魏西寧

摘 要：提高學(xué)生的運(yùn)算能力絕非一朝一夕之功，需要將這個(gè)目標(biāo)化解在平時(shí)的教學(xué)過程中，本文就以《空間向量與立體幾何》的教學(xué)為例，對如何將“提高學(xué)生的運(yùn)算能力”落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)中進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：空間向量 方向向量 法向量

在《空間向量與立體幾何》中，空間向量的引入為立體幾何問題的處理提供了新的視角。具體來說空間向量的引入為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。在這一部分中，首先，學(xué)生將在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間中，其次，學(xué)生將學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

學(xué)生學(xué)習(xí)《空間向量與立體幾何》要達(dá)到的目標(biāo)：學(xué)會應(yīng)用空間向量解決立體幾何中的問題，將幾何問題代數(shù)化。

要利用空間向量解決立體幾何的相關(guān)問題，首先要建立空間向量與空間圖形的對應(yīng)關(guān)系；其次，要能用向量語言表述線、面的平行、垂直關(guān)系，夾角運(yùn)用向量計(jì)算的方法；最后，還要找到點(diǎn)、線、面之間距離運(yùn)用向量計(jì)算的方法。

在《空間向量的應(yīng)用》教學(xué)中應(yīng)注意以下問題：

一、直線的方向向量與平面的法向量的定義及確定

這一部分是空間向量應(yīng)用最基礎(chǔ)也是最根本的知識，要詳細(xì)講解。

1.直線的方向向量的定義：

是空間一直線，A，B是上任意兩點(diǎn)，則稱為的方向向量。

解讀：與平行的任意非零向量也是直線的方向向量；是非零向量，有無數(shù)多個(gè)，彼此平行，且與直線平行。

2.平面的法向量的定義：

若直線垂直于平面α，則把的方向向量叫作α的法向量。

解讀：平面的法向量是非零向量，有無數(shù)多個(gè)，彼此平行，且垂直于該平面。

3.直線的方向向量與平面的法向量的確定

直線方向向量的確定：由定義知在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)造出一個(gè)非零向量，就是直線的方向向量；或已知與直線平行的向量，可作為直線的方向向量。

平面法向量的確定方法：

法一：依定義有：若已知是α的垂線，則l的方向向量是α的法向量。

法二：在α上任取不共線的三個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)不共線的向量和，設(shè)α的法向量為，則垂直于和，即有，用坐標(biāo)表示則得到關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，該方程組有無數(shù)組解，只需取出一組解（給x賦值可解得對應(yīng)的y，z；同理給y或z賦值可解得其余兩個(gè)量），就得到α的一個(gè)法向量。

法二的依據(jù)是：和是平面α上兩個(gè)不共線向量，由平面向量基本定理知：平面α上任一向量，可用和表示：

垂直于和，即，

，

垂直于，即垂直于平面α上任意向量，是平面的一個(gè)法向量。

二、通過向量確定線、面之間的平行與垂直

學(xué)生已會求直線的方向向量和平面的法向量，這一部分的任務(wù)就變成將線、面的平行與垂直和相關(guān)向量之間的關(guān)系進(jìn)行歸納，可引導(dǎo)學(xué)生完成，得出結(jié)論：

已知直線的方向向量分別為，平面α，β的法向量分別為，

三、利用向量來計(jì)算夾角

1.空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示：，

則

2.線、面夾角的定義以及線、面夾角與向量夾角的關(guān)系i）直線的夾角

定義當(dāng)兩直線共面時(shí)，把交角中在的角叫作的夾角；當(dāng)是異面直線時(shí)，在上任取一點(diǎn)A作，把與AB的夾角叫做的夾角，其范圍為.

綜上，夾角，設(shè)的方向向量分別為，則有：

若，則；

若；則；

∴.

3.平面的夾角

定義：平面α，β相交于直線，點(diǎn)A為上任意一點(diǎn)，過A在上分別作，，把的夾角叫作平面α，β的夾角。

可知平面的夾角轉(zhuǎn)換為共面兩直線的夾角，所以.

設(shè)∠BAC是α，β的夾角θ，

即∠BAC是的夾角，.

如圖，C作α的垂線，過B作β的垂線，.

則∠BAC+∠BDC=π，且的方向向量是α的法向量，記為；的方向向量是β的法向量，記為；

；；

∴平面α，β的夾角或，

.

4.直線與平面的夾角

定義：平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.可知將直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角，則范圍是.

已知直線ι與平面α相交于點(diǎn)B，在ι上任取一點(diǎn)A，過A作的α垂線交α于點(diǎn)C。

設(shè)的方向向量為，∠ABC是與α的夾角θ，即θ=∠ABC，.又AC是α的一條垂線，則AC的方向向量是α的法向量。

∴，又；

∴或；

∴或；.

四、利用向量計(jì)算距離

1.在上的投影的大小為：；

2.求平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離；求與平面平行的直線到該平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離；求兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離。

以上是本人對《空間向量與立體幾何》教學(xué)上的一點(diǎn)認(rèn)識。