田亞平 褚衍東 饒曉波

摘要： 為揭示非線性直齒圓柱齒輪系統(tǒng)分岔、嚙合沖擊、脫嚙和動載系數(shù)間的耦合關(guān)系，在時變嚙合剛度幅值系數(shù)與無量綱頻率參數(shù)平面內(nèi)用PNF法和延續(xù)算法對單級齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型求解獲其周期/沖擊、脫嚙占空比、齒背嚙合比、動載系數(shù)偽彩圖。研究表明：幅值系數(shù)和頻率是影響分岔、沖擊、脫嚙、動載系數(shù)的主要因素，隨幅值系數(shù)遞增系統(tǒng)經(jīng)倍化、Hopf、激變、擦切、鞍結(jié)分岔方式由周期運(yùn)動通向混沌，并導(dǎo)致嚙合沖擊、脫嚙占空比和動載系數(shù)增大；混沌、擬周期運(yùn)動和嚙合沖擊現(xiàn)象出現(xiàn)在共振頻率附近，其脫嚙、動載系數(shù)在該處出現(xiàn)極值。雙參平面內(nèi)綜合動力特性轉(zhuǎn)遷規(guī)律為齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化提供理論參考。

關(guān)鍵詞： 非線性振動； 單級齒輪傳動系統(tǒng)； 動力特性； PNF數(shù)值法； 雙參平面

中圖分類號： O322； TH132.425文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）02-0219-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.004

引 言

齒輪傳動廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械裝置中，其非線性動力學(xué)行為是影響齒輪疲勞壽命的主要因素。Kahraman等[1]考慮齒側(cè)間隙和誤差激勵因素建立了單自由度單級齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)了次諧響應(yīng)和混沌響應(yīng)。Vinayak等[2]研究了齒輪嚙合綜合傳遞誤差對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響。劉曉寧[3]等用增量諧波平衡法對三自由度齒輪系統(tǒng)周期運(yùn)動進(jìn)行分析并判穩(wěn)。茍向鋒[4]用相圖、Lyapnuov指數(shù)譜、Poincaré截面法找出了三自由度單級齒輪副隨參數(shù)變化通向混沌運(yùn)動的途徑。王曉筍[5]等研究了含磨損故障的單級齒輪傳動系統(tǒng)的分岔行為及通向混沌的途徑。

PNF法（Poincaré-Newton-Floquet）是一種結(jié)合Floquet穩(wěn)定性理論的周期運(yùn)動求解、判穩(wěn)同步進(jìn)行的高效數(shù)值方法。PNF法在非線性動力學(xué)方面獲得了大量研究成果。羅躍綱[6]研究含裂紋和碰磨耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期運(yùn)動的穩(wěn)定性問題，韓清凱[7-8]研究碰磨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運(yùn)動穩(wěn)定性問題，李同杰[9]研究行星齒輪傳動系統(tǒng)周期運(yùn)動的穩(wěn)定性問題，楊振 [10] 等研究正交面齒輪傳動系統(tǒng)分岔特性，田亞平[11]等研究了單級齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動及穩(wěn)定性問題。上述成果均是單參下系統(tǒng)的分岔特性及周期運(yùn)動穩(wěn)定性問題，無法全面了解多參數(shù)耦合對系統(tǒng)動力特性的影響。雙參平面內(nèi)研究非線性動力特性能理清系統(tǒng)參數(shù)之間的耦合關(guān)系并確定穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)范圍，為實(shí)際工程中齒輪機(jī)構(gòu)的參數(shù)選擇提供理論指導(dǎo)。茍向鋒等[12-13]采用胞映射和逃逸算法研究了雙參平面內(nèi)純扭轉(zhuǎn)齒輪副的分岔特性和齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的周期運(yùn)動及分岔特點(diǎn)。但綜合運(yùn)用PNF法和延續(xù)算法研究齒輪系統(tǒng)在雙參平面內(nèi)綜合動力特性（分岔、嚙合沖擊、脫嚙及動載系數(shù)）的文獻(xiàn)還鮮有報(bào)道。

