☉江蘇省張家港市港口學(xué)校（初中部） 韋麗琴

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的內(nèi)容面廣量大、知識(shí)點(diǎn)多，要想讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)回顧初中三年所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，形成基本技能，提高解題能力，絕非易事.而且，復(fù)習(xí)是沒有現(xiàn)成的教學(xué)資料可用的，加上學(xué)生的知識(shí)水平、解題能力不盡相同，因此對(duì)老師的要求就更高了.

作為一線教師，應(yīng)該努力提高復(fù)習(xí)課效率，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)盡早鞏固三年的數(shù)學(xué)知識(shí).我們知道，專題復(fù)習(xí)課有兩大任務(wù)：一是“理”，即對(duì)所涉及的知識(shí)再進(jìn)行系統(tǒng)的整理，達(dá)到進(jìn)一步理清概念，鞏固知識(shí)、掌握方法的目的，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò).二是“通”，即弄清所涉及知識(shí)的前因后果，實(shí)現(xiàn)知識(shí)融會(huì)貫通，應(yīng)用熟練自如，積累思想方法的目標(biāo).這就要求教師要精心設(shè)計(jì)好專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容，既要彌補(bǔ)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握的不足，又要提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力；同時(shí)還要精心設(shè)計(jì)好教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)、生生活動(dòng)和師生活動(dòng)，加強(qiáng)知識(shí)的整理、歸納，注重思想方法的滲透，提升學(xué)生的思維品質(zhì)、學(xué)習(xí)素養(yǎng).

下面就例談初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中經(jīng)常涉及的幾類典型的翻折問題，找到解決這類問題的常規(guī)方法，歸納出基本的規(guī)律，從中感悟初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的一些有效策略，以期對(duì)一線教師的教學(xué)有所幫助.

一、梳理基礎(chǔ)知識(shí)，滲透基本方法，促進(jìn)學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)化，逐步構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

翻折問題涉及的知識(shí)比較多，對(duì)學(xué)生識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力的要求比較高.因此，我們?cè)谠O(shè)置教學(xué)內(nèi)容時(shí)，一定要把握好教學(xué)的起點(diǎn)，通過一些基礎(chǔ)的翻折問題，讓學(xué)生梳理一下翻折問題中常常涉及的知識(shí)，初步領(lǐng)會(huì)解決翻折問題的思路、方法.

例1如圖1，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線AE折疊，使AC邊落在斜邊AB上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，求CE的長.

變式1：如圖2，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線EF折疊，使兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)A、B重合，求CE的長.

變式2：如圖3，一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將三角形沿直線AE折疊，使AB邊落在直線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，求CE的長.

圖1

圖2

圖3

解讀與思考：三角形中的翻折問題，圖形比較簡潔，難度相對(duì)較低.把它作為教學(xué)起點(diǎn)十分有利于教師的教與學(xué)生的學(xué).通過例1的講解，學(xué)生能基本了解圖形的翻折問題中涉及的知識(shí)、解題的思路和方法：我們常常將所求線段的長度設(shè)為變量x，然后用含x的代數(shù)式表示其他相關(guān)線段的長度，利用勾股定理建立方程求解.通過變式1與變式2的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步積累解決圖形的翻折問題的經(jīng)驗(yàn).例題的講解與示范是教學(xué)中傳授知識(shí)、培養(yǎng)技能必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)知識(shí)的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題教學(xué)作為學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過程中擔(dān)負(fù)著把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要使命.把握好教學(xué)的起點(diǎn)很重要，例題和練習(xí)題的難度必須要控制好，能說明問題、起到示范作用、引領(lǐng)思維就行.

二、注重問題剖析，理清解題思路，揭示問題解決的本質(zhì)，逐步明晰規(guī)范的解題要領(lǐng)

以四邊形為載體的圖形翻折問題是翻折問題中最常見的題型，往往與平行線、三角形的全等、勾股定理等知識(shí)緊密聯(lián)系，對(duì)學(xué)生識(shí)別和理解幾何圖形的能力、應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)解決問題能力的要求更高.因此，在例題教學(xué)中，我們一定要重視這類問題的分析、講解、歸納、提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步理解解決翻折問題的關(guān)鍵步驟、解題要領(lǐng).

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的點(diǎn)F處.求CE的長度.

