韓佳欣，郭海丁

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動(dòng)力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際服役情況和試驗(yàn)表明，高轉(zhuǎn)速下的發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤(pán)的孔結(jié)構(gòu)極易出現(xiàn)應(yīng)力集中，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度儲(chǔ)備降低[1-2]。對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)盤(pán)類(lèi)部件的螺栓連接而言，螺栓通孔在交變應(yīng)力作用下容易產(chǎn)生疲勞裂紋并擴(kuò)展到附近的承力結(jié)構(gòu)，最終導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)失效[3]。因此，降低孔邊應(yīng)力集中并提高輪盤(pán)乃至整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的壽命，是提高發(fā)動(dòng)機(jī)安全性和可靠性亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題[4-5]。解決孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的傳統(tǒng)措施有孔邊倒角、拋光以及改變結(jié)構(gòu)尺寸等，但這些常規(guī)方法降低應(yīng)力的效果并不明顯，甚至?xí)黾咏Y(jié)構(gòu)質(zhì)量[6]。針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，美國(guó)GE公司和法國(guó)SNECMA公司聯(lián)合研制的CFM56-Ⅲ型航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)將位于高壓渦輪盤(pán)前安裝邊的螺栓孔改進(jìn)為1種8圓弧連接異型螺栓孔，并于1984年通過(guò)適航認(rèn)證。這一反傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)引起了中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)者的關(guān)注。對(duì)其孔邊受力特性的研究表明，這種異型孔可以有效降低螺栓孔附近應(yīng)力的大小，改善應(yīng)力的分布情況，從而提高發(fā)動(dòng)機(jī)的壽命[7-8]。然而，8圓弧異型孔輪廓設(shè)計(jì)參量較多，優(yōu)化模型也略顯復(fù)雜，而且由于采用異型孔會(huì)導(dǎo)致孔輪廓尺寸增大，給連接結(jié)構(gòu)的傳力帶來(lái)負(fù)面影響。

為克服上述缺點(diǎn)，本文基于超橢圓曲線引入1種數(shù)學(xué)模型更為簡(jiǎn)潔的異型孔結(jié)構(gòu)方案對(duì)輪盤(pán)螺栓孔進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)引入超橢圓孔輪廓異型度，對(duì)優(yōu)化過(guò)程中的孔輪廓尺寸變化幅度進(jìn)行控制。此外，對(duì)最優(yōu)解附近設(shè)計(jì)變量靈敏度進(jìn)行了分析。

1 超橢圓孔輪廓特征及分析

1.1 超橢圓孔及輪廓異型度的定義

自1812年Adolph G?pel首次提出以來(lái)，超橢圓方程已經(jīng)演變出多種形式，并且在不同領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如密碼學(xué)、數(shù)學(xué)、宇宙學(xué)和工程領(lǐng)域等[9-11]。其最常見(jiàn)的1種形式為

式中：a、b為超橢圓半軸長(zhǎng)，主要限制超橢圓孔大小；m、n為形狀指數(shù)，決定超橢圓形狀。

為保證超橢圓輪廓光滑連接，超橢圓指數(shù)取值均大于2。m、n取值不同時(shí)得到的超橢圓螺栓孔輪廓形狀如圖1所示。

圖1 超橢圓曲線幾何形狀（m，n＞2）

研究表明，隨著指數(shù)m、n的增大，孔邊最大應(yīng)力有明顯下降，但得到的超橢圓孔輪廓可能接近方孔，孔輪廓面積也相應(yīng)增大，這會(huì)明顯減少連接面接觸面積。對(duì)于類(lèi)似的螺栓連接結(jié)構(gòu)，螺栓孔輪廓面積的增大會(huì)加劇預(yù)緊力損失，減小連接結(jié)構(gòu)抗滑移系數(shù)，進(jìn)而降低結(jié)構(gòu)抗剪承載能力，最終影響連接單元間的傳力傳扭[12-14]。

為比較超橢圓孔與原螺栓孔（基圓）的面積變化，本文引入超橢圓異型度Rs

式中：Sc為基圓面積；Sh為超橢圓孔輪廓面積。當(dāng)0≤x≤a，0≤y≤b 時(shí)，式（1）可變形為

基圓面積Sc可按圓形面積公式求得

式中：r為優(yōu)化前圓形螺栓孔半徑。

而Sh的求解為

對(duì)該式做數(shù)值積分可得

式中：h=a/p；a、b為超橢圓半軸長(zhǎng)，為方便裝配，設(shè)定異型孔輪廓與基圓在x，y軸相切，即a=b=r；Sc始終小于Sh；p為積分區(qū)間內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)；h為計(jì)算精度，一般設(shè)為0.001。

a、b確定時(shí)，超橢圓孔異型度只與指數(shù)m、n有關(guān)。超橢圓異型度隨m、n的變化關(guān)系如圖2所示。

圖2 超橢圓孔異型度隨指數(shù)m、n的變化關(guān)系

從圖中可見(jiàn)，隨著指數(shù)m、n的增大，超橢圓孔異型度逐漸增大，當(dāng)指數(shù)大于6時(shí)，異型度甚至超過(guò)25%（圖1（b）），這無(wú)疑會(huì)阻礙結(jié)構(gòu)間的可靠傳力和傳扭。

