余 燁, 胡 翔, 熊 超, 石文靜, 涂良成

(1. 湖北省計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院, 湖北 武漢 430071;2. 華中科技大學(xué) 物理學(xué)院 重力導(dǎo)航教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430074;3. 華中科技大學(xué) 武漢國家光電實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430074)

1 引 言

重力位的二階導(dǎo)數(shù)可以很好地描述地球重力場(chǎng)的特征,且其空間分辨率比重力更高,適用于探測(cè)研究局部小地質(zhì)體及其細(xì)節(jié)。重力梯度儀是一種測(cè)定重力場(chǎng)梯度信號(hào)的儀器[1,2]，由于傳統(tǒng)的扭秤重力梯度儀解釋重力梯度數(shù)據(jù)的方法比較落后、測(cè)量的工作效率很低、設(shè)備笨重等缺點(diǎn)而逐漸被其它重力梯度儀器所取代,但是其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低廉、測(cè)量精度高等優(yōu)點(diǎn),因此采用扭秤測(cè)量重力梯度的方法并沒有消失[3～6]。

本文設(shè)計(jì)了一款新型的扭秤重力梯度儀,考慮到傳統(tǒng)的重力梯度數(shù)據(jù)提取方法的落后性,采用整體最小二乘法,該方法同時(shí)考慮到系數(shù)矩陣與觀測(cè)向量的誤差,可精確地提取梯度數(shù)據(jù),并給出相應(yīng)的精度估計(jì);考慮到扭秤懸掛系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)間過長(zhǎng),極大地影響了重力梯度的測(cè)量效率,采用PID控制技術(shù),設(shè)計(jì)了一款振幅衰減系統(tǒng),該系統(tǒng)能夠快速實(shí)現(xiàn)振幅衰減,可極大地提高扭秤的工作效率。

2 扭秤測(cè)量重力梯度的原理

厄缶扭秤系統(tǒng)一般由金屬秤桿、2個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量、鉑銥合金輕質(zhì)細(xì)絲組成。金屬秤桿非常細(xì)而且較長(zhǎng),其一端的檢驗(yàn)質(zhì)量用較長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)絲懸掛,另一端檢驗(yàn)質(zhì)量直接與金屬桿相連,如圖1所示。圖1中Oxyz為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系,Oξηz為與扭秤懸點(diǎn)固連的坐標(biāo)系, 沿著秤桿長(zhǎng)方向,ξ沿著秤桿短方向,η沿著鉛垂線方向。2個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量由于位置的差異,所感應(yīng)水平加速度不同,而扭絲通過扭轉(zhuǎn)一定的角度,記錄水平方向的待測(cè)力。扭絲感應(yīng)的力矩包含2個(gè)部分:一部分與曲率梯度有關(guān),另一部分與水平梯度有關(guān)。選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,就可以建立待測(cè)力矩與重力梯度的聯(lián)系。

圖1 厄缶扭稱結(jié)構(gòu)示意圖

扭秤系統(tǒng)的引力矩為:

mlhWyzcosα-mlhWxzsinα

(1)

式中:α為方位角;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;m為檢驗(yàn)小球的質(zhì)量;l為半桿長(zhǎng)度;h為輕質(zhì)懸絲的長(zhǎng)度;Wxz與Wyz分別為水平方向的重力加速度沿著z軸的變化,即水平重力梯度;WΔ與Wxy為曲率重力梯度,與重力等位面的不均勻性有關(guān)。

扭秤在受到外界的引力矩作用時(shí),運(yùn)動(dòng)方程可以寫為:

(2)

式中:θ為扭絲偏轉(zhuǎn)的角度;β為阻尼系數(shù);k為懸絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)。方程的解可以寫成如下形式:

(3)

式(3)包括2部分:第1部分表示扭秤自由振動(dòng)過程;第2部分表示扭秤振動(dòng)過程中,所在的平衡位置。其中ω0為扭秤的本征頻率,A0、φ0分別為扭秤的初始振幅與相位。

在靜態(tài)測(cè)量時(shí),僅僅需要提取扭秤運(yùn)動(dòng)的平衡位置,而忽略它的自由振動(dòng)過程,那么扭絲的偏轉(zhuǎn)角度與外部恒定力矩可以寫成如下的關(guān)系:

