☉江蘇省南京市六合區(qū)竹鎮(zhèn)民族中學(xué) 何 平

筆者在2018年4月南京市六合區(qū)初中數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師教學(xué)研修班課堂展示活動(dòng)中，開(kāi)設(shè)了一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)研究課“一次函數(shù)的應(yīng)用”.這節(jié)課從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，以期促進(jìn)學(xué)生深度思考，促進(jìn)學(xué)生的思維向著深刻性、敏捷性等方向發(fā)展.下面將筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考展現(xiàn)給大家，懇請(qǐng)大家賜教.

一、教學(xué)背景

1.教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是刻畫(huà)變量之間關(guān)系的常用模型，一次函數(shù)又是最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，行程類一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題在南京市歷年的中考中均有出現(xiàn)，它綜合地考查了一次函數(shù)、函數(shù)圖像、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內(nèi)容.在解決此類實(shí)際問(wèn)題時(shí)建立一次函數(shù)的模型，借助線性示意圖分析運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)清晰地、準(zhǔn)確地、有條理地思考和分析問(wèn)題，同時(shí)還能提高學(xué)生的直觀想象能力，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，其綜合性比較強(qiáng)，因此，在中考復(fù)習(xí)時(shí)安排一節(jié)課是十分必要的.

2.學(xué)情分析

九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，具備了一定的分析和解決問(wèn)題的能力.筆者所在的學(xué)校目前正在嘗試“跑班分層”教學(xué)模式，本節(jié)課筆者選擇了A班進(jìn)行授課，學(xué)生整體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有較好的學(xué)習(xí)積極性，具備一定的自主探究合作交流的能力.但是部分學(xué)生解題時(shí)仍有忽視函數(shù)圖像中兩個(gè)變量的實(shí)際意義，不能借助由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換來(lái)理解圖像中關(guān)鍵點(diǎn)的意義，直觀想象能力還有待提升，思維的深刻性、敏捷性還有發(fā)展空間.

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）能結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像信息的獲取，運(yùn)用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

（2）經(jīng)歷探索利用函數(shù)圖像分析問(wèn)題的過(guò)程，理解“以形解數(shù)，以數(shù)釋形”的基本方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；

（3）在探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生形成勤于思考、合作交流的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：從函數(shù)圖像中準(zhǔn)確獲取信息，理解各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的意義；

難點(diǎn)：學(xué)會(huì)“以形解數(shù)，以數(shù)釋形”進(jìn)行分析問(wèn)題基本方法.

四、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1：情境引入，引領(lǐng)思維

問(wèn)題1：小明為準(zhǔn)備體育中考，每天早晨堅(jiān)持鍛煉，某天他勻速跑步到公園，休息一會(huì)后勻速騎車(chē)回家，能大致反映小明離家的距離y（m）與時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系的圖像是圖1中的（ ）.

圖1

變式：圖1中能反映小明走過(guò)的路程y（m）與時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系的圖像是（ ）.

分析：從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題入手，借助圖像分析函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理清路程與距離這兩個(gè)概念的差異，主要是強(qiáng)調(diào)審題，弄清楚縱軸的意義及變化過(guò)程對(duì)問(wèn)題解決的重要性.

環(huán)節(jié)2：典型例題，發(fā)展思維

例1甲、乙兩觀光船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩船在靜水中速度相同，水流速度為5千米/小時(shí)，甲船逆流而行4小時(shí)到達(dá)B港.圖2表示甲觀光船距A港的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖像解答下列問(wèn)題：

圖2

問(wèn)題2：A、B兩港距離______千米，船在靜水中的速度為_(kāi)_____千米/小時(shí).

生1：題目中說(shuō)甲船逆流而行4小時(shí)到達(dá)B港，圖像上的點(diǎn)M（4，40）說(shuō)明甲船行駛4個(gè)小時(shí)，離A港的距離是40千米，所以A、B兩港距離是40千米，船的行駛速度為40÷4=10千米/時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)船是逆流航行，所以船在靜水中的速度為15千米/時(shí).

