王 杰

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)

利用結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)來(lái)識(shí)別荷載是研究地震加速度的一種常用的反分析方法。對(duì)于一般的多層建筑，Toki K[1]提出了一種基于卡爾曼濾波理論識(shí)別地震波的方法，通過(guò)對(duì)三層框架的數(shù)值計(jì)算，根據(jù)三個(gè)樓層的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)合卡爾曼濾波理論，識(shí)別出了各層的地震加速度。尚久銓[2]提出了三種基于卡爾曼濾波理論的地震波反演及參數(shù)識(shí)別的方法，分別是利用最小二乘獲得最優(yōu)解的卡爾曼濾波、利用最小方差準(zhǔn)則下的一系列線性濾波方法擴(kuò)展卡爾曼濾波、通過(guò)縮減狀態(tài)向量中的位移和速度的縮減變量卡爾曼濾波。李杰和陳雋[3]提出將地震作用的力學(xué)性質(zhì)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)平均后作為估計(jì)的修正條件，解決了由于參數(shù)未知識(shí)別出各層地震波不等的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了地震波和結(jié)構(gòu)參數(shù)的復(fù)合反演。上述反分析方法都是建立在輸入完整的樓層響應(yīng)基礎(chǔ)上，而對(duì)于超高層建筑來(lái)說(shuō)，一般很難得到全部的輸入信息，因此在不完整輸入下的反演成為了識(shí)別超高層建筑地震加速度的一類關(guān)鍵問(wèn)題。對(duì)于輸入不完整的研究，李杰和陳雋[4]提出了一種基于統(tǒng)計(jì)平均和最小二乘法得到在部分輸入下子結(jié)構(gòu)地震加速度的方法。王曉燕[5]等人在李杰等人提出的統(tǒng)計(jì)平均基礎(chǔ)上，結(jié)合擴(kuò)展的卡爾曼濾波理論，利用部分樓層測(cè)量信息識(shí)別出了結(jié)構(gòu)參數(shù)以及未測(cè)量層的地震加速度。

該文基于卡爾曼濾波理論及統(tǒng)計(jì)平均方法提出一種超高層建筑地震加速度的反分析方法。并結(jié)合數(shù)值計(jì)算以及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和適用性。

1 地震加速度識(shí)別方法

n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)地震作用下動(dòng)力微分方程

(1)

(2)

(3)

(4)

由于結(jié)構(gòu)的特征向量滿足正交條件，將振型矩陣Φn×n按質(zhì)量規(guī)準(zhǔn)化，得到

(5)

式中,Φi、ωi、mi、ki、ξi分別為第i階按質(zhì)量規(guī)準(zhǔn)化的振型向量、自振頻率、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼比。則式(1)可解耦為

(6)

將式(6)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式：令

(7)

(8)

觀測(cè)值為加速度時(shí)

(9)

觀測(cè)值為速度時(shí)

(10)

觀測(cè)值為位移時(shí)

Zi(t)=h(Xi,fi)=Ui=HiXi(t)+εi

(11)

Zi(t)是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的觀測(cè)向量，εi為測(cè)量噪聲矩陣，系統(tǒng)矩陣Hi和Di的確定因觀測(cè)向量的類型而不同，其值如表1所示。

表1 系統(tǒng)矩陣

對(duì)方程(8)、(9)進(jìn)行離散化，時(shí)間步長(zhǎng)取為Δt，同時(shí)考慮過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲對(duì)系統(tǒng)方程的影響，則方程可改寫為

Xi(k+1)=ΨiXi(k)+Γifi(k)

(12)

Zi(k)=HiXi(k)+Difi(k)+εi(k)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Pi(k)=[I-Gi(k)Hi]Pi(k/(k-1))

(19)

式中,Gi(k)是卡爾曼濾波增益矩陣，Pi(k)是濾波誤差協(xié)方差矩陣，Ji(k)是基于基本的卡爾曼濾波推導(dǎo)過(guò)程中產(chǎn)生的系數(shù)矩陣。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

因此、為了得到最優(yōu)的結(jié)果，選擇合適的樓層進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，該文選取15th層到76th層的反演結(jié)果。式(23)給出了各層地震波的估計(jì)值，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均后的地震加速度如下

(25)

2 數(shù)值算例

2.1 工程簡(jiǎn)介

該文根據(jù)臺(tái)北101大樓的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖建立了三維有限元數(shù)學(xué)模型，目的是通過(guò)構(gòu)造結(jié)構(gòu)模型得到結(jié)構(gòu)的參數(shù)。該模型采用了梁板建模方式，對(duì)結(jié)構(gòu)主體采用十二節(jié)點(diǎn)的空間梁?jiǎn)卧退墓?jié)點(diǎn)彈性板單元，局部鋼支撐采用三維桿單元，對(duì)樓層集中質(zhì)量點(diǎn)則采用三維質(zhì)量單元進(jìn)行模擬。結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用瑞雷阻尼模型。由于大樓頂部裝有1個(gè)660 t大型TMD(調(diào)質(zhì)阻尼器)和2個(gè)小型TMD(塔尖部分)，因此將前兩階阻尼比均取為5%。