M(α)=kΔθ=k(θ-θ0)

(4)

式中θ0為懸絲不受任何外力作用時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度。扭秤的力學(xué)平衡方程可以簡(jiǎn)化為:

mlhcosαWyz-mlhsinαWxz

(5)

由于地球重力場(chǎng)不均勻,因此式(5)中的θ0當(dāng)做未知量來處理,式(5)有5個(gè)未知數(shù)。所以要想得到重力梯度值,需要在同一點(diǎn)設(shè)置不同的方向(α不同)上測(cè)量5次。

3 實(shí)驗(yàn)裝置

扭秤重力梯度儀的核心在于扭秤的設(shè)計(jì)。厄缶扭秤是傳統(tǒng)扭秤中測(cè)量梯度信號(hào)最多的裝置,因此主要借鑒它的原理,設(shè)計(jì)一種新的扭秤重力梯度儀,該裝置結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 扭秤重力梯度儀結(jié)構(gòu)示意圖

對(duì)應(yīng)的力學(xué)平衡方程為:

f1Wxycos 2α+f2Wyzcosα

(6)

扭秤重力梯度儀主要由轉(zhuǎn)臺(tái)、真空系統(tǒng)、扭秤系統(tǒng)、角度測(cè)量系統(tǒng)、振幅衰減系統(tǒng)5部分組成。轉(zhuǎn)臺(tái)用來改變扭秤的方位角。真空系統(tǒng)用來維持扭秤的工作環(huán)境。扭秤系統(tǒng)用來測(cè)量曲率、水平重力梯度,是梯度儀的核心部分,主要由懸絲、秤桿、兩根豎桿等組成,石英玻璃具有密度低且均勻性好、雜質(zhì)含量少、熱膨脹系數(shù)低、楊氏模量高的特點(diǎn),被選做為秤桿材料,同時(shí)為了避免靜電干擾,玻璃秤桿的表面鍍上一層金屬薄膜,其設(shè)計(jì)尺寸為200 mm×12 mm×14 mm；秤桿的兩端的上表面與下表面通過粘貼的方式分別配置一個(gè)尺寸為15 mm×12 mm×100 mm鈦合金重荷,該方式與細(xì)絲懸掛檢驗(yàn)質(zhì)量的方法相比,大大的減小了懸掛系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間,同時(shí)也避免了檢驗(yàn)質(zhì)量擺動(dòng)對(duì)重力梯度測(cè)量的影響；當(dāng)然也存在一定的缺點(diǎn),相同的檢驗(yàn)質(zhì)量,厄缶扭秤通過輕質(zhì)細(xì)絲懸掛,兩個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量的相對(duì)豎直距離可以放得更遠(yuǎn),而本結(jié)構(gòu)無法避免虛空,相對(duì)距離較近,降低了扭秤的靈敏度；懸絲是goodfellow公司生產(chǎn)純度為99.9%、直徑為50 μm、長(zhǎng)度為500 mm的鎢絲,其一端與旋轉(zhuǎn)導(dǎo)引相連,另一端通過套管與夾具粘貼在秤桿上表面的中心，通過旋轉(zhuǎn)導(dǎo)引可以改變扭秤系統(tǒng)的平衡位置,同時(shí)也可以在初始狀態(tài)調(diào)節(jié)扭秤的振幅,快速使扭秤進(jìn)入測(cè)量狀態(tài)。角度測(cè)量系統(tǒng)由自準(zhǔn)直儀、石英窗口、反射鏡、秤桿組成,用來監(jiān)測(cè)扭秤的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。其中將秤桿的前表面作為反射鏡,采用ELCOMAT 3000 自準(zhǔn)直儀作為角度測(cè)量裝置。扭秤沒有受到外力的作用下,反射鏡與自準(zhǔn)直儀標(biāo)準(zhǔn)線的夾角為θ0,當(dāng)扭秤受到不均勻的重力作用時(shí),平面鏡與自準(zhǔn)直儀的夾角為θ,反射鏡轉(zhuǎn)過的角度就為鎢絲的偏轉(zhuǎn)角。振幅衰減系統(tǒng)如圖3所示，通過在秤桿兩側(cè)加上兩對(duì)反饋極板,與秤桿構(gòu)成電容,采用靜電反饋的模式來控制扭秤在平衡位置,實(shí)現(xiàn)扭秤振幅的快速衰減,從而使扭秤系統(tǒng)進(jìn)入測(cè)量狀態(tài),之后關(guān)閉振幅衰減系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)待測(cè)力矩的靜態(tài)測(cè)量；但是,該系統(tǒng)僅衰減振幅作用,達(dá)到目的后,停止工作,不會(huì)對(duì)重力梯度造成影響。

