，易造成毀傷的核心部位被堅硬的“外殼”包裹。為達(dá)到較高毀傷效果，需要先發(fā)射足夠的彈藥將“外殼”擊破，目標(biāo)失去“外殼”的保護(hù)時，再發(fā)射的彈藥對目標(biāo)的毀傷效果會顯著提升，因此，為達(dá)成毀傷此類目標(biāo)的目的，需要分配足夠多的彈藥?？梢姡S著k值的變化，指數(shù)型積累模型能夠表現(xiàn)相當(dāng)廣泛的積累毀傷情況。

當(dāng)對某一目標(biāo)累計發(fā)射x枚導(dǎo)彈和y枚火箭彈時，可以認(rèn)為兩種武器之間的毀傷概率是相互獨(dú)立的，若x枚導(dǎo)彈造成的毀傷概率為P1（x），y枚火箭彈造成的毀傷概率為P2（y），則對該目標(biāo)進(jìn)行攻擊造成的總的毀傷概率 P（x，y）為：

將式（4）帶入式（5）得到目標(biāo)遭受兩種武器攻擊時的毀傷概率為：

1.2 編隊對目標(biāo)群的積累毀傷價值模型

目標(biāo)毀傷價值是指目標(biāo)受到攻擊時所失去的軍事或經(jīng)濟(jì)價值。可以表示為目標(biāo)實(shí)際價值與毀傷概率的乘積，設(shè)第i個目標(biāo)的實(shí)際價值為Ei，則對該目標(biāo)發(fā)射xi枚導(dǎo)彈和yi枚火箭彈的積累毀傷價值Fi為：

在一波武裝直升機(jī)編隊作戰(zhàn)中，對N個目標(biāo)進(jìn)行攻擊的積累毀傷價值F為：

在編隊規(guī)模一定的前提下達(dá)到最大的毀傷價值即最大效能，需要合理地制定掛彈方案并且優(yōu)化分配對不同目標(biāo)的導(dǎo)彈和火箭彈發(fā)射量。這是一個純整數(shù)非線性規(guī)劃問題（PINLP），這類規(guī)劃中的全部自變量限制為整數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)。一般來說，非線性整數(shù)規(guī)劃要比線性整數(shù)規(guī)劃問題困難得多，目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法主要包括分枝定界法、割平面法、隱枚舉法、匈牙利法和蒙特卡洛法［6］。隱枚舉法和匈牙利法主要用于求解“0-1”整數(shù)規(guī)劃，蒙特卡羅法引入隨機(jī)數(shù)，每次計算的結(jié)果都是不一樣的，精度不易保證。分枝定界法和割平面法的核心思想基本相同，在Lingo軟件中前者有算法模塊［7］，所以本文采用分枝定界法求解火力分配模型。

2 編隊火力分配模型的解算

2.1 問題描述

武裝直升機(jī)編隊對地攻擊火力分配模型的表述形式如下：由n架直升機(jī)組成的編隊對N個地面目標(biāo)實(shí)施攻擊，每架直升機(jī)可以選擇掛載導(dǎo)彈或火箭彈。模型的分配目的是確定對每個目標(biāo)發(fā)射的導(dǎo)彈和火箭彈數(shù)量，使目標(biāo)分配結(jié)果和掛彈方案在滿足約束的前提下達(dá)到毀傷價值最高。

該模型的決策變量為對各目標(biāo)發(fā)射的導(dǎo)彈和火箭彈數(shù)量，可分別用向量、向量表示。目標(biāo)函數(shù)是編隊對目標(biāo)群的毀傷價值，將式（6）帶入式（8）得：

式（9）說明了在目標(biāo)性質(zhì)一定的情況下，毀傷價值只是彈藥分配方式的函數(shù)。編隊能攜帶的彈藥總量和掛彈方案構(gòu)成約束條件，即在保證每架飛機(jī)的掛彈符合要求的前提下，發(fā)射彈藥的總量不能超過n架直升機(jī)可掛載的最大值，同時X、Y中的元素只能取0或正整數(shù)。設(shè)每架直升機(jī)上有g(shù)個掛點(diǎn)，每個掛點(diǎn)允許掛載m1枚導(dǎo)彈或m2枚火箭彈，則約束條件表示為：

式中，ceil（a）表示向不小于a的最接近整數(shù)取整。

綜上，武裝直升機(jī)編隊火力分配問題優(yōu)化模型就是在約束（10）下使目標(biāo)函數(shù)（9）達(dá)到最大。

2.2 求解步驟

先將約束（10）中的整數(shù)約束去掉，與目標(biāo)函數(shù)（9）合并，得到原模型的松弛模型。

用連續(xù)優(yōu)化方法求解式（11），得到解xi'（i=1，2，…，N）T和yi'（i=1，2，…，N）T。所得解若全為整數(shù)，則所得解為最優(yōu)解。否則在非整數(shù)解xi'或yi'的周圍沿著目標(biāo)函數(shù)值上升的方向構(gòu)建約束條件xi≤xi'和xi'≤xi+1或 yi≤yi'和 yi'≤yi+1 與式（11）組成新的問題，求解新問題。檢查新問題的目標(biāo)函數(shù)值，找出最大的那一個，檢查該整數(shù)解是否為可行解，保留可行解，舍棄非可行解，以此類推。直至全部檢查完畢，得到最優(yōu)整數(shù)解，求解流程如下頁圖2所示。

