， ，志云(. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 604；. 大連海洋大學(xué) 海洋與土木工程學(xué)院，遼寧 大連 603)

混凝土材料通常指由水泥為膠凝材料，砂、石作骨料，與水(可含外加劑和摻合料)按一定比例配合，經(jīng)攪拌而得的水泥混凝土。在土木工程結(jié)構(gòu)中，混凝土材料得到了大量的應(yīng)用，其抗拉能力比抗壓能力弱很多，然而在一些極端情況下，混凝土材料可能會承受較大的拉力從而引起結(jié)構(gòu)破壞。巴西劈裂試驗是測定巖石類材料抗拉強(qiáng)度的方法之一，也是國際巖石力學(xué)學(xué)會(international society for rock mechanics, ISRM)[1]和美國材料試驗學(xué)會(american society for testing and materials, ASTM)[2]推薦的測量巖石材料抗壓強(qiáng)度的試驗方法。由于混凝土與巖石力學(xué)性能相近，有許多學(xué)者利用巴西劈裂試驗測量混凝土的抗拉強(qiáng)度[3-6]。Cundall和Strack于20世紀(jì)70年代基于牛頓第二定律提出了離散單元法(discrete element method, DEM)的概念。相比基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限單元法，離散單元法對于模擬混凝土的開裂、裂紋擴(kuò)展等大變形有一定的優(yōu)勢。Qin等[7]基于質(zhì)點單元法，建立了不同應(yīng)變率下混凝土骨料、砂漿和界面三相細(xì)觀動力學(xué)模型，研究表明應(yīng)變率越高，網(wǎng)狀裂紋產(chǎn)生的越多，試樣的力鏈產(chǎn)生更多分支，意味著在更高的應(yīng)變率下需要更多的能量達(dá)到失效。Ghazvinian等[8]用PFC2D模擬了含非貫通節(jié)理的巖石材料的剪切特性，離散元模擬表明宏觀剪切帶是張拉破壞產(chǎn)生的微裂紋擴(kuò)展引起的。Mechtcherine等[9]介紹了用離散單元法模擬混凝土流動領(lǐng)域的發(fā)展，給出了參數(shù)估計的各種例子并與試驗結(jié)果進(jìn)行了比較，顯示出離散單元法的潛力。Pan等[10]用PFC2D建立了混凝土三相細(xì)觀模型，進(jìn)行了單軸壓縮試驗來研究堿集料反應(yīng)對混凝土力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明這一模型可以有效預(yù)測堿集料反應(yīng)引起的混凝土內(nèi)部微裂紋的擴(kuò)展。Kazerani等[11]提出了一個檢驗巖石強(qiáng)度和失效的離散元模型，兩個相鄰顆粒的邊界被視為柔性接觸，其本構(gòu)關(guān)系控制材料的斷裂性能，基于單軸/三軸壓縮和巴西劈裂試驗提出一套細(xì)觀參數(shù)并對比試驗結(jié)果驗證了方法的有效性。

離散元單元法與有限單元法相比，最大的區(qū)別是不可能通過直接賦值的形式實現(xiàn)對材料的宏觀基本物理力學(xué)參數(shù)的確定，僅取決于顆粒的細(xì)觀本構(gòu)模型參數(shù)。離散元只可以直接賦值顆粒的幾何特征(顆粒大小和分布)和顆粒間接觸的細(xì)觀力學(xué)參數(shù)(細(xì)觀本構(gòu)模型和剛度、摩擦系數(shù)等接觸力學(xué)特征)，這些細(xì)觀參數(shù)的改變意味著材料的宏觀力學(xué)特性的顯著改變。而如何定量確定混凝土材料離散元模型的細(xì)觀參數(shù)是制約該方法進(jìn)一步深入研究和工程實際應(yīng)用的瓶頸問題之一?；炷凉橇狭浇?jīng)常是毫米量級的，在該尺度上直接測量其細(xì)觀參數(shù)是極其困難的，通用的方法是試錯法(hit-and-miss)，即不斷調(diào)整細(xì)觀參數(shù)反復(fù)計算直到獲得一組與宏觀響應(yīng)吻合較好的細(xì)觀參數(shù)。然而這樣的方法往往存在著參數(shù)調(diào)整缺乏方向性和目的性等問題，造成效率低下。本研究提出一種基于巴西劈裂試驗的混凝土細(xì)觀本構(gòu)模型參數(shù)估計方法，即先建立試驗件離散元模型，給出一組細(xì)觀參數(shù)估計值，接下來分別改變每個細(xì)觀參數(shù)的取值，利用線性回歸確定每個細(xì)觀參數(shù)對宏觀變量的影響系數(shù)，進(jìn)而確定試樣的最大承載力及其對應(yīng)的最大位移與細(xì)觀參數(shù)間的關(guān)系，求解一個約束優(yōu)化問題，即可求得一組計算結(jié)果與實際試驗曲線較為接近的細(xì)觀參數(shù)。該方法的主要優(yōu)勢是只使用一組試驗數(shù)據(jù)并進(jìn)行少量PFC2D計算，即可得到一組滿足工程需求的細(xì)觀參數(shù)。

