☉江蘇省木瀆高級中學(xué) 李雅萍

筆者所聽取的一節(jié)區(qū)級公開課的教學(xué)設(shè)計完整且教學(xué)環(huán)節(jié)規(guī)范，很好地實現(xiàn)了執(zhí)教者所預(yù)設(shè)的教學(xué)目標，例題設(shè)計對于學(xué)生理解、轉(zhuǎn)換以及解決問題能力的考查也體現(xiàn)得相當?shù)轿?，取得了很好的教學(xué)效果.本文結(jié)合實際案例以及概念變式教學(xué)中的引入、表征、辨析、應(yīng)用這四個環(huán)節(jié)對中學(xué)數(shù)學(xué)概念變式教學(xué)的策略進行了積極的思考和小結(jié).

一、教學(xué)設(shè)計的分析

問題是數(shù)學(xué)的心臟，而變式教學(xué)則是問題的驅(qū)動.變式教學(xué)的問題驅(qū)動可以從概念性變式與過程性變式兩個方面來設(shè)計，前者借助直觀或具體的變式引入概念并使概念的本質(zhì)屬性得以凸顯，繼而得到概念的科學(xué)外延；而后者則在概念形成過程的揭示中，不斷通過問題的設(shè)置與解決使得特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式得以成功構(gòu)建.

有些教師在“弧度制”的教學(xué)中一般會單刀直入地給出角度制和弧度制之間的換算關(guān)系，然后再布置很多的習(xí)題供學(xué)生反復(fù)演練，這是不可取的.實際上，教師在概念教學(xué)中應(yīng)基于數(shù)學(xué)知識自身的生長點進行問題驅(qū)動的設(shè)計，使得數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程因為問題的驅(qū)動而得到清晰的展示，才能獲得意想不到的良好教學(xué)效果.

問題1：弧度制的引入有什么必要性呢？原有的角度制有什么不夠科學(xué)的地方？角度和實數(shù)的應(yīng)用范圍不夠廣泛，而且數(shù)學(xué)學(xué)科對于統(tǒng)一性也是比較注重的.

問題2：實數(shù)用角來表示應(yīng)如何進行？教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生進行自主思考與嘗試，并根據(jù)學(xué)生的情況進行適時的點撥，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生在圓周率等于圓的周長和直徑的比值與新問題的聯(lián)系上得到角的弧度制這一表示方法，然后再引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上過渡到角度制和弧度制之間的換算方法的學(xué)習(xí)上，促進知識框架搭建的問題驅(qū)動使得教學(xué)創(chuàng)新在問題設(shè)計中得到尤為生動而具體的展現(xiàn).

問題的變式只是變式教學(xué)中的一個很小的組成部分，基本概念辨析型變式、公式的深化變式、多證變式、應(yīng)用變式等等都是變式教學(xué)所涵蓋的豐富內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念的抽象性大多都是比較強的，教師如果在概念教學(xué)中進行簡單而直接的呈現(xiàn)，學(xué)生一般都比較難以接受與理解，但如果教師在概念教學(xué)中能夠注重其變式的設(shè)計，學(xué)生就能更好地掌握概念所體現(xiàn)的客觀實際，教師再適時引導(dǎo)學(xué)生對概念進行進一步的探討與變式研究，學(xué)生知其所以然后自然就會形成更加深刻的理解與感悟.

二、教學(xué)主要內(nèi)容

（一）變式引入

1.復(fù)習(xí)：

（1）小學(xué)：角度制.

單位（1°角）：圓周角的為1°，圓周長l=2πr.

（2）初中：圓心角α所對的圓弧長l=α.

（3）上節(jié)課：以度數(shù)形式將任意角分成正角、零角、復(fù)角.

（4）單位圓：復(fù)習(xí)以原點為圓心、一個單位長為半徑的圓叫做單位圓.

問題：對于一個量的度量在日常生活中有很多方法，“角”的度量一樣如此，函數(shù)的定義域、值域等問題中關(guān)于角的研究，若仍然沿用小學(xué)時期學(xué)的角度制則會產(chǎn)生諸多不便.教師在教學(xué)中圍繞新授的概念進行了多角度問題情境的設(shè)計，使學(xué)生輕松找到“知識的固著點”并為后續(xù)的概念應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ).

2.變式引入：弧度制

同一個圓中，圓心角的大小及其所對弧長是一一對應(yīng)的，但半徑的變化會影響圓心角所對應(yīng)的弧長.

如圖1，事實上

圖1

當α不變時，不管l和r怎樣改變，都是同一個比值（常數(shù)）.

（二）變式表征

1.弧度數(shù)

將圓心角所對的弧長和半徑的比值記作為α，那么，

圓心角所對的弧度數(shù)在圓的半徑是1個單位長度時就是這個角的弧度數(shù)，即α=l.

分析：不同角所對的弧度數(shù)也各不相同，角越大，其弧度數(shù)也就越大，因此，弧度數(shù)也是可以度量角的大小的度量單位.