圖4

圖5

變式1：如圖5，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AF與BC相交于點(diǎn)E.求CE的長度.

解讀與思考：在解答圖形的翻折問題時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，了解翻折前后哪些量沒有發(fā)生變化？哪些量發(fā)生了變化？它們之間有什么聯(lián)系？靈活應(yīng)用平面圖形的基本性質(zhì)及定理解決問題.在例1的解答過程中，要注意AF=AD=10，利用勾股定理可以求得BF=8，從而得到CF=2. 若設(shè)CE=x，那么EF=ED=6-x，再利用勾股定理可以得到x2+22=（6－x）2，解得變式1的解答過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到一點(diǎn)困難，假設(shè)CE=x，則BE=10－x.在Rt△EFC中，只知道CE=x，CF=6；在Rt△ABE中，只知道BE=10－x，AB=6.因此，無法利用勾股定理來列方程.此時(shí)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)Rt△EFC與Rt△ABE的全等關(guān)系，進(jìn)而證得AE=CE=x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程就能解決問題了.當(dāng)然，我們還可以利用平行線的性質(zhì)來證明AE=CE.AD//BC，所以∠DAC=∠BCA，由翻折可知∠DAC=∠FAC，所以∠FAC=∠BCA，所以AE=CE.通過上述問題的解答過程，要讓學(xué)生明白：全等三角形的相關(guān)知識(shí)是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和紐帶，通過三角形的全等可得線段的相等、角度的相等；利用角的相等來證明線段的相等也是幾何推理中最常用、最快捷的方法之一，這些知識(shí)在解決圖形的翻折問題時(shí)有著十分重要的作用，我們應(yīng)當(dāng)予以重視.

三、關(guān)注題型變化，強(qiáng)化圖形分析，突出知識(shí)與方法的鞏固，逐步積累必備的解題經(jīng)驗(yàn)

以四邊形為載體的翻折問題，隨著折痕的變化，翻折部分的圖形也會(huì)隨之發(fā)生變化，最后形成的圖形也就變得“復(fù)雜”一些，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)也會(huì)更加豐富，需要發(fā)現(xiàn)、探究的圖形性質(zhì)、結(jié)論也會(huì)更加多一些，對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力、想象能力、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力提出了更高的要求，有些問題還需要學(xué)生通過畫圖、測(cè)量、猜想、歸納來發(fā)現(xiàn)結(jié)果.針對(duì)這種題型的變化，我們要積極引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化對(duì)圖形的分析，發(fā)現(xiàn)圖中隱含的結(jié)論，充分利用已有的知識(shí)、方法解決新的問題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步積累必備的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)素養(yǎng).

例3已知長方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，折痕的一個(gè)端點(diǎn)F在邊AD上，另一個(gè)端點(diǎn)G在邊BC上，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

（1）如圖6，當(dāng)頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊AD上且BG=10時(shí)，求AF的長；

（2）如圖7，當(dāng)頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在長方形內(nèi)部，點(diǎn)E到AD的距離為2，且BG=10時(shí)，求AF的長.

圖6

圖7

解讀與思考：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容.設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.”在圖6中，大部分學(xué)生會(huì)采用如下方法求解：折疊后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊AD上，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知HE=AB=8，∠BGF=∠EGF，利用AD//BC，可得∠BGF=∠EFG，所以∠EFG=∠EGF，所以EF=EG=BG=10.在Rt△EFH中，易得FH=6，所以AF的長為6. 從上述解答過程發(fā)現(xiàn)，EF//BG，EF=BG.又EG=BG，所以四邊形BGEF是菱形.這樣的結(jié)果教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、論證.因而，AF的長也可以在Rt△ABF中求得.在圖7中，大部分學(xué)生都會(huì)過點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，并延長ME交BC于點(diǎn)N，如圖8所示. 由EM=2，得EN=6，在Rt△GNE中求得GN=8.利用△GNE∽△EMK，求得MK=，所以，再利用△FHK∽△EMK，求得.事實(shí)上，在求得GN=8以后，連接EF，BF，設(shè)AF=x，F(xiàn)M=18－x，由EF=BF，可得82+x2=22+（18－x）2，解得，則AF的長為，利用勾股定理能較快地解決問題.通過這樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有機(jī)地聯(lián)系起來了，形成了一個(gè)條理化、有序化和網(wǎng)絡(luò)化的數(shù)學(xué)知識(shí)整體.蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出：“智慧不是別的，而是組織良好的知識(shí)體系.”只有數(shù)學(xué)知識(shí)之間上下溝通，左右逢源了，學(xué)生的頭腦中才會(huì)建立起一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能扎實(shí)、有效、有智慧，學(xué)生的解題能力才會(huì)得到提升，例題教學(xué)才會(huì)有價(jià)值.