師：很好，從圖像中獲取信息是解題的關(guān)鍵，從圖像中可以直觀獲取線段OM兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，你能畫(huà)出線段圖分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程并解釋這兩個(gè)點(diǎn)的意義嗎？

分析：學(xué)生嘗試畫(huà)圖，教師投影展示并點(diǎn)評(píng).

原點(diǎn)的意義：表示甲船運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的起點(diǎn)（圖3）；

M點(diǎn)的意義：表示甲船運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的終點(diǎn)（圖4）.

圖3

圖4

師：借助線段圖可以直觀地分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程中函數(shù)圖像上關(guān)鍵點(diǎn)的實(shí)際意義，實(shí)現(xiàn)以形解數(shù).（板書(shū)以形解數(shù)）

問(wèn)題3：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出乙船距A港的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像.

分析：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視、個(gè)別幫扶指導(dǎo)，投影學(xué)生作業(yè)圖5、6展示交流.

圖5

圖6

生2：乙船順?biāo)旭偹俣仁?0千米/時(shí)，因此行駛時(shí)間是2小時(shí)，所以圖像如圖5所示.

生3：我認(rèn)為不對(duì)，乙船從B港駛向A港，隨著時(shí)間的增加，應(yīng)該離A港越來(lái)越近，我認(rèn)為乙船沒(méi)出發(fā)時(shí)離A港40千米，經(jīng)過(guò)2小時(shí)到達(dá)A港，圖像應(yīng)該是圖6.

生2：哦，我沒(méi)有看清楚縱軸的意義.

師追問(wèn)：為什么畫(huà)函數(shù)圖像時(shí)直接把（0，40），（2，0）兩個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)呢？圖像為什么是直線？難道沒(méi)有可能是曲線或者是拋物線？

生3：設(shè)y=kx+b，把（0，40），（2，0）這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以得到圖像是直線.

生4：我認(rèn)為不對(duì)，你是根據(jù)所畫(huà)的圖像求函數(shù)表達(dá)式，跟老師的問(wèn)題恰恰相反，我認(rèn)為要畫(huà)出圖像應(yīng)該先確定乙船在行駛過(guò)程中y與x的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)圖4可知在行駛過(guò)程中乙船離A港的距離y乙=40－20x，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式即可畫(huà)出圖像.

師：有道理，不過(guò)這樣畫(huà)出來(lái)的圖像應(yīng)該是一條直線??？

生4：因?yàn)檫@是行程問(wèn)題，根據(jù)題意自變量的取值范圍是0≤x≤2，所以圖像是一條線段.

師：很好！我們研究畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖像要從函數(shù)關(guān)系式入手，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的方法進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)以數(shù)釋形.（板書(shū)以數(shù)釋形）

問(wèn)題4：求出發(fā)幾小時(shí)后，兩船相距5千米？

分析：學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘，交流2分鐘，教師請(qǐng)學(xué)生代表匯報(bào).

生5：設(shè)出發(fā)x小時(shí)兩船相距5千米，由題意得：①如圖7，兩船相遇之前，可得

圖7

圖8

②如圖8，兩船相遇之后，可得10x+20x-5=40，于是x=1.5h.

師：圖畫(huà)的很清晰，還有不同方法嗎？

生6：我們已經(jīng)知道y甲=10x，y乙=40－20x，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的線段圖可得：①如圖9兩船相遇之前，由y乙－y甲=5，即40－

圖9

圖10

②如圖10，兩船相遇之后，由y甲－y乙=5，即10x－（40－20x）=5，得

（老師板書(shū)規(guī)范解答過(guò)程）

生7：還可以直接看圖像，圖11中兩條線段的交點(diǎn)表示是兩船相遇，在相遇之前，乙船離A港遠(yuǎn)，在圖像上看乙與甲的高度差等于5，即y乙－y甲=5；在相遇之后，甲與乙的高度差等于5，即y甲－y乙=5.

