李 永，朱松青，高海濤，周英路

（南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211167）

0 引言

機(jī)器人在現(xiàn)在的生產(chǎn)、生活中扮演著越來越重要的角色，尤其是通用性較強(qiáng)的模塊化機(jī)器人。模塊化機(jī)器人是一種能夠根據(jù)任務(wù)需要改變自身構(gòu)型的機(jī)器人，它能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)機(jī)器人外形固定、適應(yīng)能力低的缺點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于制造業(yè)與軍事等特種作業(yè)環(huán)境中。正是上述特點(diǎn)，導(dǎo)致模塊化機(jī)器人參數(shù)不確定性和摩擦、干擾等非參數(shù)不確定性較傳統(tǒng)機(jī)器人更強(qiáng)。以往的PID控制難以滿足需要，需設(shè)計(jì)新的考慮動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的控制算法如計(jì)算力矩法、動(dòng)力學(xué)前饋法等[1]。計(jì)算力矩法是一種簡單、直觀依賴于模型的控制算法，但模塊化機(jī)器人的特點(diǎn)使得精確動(dòng)力學(xué)模型難以獲得。近年來隨著智能算法的興起，學(xué)者將研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到計(jì)算力矩與模糊控制[2,3]、滑模控制[4,5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6,7]等智能算法相結(jié)合構(gòu)建復(fù)合控制器上，效果較傳統(tǒng)控制算法有長足進(jìn)步。

但模糊控制主要依賴研究者的經(jīng)驗(yàn)，有一定的應(yīng)用難度，而滑?？刂埔攵墩瘳F(xiàn)象難以解決。學(xué)者將計(jì)算力矩算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法結(jié)合設(shè)計(jì)控制器取得良好成績，可是學(xué)者多只考慮機(jī)器人參數(shù)不確定性，未考慮環(huán)境干擾等非參數(shù)的影響，尤其是摩擦這一非參數(shù)不確定性，且多將控制算法應(yīng)用于不存在關(guān)節(jié)耦合項(xiàng)的單關(guān)節(jié)模型。本文旨在考慮模型參數(shù)不確定性和摩擦、干擾等非參數(shù)不確定性的前提下，設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償-計(jì)算力矩復(fù)合控制器在三關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)本控制器具有良好的軌跡跟蹤效果。

1 動(dòng)力學(xué)模型

由牛頓歐拉公式得模塊化機(jī)器人N關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型為：

目前模塊化機(jī)器人廣泛應(yīng)用到環(huán)境復(fù)雜的特種作業(yè)中導(dǎo)致干擾不斷增加且研究表明約有20%的驅(qū)動(dòng)力矩用于克服摩擦。在考慮干擾與摩擦影響的前提下，動(dòng)力學(xué)方程改寫為：

式中M(q)為慣量矩陣；為向心力矩和哥式力矩矢量；G(q)為重力矩矢量；為摩擦力矩矢量；τ為控制輸入力矩矢量；d為干擾力矩矢量。

為簡化計(jì)算，干擾模型為：

式中，da,db,dc為常數(shù)；qd為期望角位移；為期望角速度；

采用較為常用的庫倫+黏性摩擦模型：

式中，F(xiàn)為摩擦力；v為兩接觸面相對(duì)速度；fc為庫倫摩擦系數(shù)；fv為黏性摩擦系數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于計(jì)算力矩的PD反饋控制

計(jì)算力矩法是一種在內(nèi)控回路引入非線性補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)線性化的控制方案。針對(duì)式(1)，根據(jù)計(jì)算力矩法得：

式中u為變量，消除非線性項(xiàng)，且M(q)可逆，故式(5)等價(jià)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)：

當(dāng)qd已知，則均已知。引入基于計(jì)算力矩法的偏置PD控制：

式中，kp為比例增益矩陣，kd為正定微分矩陣，且均正定；這樣穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)為：