本文以單級直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型為研究對象，用PNF法和延續(xù)算法對系統(tǒng)的周期運(yùn)動、分岔、嚙合沖擊、脫嚙及動載系數(shù)進(jìn)行求解，獲得時變嚙合剛度幅值系數(shù)和無量綱頻率雙參平面?zhèn)尾蕡D，探尋其動力特性隨參數(shù)轉(zhuǎn)遷的規(guī)律和耦合匹配關(guān)系。

第2期田亞平，等： 雙參平面內(nèi)單級直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動力特性綜合分析振 動 工 程 學(xué) 報(bào)第31卷 1 單級直齒圓柱齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型 單級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖1所示。圖中，主從動齒輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、基圓半徑、扭轉(zhuǎn)角位移和輸入輸出扭矩用mgi，Igi，rgi，θgi，Tgi（i=1，2）表示；主從動齒輪支承軸承的間隙、阻尼、線性剛度、作用于軸承的徑向預(yù)載荷和徑向位移用bi，cbi，kbi，F(xiàn)bi，ygi表示。時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、嚙合線性阻尼、綜合誤差用kh（t），2bh，ch，e（t）表示。

圖1 單級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)非線性模型

Fig.1 The nonlinear model of a single-stage spur gear system

定義無量綱齒輪嚙合的動態(tài)傳動誤差與靜態(tài)傳動誤差的差值y3

y3（τ）=[rg1θg1（τ）-rg2θg2（τ）+yg1-

yg2-e（τ）]/bc（1）

式中 bc為特征長度。

由文獻(xiàn)[3]知其系統(tǒng)的無量綱動力學(xué)方程為

1=-fb1-2ζ111-2ζ133-k11f（y1，b1）-

k13（τ）f（y3，b3）

2=fb2-2ζ222+2ζ233-k22f（y2，b2）+

k23（τ）f（y3，b3）

3=fm+fah1Ω2cos（Ωτ）+1-2-2ζ333-

k33（τ）f（y3，b3）（2）

式中 yi（i=1，2）為軸承無量綱徑向位移，yi=ygi/bc（i=1，2）；ζij（i，j=1，2，3）為阻尼比，ζij=cij/（2mijΩn），Ωn為系統(tǒng)固有頻率，Ωn=km/me，km為嚙合剛度平均值，me為嚙合等效質(zhì)量。fbi為無量綱軸承徑向預(yù)載荷，fbi=Fbi/（mgiΩ2nbc）。fm為無量綱齒輪嚙合平均激勵力，fm=Tg1/（rb1meΩ2nbc）。fah1為無量綱內(nèi)部激勵動載系數(shù)， fah1=ea/（mebc）。k33（τ）=1+αcos（Ωτ），k13（τ）= k23（τ）= k33（τ）/4，α為嚙合剛度幅值系數(shù)，Ω為無量綱頻率，Ω=Ωh/Ωn，Ωh為嚙頻。Kii= Ω2bi/Ω2n， Ωbi為軸頻，Ωbi=kbi/mgi。τ為無量綱時間，τ=Ωnt。f（yi，bi）為間隙非線性函數(shù)，bi=bhi/bc。f（yi，bi）=yi-bi，yi>bi

0，yi≤bi

yi+bi，yi<-bi（3）式中 bi為齒側(cè)和軸承支承的無量綱間隙。

對系統(tǒng)（2）進(jìn)行降階處理，用狀態(tài)變量{x1，x2，…，x6}替代y1，1，…，y3，3，則系統(tǒng)（2）的狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為