分析：從圖像中獲取相關(guān)信息，借助題意直接確定函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖像，借助線段圖分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，感受思維的層次性.同時(shí)為了體現(xiàn)示范作用，教師及時(shí)板書(shū).

圖11

圖12

環(huán)節(jié)3：能力提升，深化思維

問(wèn)題5：如圖12，是甲、乙兩觀光船之間的距離y（千米）與甲船行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像.求線段BC的函數(shù)表達(dá)式.

追問(wèn)：圖中A、B、C、D各點(diǎn)表示的實(shí)際意義是什么？

分析：學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘，交流3分鐘，教師巡視指導(dǎo)并展示關(guān)鍵點(diǎn)B、C的實(shí)際意義.

B點(diǎn)的實(shí)際意義：如圖13，兩船相遇時(shí)，兩船之間距離為0千米，利用方程10x+20x=40或者函數(shù)方法：y甲=y乙，即10x=40－20x，可求得.則點(diǎn)B坐標(biāo)是

圖13

圖14

C點(diǎn)的實(shí)際意義：如圖14，從圖像上看，過(guò)點(diǎn)C之后，距離y增加的速度慢了下來(lái)，這說(shuō)明點(diǎn)C表示乙船已經(jīng)到達(dá)了A港，由于乙船順?biāo)旭偟乃俣仁?0千米/小時(shí)，行駛2小時(shí)到達(dá)A港，此時(shí)兩船之間的距離就是甲船行駛的路程，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，20）.

根據(jù)點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得圖像中BC段的函數(shù)表達(dá)式為y=30x－40.

分析：對(duì)比上題感受y意義的不同，借助圖像理解各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的意義，從圖像中獲取相關(guān)信息，借助線段圖分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，借助圖像確定函數(shù)關(guān)系式，靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，感悟方法

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你認(rèn)為在觀察函數(shù)圖像獲取信息時(shí)需要注意什么？

（2）運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決行程問(wèn)題時(shí)你學(xué)會(huì)了哪些方法？收獲了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

分析：通過(guò)問(wèn)題進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課研究的內(nèi)容，從數(shù)和形兩個(gè)角度提升對(duì)一次函數(shù)解決行程問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟解題思想方法.

附：板書(shū)——知識(shí)梳理

五、教學(xué)反思

1.深度理解教學(xué)內(nèi)容，一題一課引領(lǐng)思維

在備課時(shí)需要深入研究教學(xué)內(nèi)容，特別是中考專題復(fù)習(xí)課，更需要教師結(jié)合教學(xué)目標(biāo)及學(xué)情，精心篩選最合適的素材，引領(lǐng)課堂教學(xué)的開(kāi)展.在本節(jié)課中，筆者思考一次函數(shù)在行程問(wèn)題中的應(yīng)用是初中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，并且一次函數(shù)應(yīng)用中行程類問(wèn)題根據(jù)因變量y表示的意義可分為三種類型：（1）表示與出發(fā)地的距離，（2）表示與目的地的距離，（3）表示兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體之間的距離，并且以第三類最難.在學(xué)生基礎(chǔ)比較好情況下，筆者選擇了從教學(xué)內(nèi)容的難易程度上進(jìn)行整體架構(gòu)，設(shè)計(jì)了一題一課的課堂教學(xué)方式，首先設(shè)計(jì)結(jié)合行程問(wèn)題判斷函數(shù)圖像，讓學(xué)生在對(duì)比中直觀感受變量意義的重要性，發(fā)展學(xué)生直觀想象能力和思維的批判性，接著設(shè)計(jì)兩船行駛的問(wèn)題，首先，通過(guò)從圖像中獲取信息進(jìn)行以形解數(shù)、再到結(jié)合題意畫(huà)圖像、計(jì)算兩船之間的距離，再改變變量y的意義，結(jié)合圖像解決問(wèn)題實(shí)現(xiàn)以數(shù)解形，通過(guò)例題的不斷變式，逐步完成上述問(wèn)題類型，通過(guò)設(shè)計(jì)一根主線，減少學(xué)生閱讀多個(gè)問(wèn)題情境的障礙，有利于學(xué)生深入探究行程類問(wèn)題，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)思維自然生長(zhǎng).