圖3 振幅衰減系統(tǒng)

整個(gè)伺服系統(tǒng)的閉環(huán)控制框圖如圖4所示。其中Rin為輸入的參考偏轉(zhuǎn)角度;Re為殘差信號(hào);u為PID控制器的輸出電壓;τ為執(zhí)行機(jī)的控制力矩;Rout為扭秤的偏轉(zhuǎn)角度;Rf為自準(zhǔn)直儀的輸出;HP(s)為PID控制器的傳遞函數(shù);HA(s)為執(zhí)行器的傳遞函數(shù);HT(s)為為曲率重力梯度被控對(duì)象的傳遞函數(shù);HO(s)為自準(zhǔn)直儀的傳遞函數(shù)。

圖4 閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仿真

4.1 扭秤系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間的模擬

為了評(píng)估扭秤懸掛系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間,本文選用simulink軟件仿真。采用MATLAB的非線性的工具箱,通過設(shè)定相關(guān)的控制指標(biāo),系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)地找出最佳的PID參數(shù),仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 階躍信號(hào)模擬圖

取PID參數(shù)P=10 000,I=0,D=10 000,振幅衰減 10 000 μrad時(shí),控制所需的時(shí)間約為7 min,可極大提高扭秤的測(cè)量效率(傳統(tǒng)扭秤,懸掛系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間為20～30 min,效率提高了3～4倍),同時(shí)考慮到扭秤的運(yùn)動(dòng)周期(9～10 min)以及每個(gè)測(cè)點(diǎn)的極限測(cè)量次數(shù)(6次),扭秤重力梯度儀的重力梯度測(cè)量的極限效率約為1 h。

4.2 重力梯度數(shù)據(jù)精度提取模擬

式(6)有5個(gè)未知數(shù)據(jù),傳統(tǒng)上在每一個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行5個(gè)方位的測(cè)量,然后聯(lián)立5個(gè)方程,最后求出梯度值。該方法很難對(duì)重力梯度的不確定度進(jìn)行合理的評(píng)估,而整體最小二乘法提供了合適的處理方案[7～8]。

影響重力梯度的一級(jí)誤差項(xiàng)來源于有結(jié)構(gòu)系數(shù)f1、f2以及扭秤的方位角αi、鎢絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)k、角度測(cè)量系統(tǒng)θi的測(cè)量不確定度。設(shè)計(jì)的誤差分配如表1所示。

表1 誤差分配表

采用整體最小二乘法對(duì)21個(gè)測(cè)點(diǎn)的重力梯度值[9]進(jìn)行大量的隨機(jī)誤差數(shù)值仿真(其中每一個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行10 000組數(shù)據(jù)模擬,每一組模擬包含12個(gè)力學(xué)平行方程,及對(duì)應(yīng)扭秤系統(tǒng)的12個(gè)方位),曲率、水平重力梯度信號(hào)的最大精度估計(jì)如圖6所示。

圖6 重力梯度誤差分布模擬

從圖6中可以得到,重力梯度的最大精度估計(jì)全部都在0.1～0.3E(1E=1×10-9m/s2)之間,且WΔ、Wyz和Wxz的精度大約是Wxy精度的兩倍,設(shè)計(jì)精度優(yōu)于0.5E。

5 結(jié)束語

設(shè)計(jì)了一款扭秤重力梯度儀,可以測(cè)量曲率、水平重力梯度,經(jīng)仿真測(cè)量精度優(yōu)于0.5E,設(shè)計(jì)的扭秤振幅衰減系統(tǒng)可快速實(shí)現(xiàn)扭秤振幅的衰減,使扭秤快速進(jìn)入測(cè)量狀態(tài),測(cè)量一組重力梯度數(shù)據(jù)的極限效率約為1h,與傳統(tǒng)的扭秤重力梯度儀相比極大地提高了測(cè)量效率。

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