1 PFC2D中的細(xì)觀本構(gòu)模型

在某一時刻，PFC2D程序根據(jù)牛頓第二定律確定顆粒的加速度，并通過差分法得到顆粒在這一時刻的位移。而將力和位移聯(lián)系起來使計算能夠循環(huán)進(jìn)行下去的關(guān)鍵條件，就是細(xì)觀本構(gòu)模型。PFC2D中常用的細(xì)觀本構(gòu)模型主要有三種：一是接觸剛度模型，主要描述顆粒相互接觸運動時法向和切向的擠壓力；二是滑移模型，主要描述顆粒間存在相互滑動趨勢時的力學(xué)行為；三是粘結(jié)模型，主要描述黏性顆粒的抗拉和抗剪能力。接觸剛度模型中，常用的是線性接觸模型，利用接觸的法向剛度Kn和切向剛度Ks兩個參數(shù)將顆粒間的法向、切向力和重疊量聯(lián)系起來。

(1)

(2)

其中：ξ={n,s}，n,s分別表示法向和切向?；颇Ｐ涂梢员硎緸?/p>

(3)

對于PFC2D中的接觸剛度模型和平行粘結(jié)模型，都可以視為兩顆粒及連接其圓心的彈性梁組成的系統(tǒng)[12]。設(shè)彈性梁的彈性模量為Ec(接觸彈性模量)，由彈性力學(xué)解可得

kn=2Ect。

(4)

對于混凝土材料而言，目前并沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定采用哪些細(xì)觀本構(gòu)模型來進(jìn)行計算，表1列出的是不同學(xué)者研究混凝土問題時所采用的細(xì)觀模型參數(shù)。

表1 某些材料的細(xì)觀本構(gòu)模型參數(shù)取值Tab.1 Microparameters of micro-constitutive model for some materials

注:n_bond和s_bond分別為接觸粘結(jié)模型抗拉和抗剪強(qiáng)度

2 混凝土細(xì)觀本構(gòu)模型參數(shù)估計方法

巴西劈裂試驗主要用來測試巖石材料的抗拉強(qiáng)度，通常是根據(jù)彈性力學(xué)解由試樣的最大承載力求得其抗拉強(qiáng)度。試樣在破壞前處于彈性變形階段，其荷載-位移曲線呈一近似直線。本研究主要目的是尋找一組合適的細(xì)觀參數(shù)使仿真得到的試樣宏觀力學(xué)響應(yīng)與試驗結(jié)果吻合，因此重點關(guān)注試樣的最大承載力Fmax和其對應(yīng)的最大位移dmax。宏觀響應(yīng)與細(xì)觀參數(shù)之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，通常情況下，這些函數(shù)關(guān)系難以顯式表達(dá)出來，因此也就無法直接利用宏觀響應(yīng)確定細(xì)觀參數(shù)取值。為簡化這些函數(shù)關(guān)系，假定宏觀響應(yīng)是細(xì)觀參數(shù)的線性疊加，且不同細(xì)觀參數(shù)之間不存在耦合，即：

(5)

(6)