1=x2

2=-fb1-2ζ11x2-2ζ13x6-k11f（x1，b1）-

k13（τ）f（x5，b3）

3=x4

4=fb2-2ζ22x4+2ζ23x6-k22f（x3，b2）+

k23（τ）f（x5，b3）

5=x6

6=fm+fah1Ω2cos（Ωτ）+2-4-2ζ33x6-

k33（τ）f（x5，b3）（4）

2 動力特性分析參數(shù)〖*2〗2.1 脫嚙占空比和齒背嚙合比 由文獻(xiàn)[14]知，齒輪嚙合中存在無沖擊、齒面擦切、脫嚙單邊沖擊、齒背擦切和齒背嚙合雙邊沖擊，其沖擊類型（impact=0，1，2）和脫嚙狀態(tài)由最小嚙合綜合誤差xmin與齒側(cè)間隙b來判斷，其表達(dá)式為

impact=0，xmin>b無沖擊，無脫嚙

0，xmin=b齒面擦切，無脫嚙

1，xmin

1，xmin=-b齒背擦切，脫嚙

2，xmin<-b雙邊沖擊，齒背接觸 （5）

脫嚙或齒背嚙合下，齒面產(chǎn)生的拍擊和附加動載荷是導(dǎo)致嚙合狀態(tài)惡化的主要因素。脫嚙占空比和齒背嚙合比用來表征齒輪脫嚙狀態(tài)惡化情況。設(shè)齒輪在一個嚙合周期T內(nèi)脫嚙時間為t1，齒背嚙合時間為t2，則脫嚙占空比DC1和齒背嚙合比DC2為DC1=t1/T

DC2=t2/T（6）2.2 動載系數(shù)

在齒輪強(qiáng)度計(jì)算中，為考慮齒輪振動導(dǎo)致嚙合力增大的影響因數(shù)定義動載系數(shù)。動載系數(shù)受軸承剛度、齒輪箱結(jié)構(gòu)、載荷狀態(tài)、潤滑劑等因素影響，其計(jì)算十分復(fù)雜，為了突出間隙和時變剛度對動載系數(shù)的影響，定義動載系數(shù)為周期內(nèi)最大嚙合力與平均嚙合力的比值G=FdmaxFm=K（t）f（y3，b3）+C3Fmmax（7）式中 Fdmax為嚙合周期內(nèi)最大嚙合力，F(xiàn)m為平均嚙合力，經(jīng)無量綱化為DLC=（∑3i=1ki3（τ）f（x5，b3）+∑3i=1ζi3x6）/fmmax（8）3 系統(tǒng)非線性動力特性綜合分析

在雙參平面內(nèi)，為分析系統(tǒng)（4）的非線性動力綜合特性及其轉(zhuǎn)遷規(guī)律，取仿真參數(shù)：ζ11=ζ22=0.02，ζ13=ζ23=0.0125，ζ33=0.05，k11=k22=1.25，fah1=0.05，fb1= fb2=0.1，b1=b2=0，b3=1，仿真初值均取為0。無量綱平均載荷fm的大小表征了齒輪系統(tǒng)載荷狀態(tài)，本文中fm=0.2代表齒輪輕載運(yùn)行狀態(tài)。無量綱頻率Ω∈[1，2]表征齒輪處于中高速運(yùn)動狀態(tài)。即仿真參數(shù)表征中高速輕載狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)動力學(xué)綜合特性。

3.1 PNF法系統(tǒng)分岔類型的判別及追蹤

PNF法分岔、追蹤、判穩(wěn)方法如下：

（1）以Ω為分岔參數(shù)，用PNF法[9-10]求解Ω0處的不動點(diǎn)X0及周期數(shù)P；

（2）用延續(xù)算法[15]以ΔΩ為步長，追蹤Ω=Ω0+ΔΩ處的周期解不動點(diǎn)X；

（3）求解不動點(diǎn)轉(zhuǎn)遷矩陣的最大Floquet乘子|λmax|，判斷其|λmax|是否大于1，若|λmax|≥1轉(zhuǎn)入步驟（4），否則轉(zhuǎn)入步驟（2）；

（4）當(dāng)|λmax|≥1時，系統(tǒng)發(fā)生了分岔，該點(diǎn)為分岔點(diǎn)，并由Floquet理論[16]判斷分岔類型，停止該周期的延續(xù)追蹤，以下一點(diǎn)為新起始點(diǎn)，轉(zhuǎn)入步驟（1）重新求解周期和不動點(diǎn)；