2.弧度的角（單位）

1弧度的角也就是我們通常所講的單位圓中長是1個單位長度的弧所對應(yīng)的圓心角，我們通常記作1rad.

注：（1）圓角的弧度數(shù)是2π（單位圓中，圓周長l=2π）.

（2）角的正負決定了該角弧度數(shù)的正負，而零角的弧度數(shù)即為零.

如圖1，弧AB可以看成射線OA繞著端點O旋轉(zhuǎn)過程中點A移至點B而形成的.

點A移動的方向有順時針與逆時針兩種，可用“-”、“+”來表示其方向.若單位圓弧長是3π，且所對圓心角α為負角，則α=-3π.

（3）半徑是r的圓中的任一角α的弧度數(shù)α的絕對值都會滿足：|α|=，其中l(wèi)為圓心角α所對圓弧的長，r為半徑.

（三）變式辨析

1.弧度制

度量角的又一個單位制.

2.角度和弧度之間的互換

360°=2πrad，πrad=180°.

注：（1）1°=，1rad=（）°≈57°18′；（2）rad常省去不寫；（3）角有角度制與弧度制兩種度量方法.

（四）變式應(yīng)用

例1 （1）將45°角化成弧度表示；

（2）將rad化成度數(shù)表示.

例2 如圖2，如果運用弧度來表達陰影部分角的集合應(yīng)該是怎樣的呢？

變式應(yīng)用：（1）將下列各角化成角度或者弧度：

圖2

①-300°； ②π.

（2）思考：手表上的時針與分針在3∶00至5∶35這個時間段內(nèi)，時針與分針分別轉(zhuǎn)了______弧度與______的角.

作業(yè)：教材與練習(xí)冊上的習(xí)題.

小結(jié)：1.學(xué)生對于弧度制這一定義的理解；2.學(xué)生對于弧度制與角度制之間互相轉(zhuǎn)化的方法的掌握.

三、教學(xué)反思

1.學(xué)生對新概念的感悟與理解得益于變式教學(xué)的實施

學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵是對概念的正確理解，學(xué)生學(xué)習(xí)枯燥而抽象的數(shù)學(xué)概念時往往會產(chǎn)生索然無味的感覺，變式教學(xué)的實施不僅能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景與含義，還能使學(xué)生對概念、內(nèi)涵的理解更加深刻而鮮明.

2.學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成與發(fā)展得益于變式教學(xué)的實施

“一題多解”、“一題多變”這些變式教學(xué)中常用的手段能使所學(xué)知識在更多不同情境與層次中得到反復(fù)的滲透與利用，學(xué)生對所學(xué)知識的再認識與再深化往往就在這一過程中得到很好的感悟與實現(xiàn).

3.學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的保持得益于變式教學(xué)的實施

課堂教學(xué)的效果容易受到學(xué)生參與度的極大影響，變式教學(xué)的實施使得教材前后知識的銜接更加自然而流暢，難度逐步增強且具有鮮明層次性的習(xí)題也使學(xué)生在不斷的探索中加深對知識、原理的理解與應(yīng)用，學(xué)生在不斷變化的練習(xí)中能夠始終保持數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新鮮情感與好奇心態(tài)，學(xué)習(xí)參與的動力與熱情也使良好的學(xué)習(xí)效果得到了有力的保障.

4.復(fù)習(xí)課教學(xué)效率的提升得益于變式教學(xué)的實施

綜合性或者有一定難度的變式令學(xué)生在復(fù)習(xí)梳理與解題中不斷聯(lián)系前后所學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想方法的運用由此變得更加靈活而科學(xué).

5.學(xué)生變式研究能力的鍛煉和提高得益于變式教學(xué)的實施

每年的高考試題都是一些基礎(chǔ)知識與常見典型例題加以變化而形成的，學(xué)生對于變式研究的能力越強也就越發(fā)能夠“窺得廬山真面目”，解題自然也就輕松了.

總之，教師一定要認識到變式教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的影響與價值，積極引導(dǎo)學(xué)生在探究、交流中不斷運用自己所學(xué)知識進行變式的研究與訓(xùn)練.教師在變式教學(xué)中不僅要能夠深入研究、把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，并且還應(yīng)該在此基礎(chǔ)上設(shè)計出更多有意義的變式問題，還要在引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生參與變式問題設(shè)計上動腦筋、想辦法，使學(xué)生能夠在不斷地積極參與中不斷發(fā)揮出自己的潛在能力，這不僅是學(xué)生知識掌握水平與能力的準確定位，也是教師衡量自身教學(xué)效果的檢驗與歸宿.學(xué)生不斷變化角度對問題的本質(zhì)進行再認識并逐漸升華必須倚賴變式教學(xué)的精心設(shè)計與實施，不僅如此，學(xué)生在親身參與和實踐的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中還能獲得自身數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、智力與綜合能力的良好發(fā)展.

1.李民權(quán).讓“活”字貫穿整個數(shù)學(xué)課堂［J］.中學(xué)生數(shù)理化，2013（04）.

2.王增運.課堂生成性資源處理技巧淺探［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2012（15）.J