白月星,蘇道畢力格

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)和物理領(lǐng)域中求解偏微分方程(PDEs)的解常常是困難的,因此求解PDEs顯得至關(guān)重要.Lie對(duì)稱是公認(rèn)的普適性最廣的方法之一,Lie群是研究微分方程的對(duì)稱性并求出其解析解的強(qiáng)有力工具,一個(gè)主要應(yīng)用是尋找群不變解[1–5].利用給定對(duì)稱群的任意子群求解相應(yīng)的特征方程,可以把原方程約化為自變量更少的方程.對(duì)稱群的每個(gè)子群都對(duì)應(yīng)著一組群不變解,然而這樣的子群似乎總有無(wú)窮多個(gè),要列出所有可能的群不變解幾乎是不可能的.要找到這些完整且不等價(jià)的群不變解,也就需要對(duì)所有的群不變解進(jìn)行分類.對(duì)這個(gè)問(wèn)題,Ovsiannikov和Olver分別發(fā)展出一些系統(tǒng)有效的方法,由此引入了“最優(yōu)系統(tǒng)”的概念.構(gòu)建最優(yōu)系統(tǒng)有很多方法,如Ovsiannikov利用伴隨表示的矩陣法構(gòu)建最優(yōu)系統(tǒng)[6],Petera發(fā)展了一種很重要的方法,已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到物理學(xué)中[7,8].目前國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)其進(jìn)行研究,推動(dòng)了最優(yōu)系統(tǒng)的發(fā)展[9–15].

應(yīng)用對(duì)稱方法的前提是確定PDEs擁有的各類對(duì)稱.Lie算法把確定對(duì)稱的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定對(duì)應(yīng)無(wú)窮小向量的問(wèn)題,而該無(wú)窮小向量是由滿足確定方程組的無(wú)窮小生成函數(shù)確定.完成這個(gè)過(guò)程將涉及到大量、復(fù)雜的機(jī)械化計(jì)算.研究發(fā)現(xiàn),微分形式的吳方法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一.近年來(lái),朝魯教授推廣建立了微分形式的吳方法,即吳-微分特征列集算法[16,17].該算法主要考慮控制計(jì)算過(guò)程中符號(hào)堆積及易于在軟件Mathematica中實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題,使吳方法的應(yīng)用從純代數(shù)理論推廣到微分情形,發(fā)展了吳方法.我們知道如果直接得到微分方程(組)的全部對(duì)稱群是非常困難的,并且傳統(tǒng)Lie算法中未能考慮未知量的序關(guān)系,導(dǎo)致計(jì)算機(jī)上的無(wú)窮循環(huán)及工作量大等許多困難,而這些問(wèn)題由吳-微分特征列集算法得到部分解決.目前,吳-微分特征列集算法成功的應(yīng)用在PDEs的古典對(duì)稱、非古典對(duì)稱、高階對(duì)稱、近似對(duì)稱、勢(shì)對(duì)稱、守恒律和對(duì)稱分類等問(wèn)題上,取得了優(yōu)異的成果,促進(jìn)了PDEs對(duì)稱理論的研究[18–23].我們基于該算法研究了對(duì)稱方法在NLPDE邊值問(wèn)題中的應(yīng)用[24,25].最近,朝魯?shù)热死迷撍惴ㄑ芯苛薒ie代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng).

本文利用Lie對(duì)稱方法研究了Poisson方程的單參數(shù)李對(duì)稱群和群對(duì)應(yīng)的伴隨表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了該Lie對(duì)稱群的一維最優(yōu)系統(tǒng),并利用一維最優(yōu)系統(tǒng)中的元素對(duì)Poisson方程進(jìn)行對(duì)稱約化,確定不變解及其精確解.具體過(guò)程:首先,利用吳-微分特征列集算法和符號(hào)計(jì)算軟件Mathemetica,計(jì)算Poisson方程對(duì)應(yīng)的古典對(duì)稱;其次,計(jì)算換位子、伴隨算子,通過(guò)伴隨方法構(gòu)建該方程的一維最優(yōu)系統(tǒng);最后,確定古典對(duì)稱所對(duì)應(yīng)的不變解以及精確解,豐富了Poisson方程的精確解.

2 Poisson方程的一維最優(yōu)系統(tǒng)

2.1 Poisson方程的對(duì)稱

考慮Poisson方程

假設(shè)方程(2.1)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱向量為

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)為該對(duì)稱的無(wú)窮小生成函數(shù).根據(jù)Lie算法可以得到方程(2.1)的對(duì)稱對(duì)應(yīng)的確定方程組,但是很難手動(dòng)求解.基于吳-微分特征列集算法,應(yīng)用該算法的Mathematica程序包進(jìn)行計(jì)算得到與確定方程組等價(jià)的特征列集對(duì)應(yīng)的方程組,即

求解上面的方程組,得到無(wú)窮小生成函數(shù)

其中c1,c2,c3,c4,c5是任意常數(shù),則無(wú)窮小向量為

所以方程(2.1)有5個(gè)單參數(shù)古典對(duì)稱,其對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小向量為

2.2 Poisson方程的一維最優(yōu)系統(tǒng)

在上一部分中得到了無(wú)窮小生成向量,下面構(gòu)造一維最優(yōu)系統(tǒng).