（5）當(dāng)遍歷Ω參數(shù)區(qū)域結(jié)束追蹤。

取α=0，Ω∈[1，2]的分岔圖和判穩(wěn)圖如圖2所示。圖2Ⅰ分岔圖表明：在參數(shù)區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)主要以周期1（P1，下同）運(yùn)動存在，僅在Ω∈（1.414，1.502）內(nèi)以P2運(yùn)動形式存在。圖2Ⅱ?yàn)閨λmax|判穩(wěn)圖，最大Floquet乘子|λmax|從Ω=2開始以P1延續(xù)追蹤，當(dāng)Ω∈（1.414，1.502）時，P1運(yùn)動失穩(wěn)|λmax|>1，端點(diǎn)為分岔點(diǎn)。

考查其分岔點(diǎn)的Floquet乘子，并判別其分岔類型如表1所示。其Floquet乘子能準(zhǔn)確地找出其分岔點(diǎn)和分岔類型，同時延續(xù)算法不需大量的瞬態(tài)求解，提高求解效率，故較Runge-Kutta法求解速度更快。

圖2 PNF延續(xù)法分岔及判穩(wěn)圖

Fig.2 Bifurcation and stability diagram by PNF and continuation method

表1 基于PNF延續(xù)算法的系統(tǒng)分岔類型判別

Tab.1 Bifurcation type discriminant with PNF and continue method

考查點(diǎn)

（分岔點(diǎn)）參數(shù) （Ω，α）追蹤周期PFloquet乘子λ|λmax|分岔類型A（1.414，0.0）P1（0.1844±0.8971i，0.9203，0.5614，-1.0228，-0.8207）1.0228倍化B（1.502，0.0）P1（0.6663 ± 0.3062i，-0.0246 ± 0.9193i，-1.0032，-0.8359）1.0032倍化C（1.263，0.5）P1（1.6521，0.4259，0.9053，0.9053，0.7125，0.7750）1.6521鞍結(jié)D（1.337，0.2）P2（0.6564 ± 0.7573i，-0.3892 ± 0.7315i，0.1072 ± 0.3943i）1.0022HopfE（1.376，0.2）P2（1.8340，0.5643，0.5643，0.8331，0.8331，0.3020）1.8340鞍結(jié)

Floquet理論無法判斷含間隙系統(tǒng)的擦切運(yùn)動及擦切分岔現(xiàn)象，故在延續(xù)追蹤中需按式（5）判斷。圖2Ⅰ中頻率Ω的部分相圖如圖3所示。在分岔點(diǎn)A點(diǎn)前系統(tǒng)處于無沖擊單周期運(yùn)動（圖3（a）），在分岔點(diǎn)A處不但發(fā)生了倍化分岔（圖3（b）），且系統(tǒng)位移穿越非光滑點(diǎn)x5=1（x=b）截面發(fā)生了擦切分岔，故在分岔圖上表現(xiàn)出了幅值跳躍現(xiàn)象。在Ω∈[1.570，1.590]區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)為穩(wěn)定的P1運(yùn)動，但系統(tǒng)經(jīng)歷了單邊沖擊（圖3（c））、擦切運(yùn)動（圖3（d））和無沖擊運(yùn)動（圖3（e））的轉(zhuǎn)遷，因穿越x5=1截面時周期運(yùn)動狀態(tài)未改變，故在Ω=1.580處僅發(fā)生了擦切運(yùn)動。

圖3 相圖

Fig.3 Phase diagrams圖4 系統(tǒng)綜合非線性動態(tài)特性圖

Fig.4 Nonlinear dynamic characteristic graphs

3.2 頻率Ω對系統(tǒng)綜合動力特性影響

時變嚙合剛度幅值系數(shù)α是表征齒輪嚙合重合度大小，傳動穩(wěn)定性的主要指標(biāo)；無量綱頻率Ω是表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)速高低的主要指標(biāo)。因此，選取參數(shù)α和Ω為分析對象。