將式(8)代入式(5)可得控制律為：

由于不確定性誤差一定存在，我們假設(shè)理想精確模型為：

式中，M0為理想慣量矩陣；C0為理想向心力矩和哥式力矩矢量；G0為理想重力矩矢量。式(10)代入式(2)換算得：

式中為參數(shù)不確定性。根據(jù)式(11)建模不精確部分為：

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制

我們利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近能力實(shí)現(xiàn)對(duì)建模不精確部分的逼近補(bǔ)償，以提高控制效果。常用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)徑向基函數(shù)是高斯基函數(shù)：

式中，ci為第i個(gè)基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)中心矢量；bi為第i個(gè)基函數(shù)的基寬度。

我們采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近模型不確定部分：

式中，W為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，H(x)為高斯基函數(shù)向量，定義逼近誤差為：

已證明δ有界，設(shè)其值0δ為：

綜上所述，由計(jì)算力矩法實(shí)現(xiàn)模型精確部分控制，用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償由于參數(shù)不確定和干擾、摩擦導(dǎo)致的非參數(shù)不確定。設(shè)計(jì)控制律為：

式中是W的估計(jì)值。由式(17)得控制結(jié)構(gòu)圖1：

圖1 控制結(jié)構(gòu)圖

3 穩(wěn)定性證明與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

針對(duì)設(shè)計(jì)的控制器，現(xiàn)基于Lyapunov理論給出穩(wěn)定性證明并根據(jù)自適應(yīng)算法設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律如下。綜合式(2)、式(11)、式(17)可得：

以作狀態(tài)量，式(18)以狀態(tài)空間方程形式表達(dá)為：

式中，為高斯基函數(shù)的權(quán)值誤差。

定義Lyapunov函數(shù)為：

式中，P是對(duì)稱正定矩陣，且滿足Lyapunov方程為矩陣的跡。則：

設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律：

式中，ζ＞0。

將式(22)代入式(21)得：

由范數(shù)的性質(zhì)與不等式原理可知：

式中，λmin(Q)為Q最小特征值，λmax(P)為P最大特征值。要使系統(tǒng)誤差減小為0。需V˙≤0，即：

由公式(25)可知，λmin(Q)越大、λmax(P)越小、越小，使越小，跟蹤效果越好。

4 數(shù)值仿真

三關(guān)節(jié)RRR構(gòu)型模塊化機(jī)器人其底座腰關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，肩與肘兩關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)俯仰運(yùn)動(dòng)。由于所占空間小、靈活性高、工作范圍廣等諸多優(yōu)點(diǎn)，在傳統(tǒng)制造業(yè)和特種服務(wù)行業(yè)得到廣泛應(yīng)用，故本文以此構(gòu)型為仿真研究對(duì)象。該機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程為(2)：

根據(jù)牛頓歐拉公式推導(dǎo)可得：M(q)，其中仿真參數(shù)電機(jī)慣量關(guān)節(jié)質(zhì)量mri=4kg；連桿質(zhì)量mli=2kg；連桿長度kp=[80,0,0；0,80,0；0,0,80]；取-1,-2]；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制參數(shù)Q={500,500,500,500,500,500}。仿真得到如圖2～圖4所示。

圖2 三關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)位置跟蹤圖

圖3 三關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差圖

圖4 三關(guān)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近圖

僅采用基于計(jì)算力矩的偏置PD控制時(shí)，其余數(shù)據(jù)不變情況下仿真得如圖5所示。

圖5 三關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)位置跟蹤圖

由圖2與圖5對(duì)比可知，存在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定與摩擦、干擾等非參數(shù)不確定性情況下，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償-計(jì)算力矩控制器可以解決關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型不確定性問題，減少關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差，具有更好的控制效果。由圖3、圖4可知約6秒時(shí)關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差趨于0，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償逼近機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的不確定誤差模型。

5 結(jié)論

針對(duì)模塊化機(jī)器人具有參數(shù)不確定性和干擾、摩擦等非參數(shù)不確定性較強(qiáng)的問題，設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償-計(jì)算力矩控制器，可以解決其不確定性引起的關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)位置跟蹤不理想的問題。尤其誤差與干擾較大時(shí)，表現(xiàn)尤為明顯，控制器具有很強(qiáng)的抗干擾能力與魯棒性。

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