定義1無(wú)窮小生成元Xα,Xβ的換位子是一階算子

其中

因此得到 [Xα,Xβ]=?[Xβ,Xα].

定義2設(shè)G是Lie對(duì)稱群,g是G對(duì)應(yīng)的Lie代數(shù),對(duì)于每一個(gè)v∈g,伴隨算子Adv關(guān)于w∈g,有

根據(jù)定義1和定義2,可以計(jì)算方程(2.1)所擁有的Lie對(duì)稱構(gòu)造一維最優(yōu)系統(tǒng).

表1:換位子表

表2:伴隨關(guān)系表

根據(jù)求一維最優(yōu)系統(tǒng)的方法,設(shè)一個(gè)非零的X∈L5,L5是構(gòu)成Lie代數(shù)

其中a1,a2,a3,a4,a5是任意常數(shù).

(1)假設(shè) a1≠0,不失一般性.令 a1=1,則X=X1+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5.為了使X2消失,利用伴隨算子X′=Ad(exp(εX3))X,通過(guò)計(jì)算有

令 ε=a2,則有

下一步將 Ad(exp(εX5))作用于 X′,有 X′′=Ad(exp(εX5))X′,通過(guò)計(jì)算有

為了消去 X5,令 ε=a5,有X′′=X1+a3X3+(a4+a2a5?a3a5)X4.將 Ad(exp(εX4))作用于 X′′,有 X′′′=Ad(exp(εX4))X′′,通過(guò)計(jì)算有

為了消去 X6,令 ε=a4+a2a5?a3a5,有X′′′=X1+a3X3.由上式知不能再繼續(xù)利用伴隨算子.

(2)假設(shè) a1=0,a5≠0,不失一般性.令 a5=1,則X=a2X2+a3X3+a4X4+X5.為了使X4消失,將伴隨算子Ad(exp(εX3))作用于X,有

通過(guò)計(jì)算有

令ε=a4,則有X′=a2X2+a3X3+X5.由上式知不能再繼續(xù)利用伴隨算子.

(3)假設(shè) a1=a5=0,a2≠0,不失一般性.令 a2=1,則X=X2+a3X3+a4X4.為了使X4消失,將伴隨算子Ad(exp(εX5))作用于 X,有X′=Ad(exp(εX5))X,通過(guò)計(jì)算有

(4)假設(shè) a1=a2=a5=0,a3≠0,不失一般性.令a3=1,則X=X3+a4X4.為了使X4消失,將伴隨算子 Ad(exp(εX5))作用于X,有X′=Ad(exp(εX5))X,通過(guò)計(jì)算有

令ε=a4,則有X′=X3.由上式知不能再繼續(xù)利用伴隨算子.

(5)假設(shè) a1=a2=a3=a5=0,a4≠0.不失一般性,令 a4=1,則X=X4.由上式知不能再繼續(xù)利用伴隨算子.

綜上得到方程(2.1)的一維最優(yōu)系統(tǒng)為

其中 λi(i=1···6)是任意常數(shù).

3 Poisson方程的不變解

1.下面計(jì)算古典對(duì)稱

對(duì)應(yīng)的Lie變換群.X1+X3對(duì)應(yīng)的初值問(wèn)題為

通過(guò)求解(3.2)式,得到對(duì)應(yīng)的單參數(shù)Lie變換群如下

2.通過(guò)古典對(duì)稱

對(duì)應(yīng)的單參數(shù)Lie變換群為

將Lie變換群(3.4)作用于該情況的不變解u1(x,t),得到

其中,以上得到的精確解都是對(duì)應(yīng)方程的新解,因篇幅有限,其它情況在本文中不進(jìn)行討論.

4 本文結(jié)論

偏微分方程(PDEs)的求解經(jīng)常出現(xiàn)在物理、工程力學(xué)等研究領(lǐng)域中.隨著科技的進(jìn)步,推動(dòng)了求解PDEs的持續(xù)發(fā)展,目前計(jì)算PDEs的不變解顯得尤為重要.本文通過(guò)應(yīng)用吳-微分特征列集算法和Mathematica軟件,獲得了Poisson方程的對(duì)稱和Lie代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng),并且計(jì)算了最優(yōu)系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)元素的Lie變換群.將所得的Lie變換群作用于不變解得到了新的精確解,達(dá)到了豐富Poisson方程的精確解的效果.