2.2 地震加速度反演

利用有限元模型，結(jié)合已知的地震波，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的正分析方法，即可求得地震作用下結(jié)構(gòu)的位移、速度及加速度響應(yīng)，這些結(jié)果將作為地震波反演分析時(shí)的輸入響應(yīng)。其中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過(guò)有限元計(jì)算確定。根據(jù)高層結(jié)構(gòu)規(guī)范[7]，采用瑞雷阻尼模型，即可求得阻尼矩陣。論文研究的超高層建筑在EL-Centro波作用下以前9階模態(tài)為主。通過(guò)增加實(shí)測(cè)樓層的數(shù)目，使其大于或等于結(jié)構(gòu)的主要控制模態(tài)數(shù)，可以減少估計(jì)模態(tài)響應(yīng)與準(zhǔn)確模態(tài)響應(yīng)之間的誤差。因此，該文選取實(shí)測(cè)響應(yīng)的樓層數(shù)目為9個(gè)，選取20，30，39，53，60，69，78，89，101層為實(shí)測(cè)響應(yīng)樓層。

圖1為結(jié)構(gòu)X向反演EL-Centro波時(shí)程、功率譜和相關(guān)圖。由時(shí)程圖可知：反演地震波與準(zhǔn)確地震波吻合的非常好。尤其是經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)平均后的地震波，二者幾乎完全重合。由功率譜圖可知：加速度反演地震波的功率譜與準(zhǔn)確譜不管是高頻段還是低頻段，二者吻合得相當(dāng)好，且譜的變化趨勢(shì)也基本相同，反演結(jié)果相對(duì)可靠。位移反演地震波功率譜與準(zhǔn)確譜在低頻段和中高頻段吻合非常好，在較高頻段位移反演地震波的功率譜偏低，但譜的變化趨勢(shì)基本相同，反演結(jié)果比較可靠。由相關(guān)圖可知，準(zhǔn)確值與經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)平均后的反演值相關(guān)性極高，位移反演值和加速度反演值都超過(guò)了0.98。

表1 DKF反演EL-Centro波的根方差誤差

樓層準(zhǔn)確值/(m·s-2)位移反演反演值/(m·s-2)誤差/%加速度反演 反演值/(m·s-2)誤差/%100.0610.037-39.30.037 7-38.4200.0610.06811.90.069 714.2500.0610.065 87.90.067 911.2800.0610.835>1000.820>100900.0614.2>1004.24>100統(tǒng)計(jì)平均0.0610.057 7-5.30.058 6-3.8

由表1可知：輸入位移響應(yīng)的反演值和輸入加速度響應(yīng)的反演值與準(zhǔn)確值的根方差誤差在各代表層各不相同，且頂部代表層根方差誤差較大。但進(jìn)過(guò)統(tǒng)計(jì)平均后，輸入位移響應(yīng)的反演值根方差誤差為5.3%，輸入加速度響應(yīng)的反演值根方差誤差不到4%，反演結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。

綜上所述，輸入位移響應(yīng)和輸入加速度響應(yīng)都能準(zhǔn)確的識(shí)別出地震加速度，輸入加速度反演的結(jié)果略優(yōu)于輸入位移反演的結(jié)果，統(tǒng)計(jì)平均法在一定程度上提高了反演精度。

3 結(jié) 語(yǔ)

該文基于卡爾曼濾波理論及統(tǒng)計(jì)平均法提出一種超高層建筑地震加速度反分析方法，該方法利用部分樓層的地震響應(yīng)實(shí)時(shí)識(shí)別地震加速度。利用臺(tái)北101大樓數(shù)值分析驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，利用部分樓層統(tǒng)計(jì)平均來(lái)提高反演精度。

[1] Toki K,Sato T,Kiyono J.Identification of Structural Parameters and input Ground Motion from Response Time Histories[J].Doboku Gakkai Ronbunshu,1989(410):243-251.

[2] 尚久銓.卡爾曼濾波法在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用[J].地震工程與工程振動(dòng),1991,11(2):62-72.

[3] 李 杰,陳 雋.未知輸入條件下的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),1999,16(1):32-40.

[4] 李 杰,陳 雋.子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別與輸入地震動(dòng)的復(fù)合反演研究[J].振動(dòng)與沖擊,1998(1):58-62.

[5] 王曉燕,黃維平,李華軍.地震動(dòng)反演及結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別的EKF算法[J].工程力學(xué),2005,22(4):20-23.

[6] 付夢(mèng)印,鄧志紅,張繼偉.Kalman 濾波理論及其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2003.

[7] 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.JGJ 3—2010.高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[S].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版，2010.