3 應(yīng)用實(shí)例

由3架武裝直升機(jī)組成的編隊對15個地面目標(biāo)實(shí)施攻擊，其中前9個目標(biāo)為價值大、防護(hù)好的目標(biāo)，如指揮所、碉堡、坦克。后6個目標(biāo)為價值小、防護(hù)差的目標(biāo)，如非裝甲車輛、技術(shù)裝備。目標(biāo)基本屬性如表1所示。

圖2 優(yōu)化模型求解流程

表1 目標(biāo)基本屬性

設(shè)直升機(jī)可攜帶的空地導(dǎo)彈單發(fā)威力p1=40，單發(fā)命中率q1=0.9，火箭彈單發(fā)威力p2=10，單發(fā)命中率q2=0.65。每架飛機(jī)有4個武器掛點(diǎn)，每個武器掛點(diǎn)允許掛載1枚空地導(dǎo)彈，或者使用兩個掛點(diǎn)掛載1個火箭發(fā)射器，內(nèi)裝7枚火箭彈，因此，編隊可最多攜帶空地導(dǎo)彈12枚，最多攜帶火箭彈42枚，可取u1=13、u2=43。由式（7）得對不同目標(biāo)進(jìn)行不同數(shù)量武器攻擊所產(chǎn)生的積累毀傷價值如表3所示，根據(jù)表2制成圖3。

表2 武器發(fā)射數(shù)量與目標(biāo)毀傷價值（部分）

圖3 武器發(fā)射數(shù)量與目標(biāo)毀傷價值（部分）

圖3中，x軸表示對目標(biāo)實(shí)施攻擊的火箭彈數(shù)量，y軸表示對目標(biāo)實(shí)施攻擊的導(dǎo)彈數(shù)量，z軸表示目標(biāo)毀傷價值。對同一目標(biāo)，?z/?y＞?z/?x，即毀傷價值沿y軸增加的速度高于沿x軸增加的速度，這是由于導(dǎo)彈的單發(fā)威力和命中率都高于火箭彈。毀傷積累強(qiáng)度系數(shù)決定毀傷概率的增長趨勢，目標(biāo)14的毀傷積累強(qiáng)度系數(shù)為9.25，發(fā)射1枚導(dǎo)彈或2枚火箭彈就可以達(dá)到90%以上的毀傷。目標(biāo)3的毀傷積累強(qiáng)度系數(shù)為0.08，發(fā)射1枚導(dǎo)彈或2枚火箭彈只能造成20.7%或2.4%的毀傷。

使用Lingo仿真解算，maxF=106.32，具體彈藥分配結(jié)果如下：

表3 取得最大毀傷價值時的彈藥分配方案

可同樣計算出，若編隊全部攜帶導(dǎo)彈，最大毀傷價值為97.21，全部攜帶火箭彈，最大毀傷價值為59.57。結(jié)合表1可以看出，應(yīng)分配導(dǎo)彈攻擊價值大但不易毀傷的目標(biāo)，如裝甲和工事類目標(biāo)；火箭彈攻擊價值小但容易毀傷的目標(biāo)，如非裝甲類和零散目標(biāo)。在兩種目標(biāo)都存在的前提下，使用導(dǎo)彈和火箭彈配合攻擊比單純使用一種武器效果更好。結(jié)合飛機(jī)掛載能力，編隊的掛彈方案為攜帶空地導(dǎo)彈10枚，火箭彈7枚，因此，安排2架飛機(jī)各掛載空地導(dǎo)彈4枚，1架飛機(jī)掛載空地導(dǎo)彈2枚，火箭發(fā)射器1個，內(nèi)裝火箭彈7枚。

4 結(jié)論

本文提出了有毀傷積累的對地攻擊毀傷概率，通過毀傷積累強(qiáng)度系數(shù)的變化，可建立表示廣泛類型目標(biāo)的指數(shù)型毀傷積累模型，并結(jié)合目標(biāo)實(shí)際價值，建立武裝直升機(jī)編隊對地面目標(biāo)群火力攻擊的毀傷價值模型。運(yùn)用非線性分支定界算法，解算出編隊對目標(biāo)群實(shí)施火力攻擊的最大毀傷價值，并得出對各目標(biāo)需要分配的彈藥種類及數(shù)量，進(jìn)而給出編隊出動時的掛彈方案。通過應(yīng)用實(shí)例，證實(shí)了方法的有效性。同時，也分析了武裝直升機(jī)兩種典型對地攻擊武器適合攻擊的目標(biāo)，可以為武裝直升機(jī)編隊指揮員在進(jìn)行毀傷評估分析、彈藥優(yōu)化使用等方面提供幫助。

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