2.精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，變式探究發(fā)展思維

數(shù)學(xué)活動(dòng)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，專題復(fù)習(xí)課更應(yīng)如此.通過(guò)典型問(wèn)題、熱點(diǎn)問(wèn)題，借助問(wèn)題串激發(fā)學(xué)生深入思考，可以有效引領(lǐng)學(xué)生提升思維層次.在問(wèn)題3的教學(xué)中，學(xué)生利用兩點(diǎn)坐標(biāo)畫(huà)函數(shù)圖像，此時(shí)的追問(wèn)啟發(fā)學(xué)生深入思考，在追問(wèn)中學(xué)生2知道了自己忽視了縱軸的意義，學(xué)生3則是盲目地使用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，忽視了圖像還沒(méi)畫(huà)出來(lái)，在一段時(shí)間的思考之后，學(xué)生4的解答讓大家重新認(rèn)識(shí)到畫(huà)函數(shù)圖像的操作流程應(yīng)該先確定函數(shù)表達(dá)式，再進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線.通過(guò)問(wèn)題4的解答，學(xué)生的思維層次進(jìn)一步被拉伸，學(xué)生通過(guò)利用方程解法、函數(shù)關(guān)系式解法、圖像解法，在一題多解中豐富了解題經(jīng)驗(yàn)，拓寬了解題思路，有利于學(xué)生在對(duì)比中尋找適合自己的方法，在優(yōu)化自己解題策略的同時(shí)提升了學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.通過(guò)問(wèn)題5的變式探究，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考畫(huà)圖分析有效的突破難點(diǎn)，學(xué)生的思維深刻性更是得到了充分的發(fā)展.

3.整體感悟數(shù)學(xué)思想，合作交流深化思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，學(xué)生在參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想.”在一輪復(fù)習(xí)課中，要充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，在例題呈現(xiàn)之后，讓學(xué)生獨(dú)立思考一定的時(shí)間，再進(jìn)行小組合作交流，這樣充分落實(shí)了學(xué)生的主體性，在問(wèn)題4和5的解決中教師引導(dǎo)學(xué)生不斷的思考，適時(shí)的追問(wèn)點(diǎn)撥，學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流中畫(huà)出線性示意圖，結(jié)合運(yùn)動(dòng)過(guò)程理解圖像的意義，實(shí)現(xiàn)以形解數(shù)，在畫(huà)圖探究合作交流的過(guò)程中積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中感悟了數(shù)形結(jié)合的思想，以及分類的思想，通過(guò)充分理解圖像之后，利用直觀解法，更是發(fā)展了學(xué)生幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

章建躍教授提出數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”，本節(jié)復(fù)習(xí)課基于學(xué)情架構(gòu)教學(xué)，通過(guò)深度思考教學(xué)目標(biāo)，精心選擇教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)一道例題貫穿課堂，利用問(wèn)題串不斷激發(fā)學(xué)生深度思考；通過(guò)探究活動(dòng)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)，提升思維層次；通過(guò)歸納小結(jié)，收獲思想方法.通過(guò)這樣的教學(xué)活動(dòng)深入落實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)學(xué)生、對(duì)教學(xué)的理解，逐步提升學(xué)生思維的深刻性與敏捷性，從而有效提升復(fù)習(xí)課的效益.

1.卜以樓.生長(zhǎng)構(gòu)架：復(fù)習(xí)課的理念創(chuàng)新［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

2.孫守超.一次函數(shù)：從圖像中獲取信息［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（08）.H