宋連寧，葉雨農(nóng)，榮 志，胡 俊，聶在平

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 611731)

隨著軍事技術(shù)的發(fā)展，電磁散射問題的數(shù)值仿真分析方法研究長期以來廣受關(guān)注。其中，多目標(biāo)電磁散射問題，由于具有強(qiáng)烈的實(shí)戰(zhàn)背景，使得其在雷達(dá)目標(biāo)特性分析、軍用目標(biāo)隱身與反隱身等實(shí)際工程中有著很強(qiáng)的研究價(jià)值。而多目標(biāo)散射由于在宏觀上空間分布范圍廣，在微觀上又具有諸多細(xì)節(jié)，這種多尺度特性給問題的分析和求解帶來了許多挑戰(zhàn)。國內(nèi)外學(xué)者在處理此類問題時(shí)，均采用了分而治之的思想，對(duì)單個(gè)目標(biāo)采用適宜的求解器，對(duì)目標(biāo)間的耦合則著力降低問題求解的復(fù)雜度。

對(duì)于多個(gè)具有簡單外型的旋轉(zhuǎn)體目標(biāo)，文獻(xiàn)[1-2]采用BoR矩量法降低目標(biāo)的求解復(fù)雜度，同時(shí)將BoR基函數(shù)映射到RWG上，使用多層快速多極子(MLFMA)[3]進(jìn)行多旋轉(zhuǎn)體和普通目標(biāo)之間的耦合計(jì)算。為了克服該方法對(duì)于目標(biāo)外型的要求，文獻(xiàn)[4-5]使用EPA將復(fù)雜目標(biāo)等效到旋轉(zhuǎn)體上，該方法對(duì)于含多個(gè)相同結(jié)構(gòu)的復(fù)雜目標(biāo)的計(jì)算十分有效。對(duì)于粗糙面和目標(biāo)復(fù)合的散射問題，文獻(xiàn)[6]將粗糙面進(jìn)行近似計(jì)算，使用多路徑等近似方式降低了粗糙面和目標(biāo)間的耦合。此外，基于MLFMA的多區(qū)迭代[7]、基于區(qū)域分解的內(nèi)外迭代[8-9]等技術(shù)降低了區(qū)域間的耦合迭代次數(shù)。

最近，一種基于復(fù)源波束(CSB)的方法應(yīng)用在了電磁場分析中[10]。該方法用定義在等效面上的復(fù)源點(diǎn)表征內(nèi)部各基函數(shù)與外界的互作用[11-12]，將基函數(shù)間的矩量法遠(yuǎn)場阻抗矩陣表示為這些復(fù)源點(diǎn)之間的相互作用[13]。由于復(fù)源點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)源波束天然具有空間方向性[14]，該方法可以通過提取貢獻(xiàn)強(qiáng)的復(fù)源波束來提高阻抗矩陣的填充速度并降低內(nèi)存消耗。更進(jìn)一步，文獻(xiàn)[15]實(shí)現(xiàn)了多層復(fù)源波束法(MLCSB)，該方法可以將計(jì)算的時(shí)間和內(nèi)存復(fù)雜度降為

傳統(tǒng)的多層方法在進(jìn)行組間轉(zhuǎn)移耦合時(shí)，需要兩個(gè)組具有完全相同的幾何尺寸，而基于復(fù)源波束的方法對(duì)此沒有限制?；诖耍疚尼槍?duì)多目標(biāo)計(jì)算問題改進(jìn)了MLCSB算法，每個(gè)目標(biāo)依然使用MLCSB進(jìn)行計(jì)算，而不同目標(biāo)間則依據(jù)其幾何尺寸，利用復(fù)源波束自適應(yīng)地在不同目標(biāo)間進(jìn)行耦合。

1 表面電流的多層復(fù)源波束展開

金屬目標(biāo)的散射場由其表面感應(yīng)電流的二次輻射引起，利用場-源積分，可以得到該電場的積分表達(dá)式：

式中，k0為自由空間波數(shù)；0η為自由空間波阻抗；r是場點(diǎn)的位置； ′r是源點(diǎn)的位置；是自由空間中的電型并矢格林函數(shù)；J(r′)是目標(biāo)表面的電流。利用RWG基函數(shù)，可以將其離散為：