1.2 渦輪盤(pán)超橢圓孔異型度設(shè)計(jì)分析

某航空發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤(pán)連接單元由1根長(zhǎng)螺栓將前鼓筒軸、封嚴(yán)盤(pán)和渦輪盤(pán)裝配在一起，如圖3所示。其中渦輪盤(pán)前安裝邊通過(guò)托板自鎖螺母與螺栓配合，連接結(jié)構(gòu)的剖面如圖4所示[15]。

采用異型螺栓通孔結(jié)構(gòu)時(shí)，降低孔邊應(yīng)力當(dāng)然是主要目標(biāo)，但還需要注意由于孔輪廓的改變（即異型度變化）對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)傳力可靠性的影響。對(duì)于圖3中的輪盤(pán)螺栓連接結(jié)構(gòu)，渦輪盤(pán)螺栓孔面積增大會(huì)導(dǎo)致渦輪盤(pán)前安裝邊與托板螺母的接觸面積（即圖4中的接觸面B）減小，輪盤(pán)端面上螺栓孔周?chē)a(chǎn)生高壓應(yīng)力，使得孔邊被壓平磨光，因此會(huì)降低螺栓結(jié)構(gòu)的抗滑移承載能力，影響結(jié)構(gòu)傳力和傳扭[13]。此外，異型度較大的螺栓孔更加接近方孔，給加工和裝配帶來(lái)困難。

圖3 輪盤(pán)連接結(jié)構(gòu)

圖4 輪盤(pán)螺栓連接單元

因此，采用超橢圓異型螺栓孔時(shí)，在追求應(yīng)力降低的同時(shí)，應(yīng)盡量保持孔輪廓異型度較小。這也使得設(shè)計(jì)更穩(wěn)健，有利于提高結(jié)構(gòu)的可靠性和降低加工裝配的難度。

2 渦輪盤(pán)超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

2.1 多目標(biāo)超橢圓異型螺栓孔均衡優(yōu)化模型

在設(shè)計(jì)變量變化范圍內(nèi)，異型孔孔邊應(yīng)力隨孔輪廓異型度的增大而降低[5]。優(yōu)化時(shí)，單一尋求更低的孔邊應(yīng)力，可能會(huì)導(dǎo)致螺栓孔異型度過(guò)大，從而導(dǎo)致裝配精度降低、加工難度增大，進(jìn)而使傳力的可靠性降低。為此，本文提出1個(gè)多目標(biāo)均衡優(yōu)化模型，該優(yōu)化模型包括2個(gè)互斥的單目標(biāo)函數(shù)，借以均衡考慮超橢圓螺栓孔異型度減小與孔邊應(yīng)力降低2個(gè)互相制約的優(yōu)化目標(biāo)。在有效降低孔邊應(yīng)力至設(shè)定值的同時(shí)，保證超橢圓孔具有恰當(dāng)?shù)漠愋投龋瑥亩ＷC結(jié)構(gòu)的可靠傳力。其具體形式為

優(yōu)化目標(biāo)：

約束：

式中：Mup.、Mlow.和 Nup.、Nlow.分別為 m、n 的上下取值邊界；σmax為孔邊最大第1主應(yīng)力。

優(yōu)化目標(biāo)由2個(gè)互斥的目標(biāo)函數(shù)f1（σmax）和f2（m，n）組成，Rs見(jiàn)式（2），Rσ為孔邊應(yīng)力降低率

式中：σr為原螺栓孔孔邊最大應(yīng)力。

2.2 某渦輪盤(pán)超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化

考慮到超橢圓異型螺栓孔多目標(biāo)均衡優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量成復(fù)雜的非線性關(guān)系，采用經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化方法NSGA-Ⅱ?qū)ζ溥M(jìn)行尋優(yōu)。該方法基于Pareto非劣占優(yōu)原理，得到的Pareto前沿（即非劣最優(yōu)解組成的集合）分布均勻，適用于求解適應(yīng)度函數(shù)復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[16-18]。