取無量綱頻率Ω為分岔參數(shù)，分別取α為0，0.2，0.5表示高、中和小重合度嚙合狀態(tài)，結(jié)合式（5），（6）和（8）計(jì)算出其系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差x5隨Ω變化的分岔、沖擊、脫嚙、動載系數(shù)等非線性特性如圖4所示。

圖4（a）為α=0的時不變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)歷了P1-P2-P1運(yùn)動轉(zhuǎn)遷形成周期泡分岔，在Ω=1.414和1.502處發(fā)生了倍化分岔（如表1所示）。在Ω∈（1.414，1.580）區(qū)間系統(tǒng)發(fā)生了脫嚙單邊沖擊（impact=1，圖4（a）Ⅲ），其脫嚙占空比較?。―C1<0.22，圖4（a）Ⅱ），受倍周期分岔的影響（Ω=1.502處）脫嚙占空比發(fā)生了跳躍突變。無沖擊（impact=0）狀態(tài)下動載系數(shù)較?。?

圖4（b）為α=0.2的小幅值時變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)Hopf、鞍結(jié)激變、倍化分岔獲得了P1-擬周期-P2-混沌-…-P4-P2-P1的運(yùn)動狀態(tài)。單邊沖擊區(qū)域擴(kuò)大為Ω∈（1.310，1.722），脫嚙現(xiàn)象加劇，脫嚙占空比增大到0.6左右，動載系數(shù)增大到2.2左右，且在倍化分岔點(diǎn)Ω=1.515附近出現(xiàn)了極值。

圖4（c）為α=0.5的大幅值時變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)激變、Hopf、倍化分岔出現(xiàn)了P1-混沌-P2-混沌-P2-混沌-P1-混沌-P1的系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)。單邊沖擊繼續(xù)擴(kuò)大到Ω∈（1.263，1.923），在Ω∈（1.250，1.317）區(qū)間出現(xiàn)了齒背嚙合雙邊沖擊（impact=2）和脫嚙單邊沖擊（impact=1）的交替狀態(tài)，最大DC1穩(wěn)定在0.6附近，DLC穩(wěn)定在2.2左右。

結(jié)合圖4三種嚙合剛度幅值系數(shù)α仿真結(jié)果表明：隨α的遞增系統(tǒng)的混沌、擬周期運(yùn)動范圍擴(kuò)大，齒輪嚙合單邊沖擊、脫嚙占空比和動載系數(shù)遞增，穩(wěn)定周期運(yùn)動的范圍減少。α為常數(shù)時，隨Ω變化系統(tǒng)的沖擊特性、脫嚙現(xiàn)象、動載系數(shù)隨系統(tǒng)的擬周期或混沌運(yùn)動而加劇。

3.3 （Ω，α）雙參平面內(nèi)綜合動力特性分析

在（Ω，α）雙參平面內(nèi)研究系統(tǒng)的綜合動力特性及其耦合轉(zhuǎn)遷規(guī)律具有工程實(shí)際意義。圖5（a）～（d）為系統(tǒng)的沖擊/周期“I/P”、脫嚙占空比“DC1”、齒背嚙合比“DC2”和動載系數(shù)“DLC”動態(tài)特性偽彩圖。

圖5（a）偽彩圖中，用不同的顏色區(qū)分不同的“I/P”運(yùn)動 [17]，其區(qū)域的邊界線即為分岔曲線。為突出短周期運(yùn)動狀態(tài)，對于周期數(shù)P≥65的周期運(yùn)動、擬周期運(yùn)動和混沌運(yùn)動均用“I/n”表示。當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)“0/P”向“1/P”狀態(tài)轉(zhuǎn)遷時，如周期運(yùn)動未變則發(fā)生了擦切運(yùn)動（G m），如周期運(yùn)動發(fā)生了變化則產(chǎn)生了擦切分岔（G Bif）其交線為擦切曲線。當(dāng)系統(tǒng)從“I/P”向“I/（2P）”轉(zhuǎn)遷時發(fā)生了倍化分岔（PD Bif），其交線為倍化分岔曲線。系統(tǒng)的Hopf分岔（PF Bif）、鞍結(jié)分岔（SN bif）和激變分岔（CIC）由Floquet乘子判斷。脫嚙占空比DC1（圖5（b）），齒背嚙合比DC2（圖5（c））和動載系數(shù)DLC（圖5（d））灰度圖中，對動力特性指標(biāo)分級處理，并用不同的灰度值表示其脫嚙、齒背嚙合和動載系數(shù)程度。