其中：Xi表示細(xì)觀參數(shù)，ai和bi表示線性回歸系數(shù)，a0和b0為待定常數(shù)。為進(jìn)行細(xì)觀參數(shù)的估計，先給定一組細(xì)觀參數(shù)初始值，對每一個細(xì)觀參數(shù)，在其他參數(shù)取值不變的情況下，單獨改變該參數(shù)的取值。分別取X={…,Xi,…}，X={…,Xi±ΔXi,…}和X={…,Xi±2ΔXi,…}5組細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行PFC2D模擬，得到5個與Xi不同取值對應(yīng)的Fmax的值。以Xi為自變量對Fmax進(jìn)行線性回歸，得到回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)R2，回歸直線的斜率即為Xi對Fmax的線性回歸系數(shù)ai。同理求出細(xì)觀參數(shù)對dmax的線性回歸系數(shù)bi。此外，通常認(rèn)為相關(guān)系數(shù)R2≥0.7時，兩變量具有相關(guān)性。基于這一考慮，當(dāng)某一細(xì)觀參數(shù)對Fmax或dmax的相關(guān)系數(shù)R2<0.7時，認(rèn)為其對應(yīng)的線性回歸系數(shù)ai或bi為0，即這一細(xì)觀參數(shù)的取值變化對最大承載力Fmax或其對應(yīng)的最大位移dmax沒有影響。將ai和bi與對應(yīng)的細(xì)觀參數(shù)初始值相乘，所得結(jié)果與模擬得到的宏觀響應(yīng)之差即為待定常數(shù)a0和b0。

(7)

圖1 巴西劈裂試驗PFC2D模型Fig.1 PFC2D model of Brazilian test

3 算例分析

翟越等[18]對C35商品混凝土試件了進(jìn)行巴西劈裂試驗，試樣厚度50 mm，直徑100 mm。在PFC2D中建立這一試樣的離散元模型(如圖1)，試樣共由1 078個顆粒組成，顆粒半徑在1.0～2.0 mm內(nèi)均勻分布，顆粒厚度為50 mm，利用剛性墻對試樣施加荷載。根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]，表2給出了細(xì)觀參數(shù)的初始值。

表2 C35混凝土細(xì)觀參數(shù)的初始值Tab.2 Initial estimation of C35 concrete microparameters

由圖2可以看出，隨著接觸彈性模量Ec的增大，試樣的最大承載力呈減小趨勢，最大承載力對應(yīng)的最大位移也逐漸減小。由圖3可以看出kn/ks取值的改變主要影響試樣最大承載力對應(yīng)的最大位移，最大位移隨kn/ks的增大而增大。kn/ks取值的改變對最大承載力的影響并無明顯規(guī)律。

圖2 Ec對荷載-位移曲線的影響Fig.2 Influence of Ec on load-displacement curves

圖3 kn/ks對荷載-位移曲線的影響Fig.3 Influence of kn/kson load-displacement curves

由圖4可以看出，隨著摩擦系數(shù)μ的增大，試樣的最大承載力也逐漸增大，最大承載力對應(yīng)的最大位移呈減小趨勢。摩擦系數(shù)的增大，限制了顆粒間滑移的發(fā)生，從而提高了承載力，減小了最大位移。

圖4 μ對荷載-位移曲線的影響Fig.4 Influence of μ on load-displacement curves

圖對荷載-位移曲線的影響Fig.5 Influence of on load-displacement curves

圖對荷載-位移曲線的影響Fig.6 Influence load-displacement curves

圖7 宏觀響應(yīng)隨Ec的變化Fig.7 Variation of macroscopic response versus Ec

根據(jù)圖2～6所獲得的信息，繪制不同細(xì)觀參數(shù)對應(yīng)的最大承載力和最大位移散點圖(圖7～11)。以各個細(xì)觀參數(shù)為自變量對最大承載力和最大位移進(jìn)行線性回歸，得到回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)R2也顯示于圖7～11中。