對(duì)于某型渦輪連接結(jié)構(gòu)（圖3、4），其正常工作時(shí)渦輪盤(pán)前安裝邊受到多種因素影響，如離心力、扭矩、預(yù)緊力、軸向載荷、徑向溫度梯度和過(guò)盈配合產(chǎn)生的載荷等。為兼顧優(yōu)化模型高效且易行，須對(duì)載荷進(jìn)行簡(jiǎn)化。渦輪盤(pán)螺栓孔孔邊應(yīng)力水平主要受離心載荷影響，優(yōu)化時(shí)僅考慮輪盤(pán)及葉片離心載荷所得到的孔型，即使在復(fù)雜載荷模型下也保持其優(yōu)勢(shì)，依然為應(yīng)力最小的孔型[5-7]。

采用文獻(xiàn)[5]、[6]所提供的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，基于超橢圓孔均衡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)圖3中的渦輪盤(pán)前安裝邊上螺栓孔進(jìn)行優(yōu)化，步驟如下：

（1）設(shè)定優(yōu)化參數(shù)。渦輪盤(pán)材料為GH4169；輪盤(pán)工作轉(zhuǎn)速ωmax=14731 r/min，工作溫度為450℃；超橢圓曲線半軸長(zhǎng) a=b=r（基圓半徑）；2 mm≤m（n）≤6 mm。

（2）基于輪盤(pán)簡(jiǎn)化力學(xué)模型，運(yùn)用Ansys有限元分析得到孔邊第1最大主應(yīng)力；運(yùn)用式（2）～（6）計(jì)算得到孔輪廓異型度。建立超橢圓螺栓孔多目標(biāo)均衡優(yōu)化模型。

（3）運(yùn)用非劣占優(yōu)多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對(duì)模型進(jìn)行Pareto非劣占優(yōu)評(píng)估，得到滿(mǎn)足收斂代數(shù)和終止準(zhǔn)則的Pareto前沿。

（4）分別設(shè)定模型中2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)理想優(yōu)化值

（5）對(duì)Pareto前沿的非占優(yōu)解進(jìn)行二次挑選，最終獲得最接近設(shè)計(jì)者理想值的最優(yōu)設(shè)計(jì)解。優(yōu)化流程如圖5所示。

圖5 超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化方法

3 優(yōu)化結(jié)果與討論

3.1 超橢圓螺栓孔優(yōu)化結(jié)果

基于均衡優(yōu)化方法可得單參量（m=n）和雙參量（m≠n）時(shí)超橢圓螺栓孔多目標(biāo)均衡優(yōu)化問(wèn)題的Pareto前沿，如圖6、7所示。

圖6 單參量超橢圓孔Pareto前沿（m=n）

圖6 、7中Pareto前沿曲線上方的區(qū)域?yàn)樵O(shè)計(jì)可行域，超橢圓孔最優(yōu)解位置如箭頭所示，優(yōu)化所得設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖7 雙參量超橢圓孔Pareto前沿（m≠n）

表1 超橢圓孔優(yōu)化結(jié)果

由此可見(jiàn)，本文提出的均衡優(yōu)化方法可有效地在2個(gè)互斥的優(yōu)化目標(biāo)間尋得折衷解，在孔邊應(yīng)力下降率達(dá)到預(yù)期值的同時(shí)，使得孔輪廓異型度最小，保證了連接結(jié)構(gòu)的可靠傳力。

3.2 異型孔優(yōu)化模型及優(yōu)化效率比較

將超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化模型與文獻(xiàn)[19]中提出的8圓弧光滑連接的異型螺栓孔優(yōu)化模型比較，并通過(guò)式（10）求解2種模型的全局搜索能力（GSC）對(duì)二者的穩(wěn)定性進(jìn)行對(duì)比。

式中：N=30，表示重復(fù)獨(dú)立運(yùn)行2種模型的次數(shù)；k為得到全局最優(yōu)解的次數(shù)。

2種優(yōu)化模型主要區(qū)別見(jiàn)表2。

表2 2種異型螺栓孔優(yōu)化模型對(duì)比

經(jīng)對(duì)比可知，8圓弧異型孔降低孔邊應(yīng)力的效果更加明顯，而超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化模型則更加簡(jiǎn)潔，設(shè)計(jì)變量數(shù)目更少，尋優(yōu)空間更好把握，優(yōu)化耗時(shí)也明顯降低，且優(yōu)化效果較均衡，具備較好的傳力傳扭性能。此外，多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)加強(qiáng)了對(duì)尋優(yōu)空間的搜索能力，便于準(zhǔn)確定位得到最優(yōu)解，提高了優(yōu)化方法的穩(wěn)定性。2種孔型的輪廓差異的直觀對(duì)比如圖8所示。