圖5 （Ω，α）雙參平面內(nèi)系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性圖

Fig.5 Nonlinear dynamic characteristic in the （Ω，α） two-parameter plane

在中高速輕載（Ω，α）∈（[1，2]，[0，0.5]）的雙參平面內(nèi)，系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的分岔/沖擊特性，如圖5（a）所示。平面內(nèi)系統(tǒng)以P1運(yùn)動為主，從Ω=1向Ω=1.4遞增時，因齒面擦切和系統(tǒng)分岔點(diǎn)重合故在系統(tǒng)分岔點(diǎn)處伴隨有擦切分岔而激變。隨α遞增系統(tǒng)出現(xiàn)了如下幾種分岔現(xiàn)象：系統(tǒng)通過擦切、倍化方式通向“1/2”，“1/4”運(yùn)動狀態(tài)（α<0.0475）；系統(tǒng)通過擦切、Hopf、鞍結(jié)分岔方式通向混沌“1/n”運(yùn)動（0.0475<α<0.1675）；系統(tǒng)通過鞍結(jié)、激變、擦切分岔方式進(jìn)入混沌“1/n”運(yùn)動（0.1675<α<0.5）。從Ω=2向Ω=1.4附近遞減時，系統(tǒng)從“0/1”通過擦切運(yùn)動轉(zhuǎn)遷為“1/1”運(yùn)動，后經(jīng)倍化分岔通向混沌“1/n”運(yùn)動狀態(tài)。特別在（Ω，α）∈（[1.8，2.0]，[0.25，0.5]）區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)了周期3經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為混沌，同時存在多處擦切激變分岔現(xiàn)象使“0/1”轉(zhuǎn)遷為“1/n”，“1/3”，“1/8”等運(yùn)動狀態(tài)。在混沌區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)混沌狀態(tài)出現(xiàn)了單邊沖擊混沌向雙邊沖擊混沌轉(zhuǎn)遷的現(xiàn)象，即在混沌狀態(tài)下出現(xiàn)了內(nèi)部吸引子激變（CIC）現(xiàn)象。沿α方向， “1/2”運(yùn)動向混沌運(yùn)動轉(zhuǎn)遷過程中出現(xiàn)了自相似的叉式分支分形結(jié)構(gòu)。

圖5（b）的脫嚙占空比（DC1∈（0，1））灰度圖揭示了雙參耦合下齒輪脫嚙程度。結(jié)合圖5（a），“0”表示無脫嚙現(xiàn)象，出現(xiàn)在“0/1”運(yùn)動區(qū)域；“0～0.1”表示出現(xiàn)了輕微脫嚙沖擊現(xiàn)象（00.6）。在各類分岔點(diǎn)處脫嚙占空比發(fā)生了突變跳躍現(xiàn)象。

圖5（c）的齒背接觸嚙合比（DC2∈（0，1））灰度圖揭示了齒輪傳動雙邊沖擊齒背嚙合的程度。結(jié)合圖5（a）沖擊/周期運(yùn)動狀態(tài)，在雙邊沖擊混沌“2/n”運(yùn)動區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了齒背接觸輕微沖擊（0