圖1 目標(biāo)上電流的復(fù)源點(diǎn)等效

根據(jù)等效原理，位于包圍目標(biāo)的閉合面外的場，可由位于該面上的一系列等效源產(chǎn)生。若將這些等效源的三維實(shí)空間位置解析延拓到六維復(fù)空間，這種等效可以寫作[10]：

式中，

表示等效面內(nèi)電流產(chǎn)生場和復(fù)源波束場相應(yīng)分量在遠(yuǎn)區(qū)的匹配矩陣。通過求解式(5)，可以獲得當(dāng)前組的復(fù)源波束展開矩陣表示第j個(gè)基函數(shù)向第q個(gè)復(fù)源波束展開的權(quán)系數(shù)。

利用該展開矩陣，可以方便地由目標(biāo)表面電流展開系數(shù)I得到可以獲得等效面上的復(fù)源波束展開系數(shù)：

對(duì)于電大目標(biāo)，由于基函數(shù)和所需的展開波束的增加，為了提高計(jì)算效率，可以仿照MLFMA對(duì)目標(biāo)建立多層結(jié)構(gòu)，并利用子組的復(fù)源點(diǎn)波束系數(shù)遞歸地獲得父組的系數(shù)。為此，可以仿照式(5)建立子父組間的復(fù)源點(diǎn)波束的遠(yuǎn)場匹配矩陣：

式中，

表示第l+1層的子組上位于的ε′極化的復(fù)源波束，在遠(yuǎn)區(qū)點(diǎn)處所產(chǎn)生場的ε分量：同式(7)相似，式(11)表示第l層父組等效面內(nèi)的場和復(fù)波束場的匹配矩陣，其實(shí)、復(fù)位置均同父組相關(guān)。

通過求解式(9)，可以獲得l+1層子組波束的在l層父組的聚合矩陣：

特別地，當(dāng)子組位于最細(xì)層時(shí)，應(yīng)使用式(8)直接計(jì)算其展開系數(shù)。

2 多層復(fù)源點(diǎn)波束法

對(duì)于金屬表面的電場積分方程(EFIE)，其阻抗矩陣元素為：

在源和場組的等效面上利用兩次式(3)的復(fù)源波束等效，可以將兩個(gè)遠(yuǎn)區(qū)組m和m′之間的阻抗矩陣和電流系數(shù)Im′的相乘改寫為：

式中，Wm′、Wm分別是式(8)中定義的組m和m′的復(fù)源波束展開矩陣；上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。

為組m和m′之間的轉(zhuǎn)移因子矩陣，其塊矩陣元素為：

3 多層復(fù)源點(diǎn)波束法的自適應(yīng)策略

對(duì)于多目標(biāo)問題，不同目標(biāo)間的分布范圍非常廣，使用傳統(tǒng)的八叉樹結(jié)構(gòu)對(duì)整個(gè)計(jì)算空間進(jìn)行劃分，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加。為此，本文使用區(qū)域分解技術(shù)進(jìn)行空間劃分，對(duì)于每個(gè)區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)，可以使用多層復(fù)源點(diǎn)波束方法計(jì)算；由于在計(jì)算子區(qū)時(shí)，獲得了該區(qū)域的復(fù)源點(diǎn)波束展開，不同區(qū)域之間可以利用該復(fù)源點(diǎn)波束之間進(jìn)行耦合。使用兩種方式進(jìn)行空間劃分如圖2所示

圖2 區(qū)域分解和自適應(yīng)策略

3.1 目標(biāo)的區(qū)域分解

如圖2a所示的兩個(gè)目標(biāo)，使用傳統(tǒng)的八叉樹進(jìn)行整體空間劃分時(shí)，會(huì)造成過多的空組和過多的層數(shù)。在使用區(qū)域分解技術(shù)后，每個(gè)目標(biāo)都處在獨(dú)立的八叉樹中，不會(huì)產(chǎn)生額外的空組和過多的分層數(shù)。

3.2 自適應(yīng)轉(zhuǎn)移

對(duì)于傳統(tǒng)MLFMA方法，兩個(gè)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)移操作的不同組總是要處在相同的層中，也就是組大小必須一致，否則需要進(jìn)行聚合或配置使得兩個(gè)組大小一致。而對(duì)于式(16)中的轉(zhuǎn)移操作，沒有嚴(yán)格要求二者的大小一致，因此，可以實(shí)現(xiàn)按區(qū)域大小自適應(yīng)地進(jìn)行轉(zhuǎn)移，進(jìn)而可以避免額外的聚合和配置計(jì)算。