圖8 不同螺栓孔優(yōu)化輪廓對(duì)比

4 設(shè)計(jì)穩(wěn)健性分析

4.1 超橢圓螺栓孔孔邊應(yīng)力響應(yīng)面

為分析設(shè)計(jì)變量對(duì)孔邊應(yīng)力下降率的影響，分別做單參量和雙參量超橢圓孔應(yīng)力響應(yīng)面。

（1）單參量超橢圓孔應(yīng)力響應(yīng)面如圖9所示。

圖9 單參量超橢圓孔應(yīng)力下降率響應(yīng)面

單參量超橢圓孔指數(shù)m增大時(shí)，應(yīng)力下降率先增大后減小；m=4.0～4.5時(shí)，孔邊應(yīng)力下降最為明顯。運(yùn)用多項(xiàng)式擬合應(yīng)力下降率的響應(yīng)面函數(shù)為

式中：x代表指數(shù)m=n；p1～p7為擬合多項(xiàng)式系數(shù)，其取值見(jiàn)表3，該情況下擬合的均方根誤差RMSE=0.6389。

表3 單參量響應(yīng)面擬合多項(xiàng)式系數(shù)

（2）雙參量超橢圓孔應(yīng)力響應(yīng)面如圖10所示。

從圖中可見(jiàn)，孔邊應(yīng)力下降率隨指數(shù)n的增大而單調(diào)增大，隨m的增大先增大后減小，當(dāng)m=3.0～3.8時(shí)，達(dá)到峰值。同樣采用多項(xiàng)式對(duì)該響應(yīng)面進(jìn)行擬合，得到孔邊應(yīng)力降低率與指數(shù)間關(guān)系為

式中：x、y分別為指數(shù) m、n；系數(shù) p00～p13的取值見(jiàn)表4，此時(shí)均方根誤差 RMSE=1.734×10-12。

圖10 雙參量超橢圓孔應(yīng)力下降率響應(yīng)面

表4 雙參量響應(yīng)面擬合多項(xiàng)式系數(shù)

從圖9、10中箭頭所指位置可見(jiàn)，設(shè)計(jì)的均衡優(yōu)化模型所得到的最優(yōu)解在滿(mǎn)足應(yīng)力降低目標(biāo)的同時(shí)，選擇了指數(shù)相對(duì)較小，即異型度較小的均衡解（因超橢圓指數(shù)與異型度成單調(diào)遞增關(guān)系，圖2）。此時(shí)，最優(yōu)解附近響應(yīng)面變化較為平緩，設(shè)計(jì)具有較好的穩(wěn)健性[20-21]。

4.2 設(shè)計(jì)靈敏度分析

在結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中，靈敏度分析作為反映穩(wěn)健性的重要指標(biāo)日益得到重視[22-23]。對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，其功能函數(shù)不能明確表達(dá)時(shí)，靈敏度分析常采用響應(yīng)面法獲得[24]?？紤]到超橢圓孔孔邊應(yīng)力降低率隨指數(shù)變化基本連續(xù)，且數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)潔，變量較少，采用對(duì)響應(yīng)面的擬合多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的方式來(lái)計(jì)算其最優(yōu)解附近的靈敏度。對(duì)式（11）和（12）分別求導(dǎo)，繪制其靈敏度隨指數(shù)變化的曲線，如圖11、12所示。

圖中箭頭所指為最優(yōu)解，在2種情況下，其所在區(qū)域的指數(shù)靈敏度都相對(duì)較小。這意味著優(yōu)化得到的超橢圓螺栓孔不會(huì)因?yàn)檩喞奈⑿∽兓a(chǎn)生過(guò)于明顯的孔邊應(yīng)力變化，并表明均衡優(yōu)化所獲得的超橢圓螺栓孔設(shè)計(jì)點(diǎn)具備較好的穩(wěn)健性。這在一定程度上也對(duì)未來(lái)加工誤差的控制和加工方法的選擇提供了方便。

圖11 單參量超橢圓孔指數(shù)靈敏度

圖12 雙參量超橢圓孔指數(shù)靈敏度

5 結(jié)論

本文針對(duì)輪盤(pán)螺栓孔孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題提出了1種超橢圓螺栓孔均衡優(yōu)化方法，得到以下主要結(jié)論。

（1）提出的超橢圓螺栓孔設(shè)計(jì)方法均衡考慮了2個(gè)相互制約的目標(biāo)函數(shù)，得到的超橢圓螺栓孔能按設(shè)計(jì)需求有效降低孔邊應(yīng)力，且孔輪廓異型度較小，保證了可靠的傳力。

（2）超橢圓孔數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)潔，設(shè)計(jì)變量更少，尋優(yōu)空間更易把握，優(yōu)化效率和穩(wěn)定性較高。

（3）均衡優(yōu)化獲得的超橢圓異型孔應(yīng)力響應(yīng)靈敏度較小，設(shè)計(jì)穩(wěn)健性較好。

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