圖8

四、合理拓展素材，理性思辯價(jià)值，領(lǐng)悟知識(shí)與方法的內(nèi)涵，逐步提高綜合應(yīng)用知識(shí)的關(guān)鍵能力

圖形的翻折問題大多聯(lián)系實(shí)際，內(nèi)容豐富，解法靈活，與代數(shù)計(jì)算、方程、函數(shù)、幾何推理等知識(shí)均有聯(lián)系，是中考試題中出現(xiàn)頻率較高的一類題型.在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)翻折前后圖形的位置、特征、幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠清晰，對(duì)幾何元素之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系理解不夠透徹，在解答這類問題的過程中，要么因?yàn)榻忸}能力不夠，無從下手；要么因?yàn)榻忸}方法選擇不當(dāng)，使得解題過程變得繁難，增大了運(yùn)算量，甚至于半途而廢.針對(duì)這種現(xiàn)狀，在進(jìn)行圖形的翻折專題復(fù)習(xí)時(shí)，教師要選擇合適的問題與學(xué)生共同分析、研究，使得學(xué)生對(duì)翻折問題中有關(guān)的幾何圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)；在問題分析和解決的過程中鞏固頭腦中已有的有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)及解決這類問題的方法；并在觀察圖形和探索解決問題的方法的過程中提高分析問題和解決問題的能力.

例4如圖9，將邊長為6的正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點(diǎn)B折到邊CD上，使邊AB經(jīng)過點(diǎn)E，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N.

（1）若CM=x，則CH=___________（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）求折痕GH的長.

圖9

圖10

解讀與思考：這是2017年江蘇徐州市的中考試題，由于點(diǎn)M在邊CD上，很容易證得△HCM∽△MDE，所以，從而在解決第（2）問前，教師應(yīng)當(dāng)讓明白：這里的x是一個(gè)變量，還是一個(gè)定值？也就是說x是否還有限制條件？事實(shí)上，在Rt△CHM中，CH=，所以，這看似一個(gè)非?？膳碌姆匠蹋绻麑ⅲ暈橐粋€(gè)整體，不難求得x=2或x=6（舍去）.當(dāng)然，求解x=2還有更加巧妙的方法，我們不妨看看命題者給出的解答過程：

解：（1）方法一：因?yàn)镃M=x，設(shè)CH=t，根據(jù)翻折的性質(zhì)，則HM=BH=6－t.

在Rt△HCM中，（6-t）2=t2+x2，所以（0

方法二：由題意CM=x，則DM=6－x，DE=3，根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠NMH=∠ABC=90°，易證△HCM∽△MDE，所以，即，所以

（2）由（1）知，解得x=2或x=6（舍去）.

所以如圖10，過點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P，設(shè)AG=m，GE=3－m，根據(jù)翻折的性質(zhì)，則GN=m.在Rt△GNE中，m2+1=（3－m）2，解得，所以，PH=BH－BP=2. 在Rt△GPH中

縱觀上述解答過程，我們發(fā)現(xiàn)：合理地利用三角形的相似、勾股定理的相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵，方程則是問題解決最有力的“工具”.

復(fù)習(xí)備考不應(yīng)是簡單機(jī)械的知識(shí)重復(fù)，而應(yīng)是知識(shí)鞏固后能力的拓展，它是教育、教學(xué)的一個(gè)重要組成部分.作為專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容，教師要通過課前的精心安排和課堂有效的系統(tǒng)組織，讓問題設(shè)計(jì)逐步深入，讓學(xué)生的解題思路越來越明晰，通過師生共同的學(xué)習(xí)、研究，真正使得學(xué)生形成合理穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善思維品質(zhì)，提升他們的學(xué)習(xí)能力.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

2.曹文喜.由課本一道習(xí)題所想到的［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.H