圖8 宏觀響應(yīng)隨kn/ks的變化Fig.8 Variation of macroscopic response versuskn/ks

圖9 宏觀響應(yīng)隨μ的變化Fig.9 Variation of macroscopic response versus μ

圖10 宏觀響應(yīng)隨的變化Fig.10 Variation of macroscopic response

圖11 宏觀響應(yīng)隨的變化Fig.11 Variation of macroscopic response

表3中列出的是根據(jù)圖7～11中的回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)確定的各細(xì)觀參數(shù)的線性回歸系數(shù)。將表2中C35混凝土細(xì)觀參數(shù)初始估計值及表3中相應(yīng)的線性回歸系數(shù)分別代入式(5)～(6)，即可計算得到待定常數(shù)ai和bi，從而得到宏觀響應(yīng)與細(xì)觀參數(shù)近似的定量關(guān)系(式(8)～(9))。

表3 細(xì)觀參數(shù)對宏觀響應(yīng)的線性回歸系數(shù)Tab.3 Linear regression coefficients of microparameters to macroscopic response

(8)

(9)

表4 C35混凝土細(xì)觀參數(shù)的估計值Tab.4 Estimated values of C35 concrete microparameters

圖12 PFC2D模擬與試驗荷載-位移曲線對比Fig.12 Comparison of load-displacement curves between PFC2D simulation and experiment

圖12是使用細(xì)觀參數(shù)初始值和估計值進(jìn)行PFC2D模擬所得荷載-位移曲線與試驗結(jié)果的對比，通過模擬得到的兩條曲線與試驗曲線的相關(guān)系數(shù)分別為R2=0.767,R2=0.978,可以看出，使用估計值模擬得到的結(jié)果更加接近試驗曲線。但這一曲線在接近峰值承載力時出現(xiàn)下降然后略有上升的現(xiàn)象，這是由于與壓板接觸處的顆粒因應(yīng)力集中而提前破壞后進(jìn)一步壓實所產(chǎn)生的。試樣斷裂面及PFC2D模擬裂紋分布情況分別如圖13(a)、(b)所示，圖13(b)中深黑色表示顆粒間膠結(jié)體拉伸破壞，灰色表示膠結(jié)體剪切破壞。

圖13 試驗[18]與PFC2D模擬裂紋分布情況對比Fig.13 Comparison of crack distributions between test observation and PFC2D simulation

表5給出的是使用細(xì)觀參數(shù)初始值和估計值進(jìn)行模擬與試驗曲線在不同位移處所得相對誤差的對比?？梢钥闯?，使用經(jīng)過優(yōu)化之后的細(xì)觀參數(shù)估計值計算得到的結(jié)果誤差明顯小于使用初始值得到的結(jié)果。

表5 使用不同參數(shù)在各個位移處的誤差對比Tab.5 Comparison of errors at each displacement using different parameters

由圖12～13和表5可以看出，使用表4中的細(xì)觀參數(shù)估計值，可以有效地模擬出混凝土試件在巴西劈裂試驗中的力學(xué)行為和破壞過程，模擬曲線與試驗曲線在整體變化趨勢上一致，最大承載力及其對應(yīng)的最大位移與試驗結(jié)果比較接近。

4 結(jié)論

1) 離散元單元法的原理決定了只可以對顆粒的細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行賦值，如何使細(xì)觀參數(shù)計算結(jié)果與宏觀試驗結(jié)果吻合對PFC方法的應(yīng)用是極其重要的。基于混凝土試樣的巴西劈裂試驗，提出了使用一組試驗數(shù)據(jù)并進(jìn)行少量PFC2D計算以得到一組滿足工程需求的細(xì)觀參數(shù)的方法，避免了試錯法進(jìn)行參數(shù)調(diào)整的盲目性，節(jié)約了參數(shù)估計的時間。

2) PFC2D混凝土試樣的最大承載力與Ec和μ相關(guān)，最大承載力隨著Ec的增大而減小，隨著μ的增大而增大；試驗最大承載力所對應(yīng)的最大位移與Ec和kn/ks相關(guān)，最大位移隨著Ec的增大而減小，隨著kn/ks的增大而增大；試驗荷載-位移曲線的斜率也與Ec和μ相關(guān)，斜率隨著二者的增大而增大。

4) 利用本研究提出的細(xì)觀參數(shù)估計方法，得到了C35混凝土試件離散元細(xì)觀參數(shù)，PFC2D模擬結(jié)果表明，模擬曲線與試驗曲線吻合較好，兩者相關(guān)系數(shù)R2為0.978，驗證了該方法的有效性。

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