圖5（d）為動載系數(shù)（DLC>1）灰度圖，結(jié)合圖5（a），“1～1.2”表示動載荷輕微波動（12.2）。

根據(jù)齒輪嚙合原理，重合度越大（α越小），齒輪傳動平穩(wěn)性越好，動載荷波動越小。綜合分析圖5（a）～（d）中系統(tǒng)動力特性綜合指標(biāo)可得：時變剛度幅值系數(shù)是影響系統(tǒng)動力學(xué)的主要因素之一，系統(tǒng)動力學(xué)特性隨幅值系數(shù)增大（重合度較小）而變差，系統(tǒng)的分岔和嚙合沖擊在線性共振頻率（Ω=1.3～1.5）附近變得十分復(fù)雜，系統(tǒng)動力參數(shù)達(dá)到極值，仿真結(jié)果和工程實(shí)際基本吻合。因此在齒輪系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)中通過增大重合度減小剛度幅值系數(shù)和調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)避開共振頻率是提高系統(tǒng)疲勞壽命的有效措施。在“0/1”區(qū)域內(nèi)根據(jù)設(shè)備實(shí)際需要的動載系數(shù)選擇參數(shù)區(qū)域?yàn)辇X輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

4 結(jié) 論

在時變嚙合剛度幅值系數(shù)和無量綱頻率雙參平面內(nèi)，用PNF延續(xù)算法對單級齒輪非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解獲得了分岔、嚙合沖擊、齒背嚙合、脫嚙、動載系數(shù)偽彩圖。通過分析獲得如下結(jié)論：

1）綜合運(yùn)用PNF法和延續(xù)算法進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解/分岔求解是一種高效、精確的數(shù)值方法。

2）時變嚙合剛度幅值系數(shù)是影響齒輪周期運(yùn)動分岔、脫嚙、動載系數(shù)增大的主要因素之一。齒輪嚙合綜合特性隨嚙合剛度系數(shù)的增加（重合降低）而變差，直至系統(tǒng)混沌失穩(wěn)，影響系統(tǒng)的疲勞壽命。

3）含間隙齒輪系統(tǒng)除了常見的倍化、Hopf、鞍結(jié)激變分岔外還存在擦切激變分岔，而分岔引起了系統(tǒng)動載系數(shù)、脫嚙現(xiàn)象的階躍突變。

4）系統(tǒng)共振頻率和齒側(cè)間隙所引起的分岔和嚙合沖擊是導(dǎo)致脫嚙、動載系數(shù)突變的主要因素，在混沌區(qū)域其沖擊和動載現(xiàn)象最劇烈達(dá)到極值。

5）在雙參平面內(nèi)的無沖擊周期1運(yùn)動“0/1”區(qū)域內(nèi)選取動載系數(shù)參數(shù)是提高設(shè)備穩(wěn)定性延長疲勞壽命的主要措施。

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Dynamic characteristic analysis of a single-stage spur gear system in

two-parameter plane

TIAN Ya-ping1， CHU Yan-dong1，2， RAO Xiao-bo1

（1.School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；

2.Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province，

Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： In order to reveal the coupling relationship among bifurcation， gear meshing impact， tooth separation， tooth back-side contact and dynamic load coefficient （DLC） of the nonlinear gear system， the pseudo color maps of the meshing impact and period， duty cycle of the mesh apart （DC1）， duty cycle of the tooth back-side contact （DC2） and DLC for a single stage gear system are obtained by Poincaré-Newton-Fouquet （PNF） and the continuation numerical calculation method in the time-varying meshing stiffness amplitude coefficient （TVMSA） and dimensionless frequency two parameters plane. Research shows that the TVMSA and resonance frequency are main factors for bifurcation， gear meshing impact and DLC of the gear system. With the increase of TVMSA， the system's periodic motion turns to chaos by the way of period-doubling， Hopf， crisis， grazing， saddle node bifurcation and the DC1， DC2 and DLC increase. Meanwhile， the chaos， quasi periodic motion and meshing impact phenomenon appear near the resonant frequency， in which the DC1， DLC reach the extreme values. The dynamic characteristics transitions laws can provide the theoretical reference for the optimization of the gear structure parameter.

Key words： nonlinear vibration； single-stage spur gear system； dynamic characteristics； PNF method； two-parameter plane