圖2b所示的兩個(gè)不同大小的組，它們之間的轉(zhuǎn)移矩陣元素為：

式中，oα,sα和oβ,sβ分別為組O和S的等效面半徑和波束寬度參量。

由于CSB具有方向性，又可以通過組之間的相對(duì)位置，自適應(yīng)地選擇轉(zhuǎn)移矩陣中的主要元素，避免額外地轉(zhuǎn)移。定義CSB在波束寬度參量調(diào)制下的波束寬度為oθ和sθ，當(dāng)CSB的指向同組中心之間的連線夾角分別超過oθ和sθ時(shí)，不再參與轉(zhuǎn)移。

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文方法的正確性，對(duì)兩組全金屬多目標(biāo)問題進(jìn)行了計(jì)算。

4.1 雙金屬球分析

圖3 使用本文方法、MLCSB和MoM計(jì)算的兩個(gè)金屬球雙站RCS

如圖3所示，本文首先計(jì)算了由兩個(gè)常見金屬球組成的簡單多體散射模型。其中大球S直徑4 m，其球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)；小球O直徑0.5 m，其球心位于(-13.75, 0, 0)處。采用平面波進(jìn)行激勵(lì)，入射波波長為1 m，頻率300 MHz，沿x軸正方向入射方向極化。目標(biāo)使用RWG基函數(shù)進(jìn)行剖分，其未知量分別為345和18 297。最細(xì)層尺寸設(shè)置為0.25 m，大球共分5層，在其高層的等效面上共有1 758個(gè)CSB等效源；小球在其等效面上共有130個(gè)CSB等效源。在使用自適應(yīng)轉(zhuǎn)移時(shí)，sθ為120°，使得大球上向小球進(jìn)行轉(zhuǎn)移降低到1 332個(gè)；小球尺寸較小，CSB的方向性并不明顯，使用全部波束進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

圖3還給出了使用本文方法、使用MLCSB和使用MoM計(jì)算的的雙站雷達(dá)散射截面(RCS)結(jié)果，可以看到，3種方法的結(jié)果完全一致。

4.2 直升機(jī)與導(dǎo)彈序列分析

本文最后計(jì)算了一架直升機(jī)以及由其發(fā)射的3枚導(dǎo)彈序列。直升機(jī)的尺寸為8.6 m×6.3 m×3 m；發(fā)射出去的導(dǎo)彈長1 m，其圓柱部分的直徑為0.15 m；導(dǎo)彈和直升機(jī)之間的間距如圖4所示。該問題在實(shí)際應(yīng)用中有重要意義，然而在使用傳統(tǒng)方法計(jì)算時(shí)，因多個(gè)目標(biāo)間隔較遠(yuǎn)，使得計(jì)算極為復(fù)雜。使用RWG基函數(shù)進(jìn)行幾何剖分后，3枚導(dǎo)彈的未知量為1 088，直升機(jī)部分為42 396。計(jì)算采用平面波進(jìn)行激勵(lì)，入射波波長為1 m，頻率300 MHz，沿x軸正方向入射方向極化。圖5對(duì)比了通過本文方法和使用MLCSB計(jì)算的雙站RCS結(jié)果，對(duì)比顯示兩種方法的結(jié)果吻合良好。

圖4 直升機(jī)與3枚導(dǎo)彈示意圖

圖5 圖4中目標(biāo)使用本文方法和MLCSB計(jì)算的雙站RCS

在使用本文方法計(jì)算時(shí)，由于使用了基于區(qū)域分解的空間劃分和自適應(yīng)的復(fù)源點(diǎn)波束轉(zhuǎn)移，計(jì)算的內(nèi)存占用為6.033 GB，單次矩矢相乘時(shí)間為1.4 s；而在使用MLCSB整體計(jì)算時(shí)，內(nèi)存占用為12.975 GB，單次矩矢相乘時(shí)間為2.22 s。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)多目標(biāo)的散射計(jì)算問題，提出了自適應(yīng)的多層復(fù)源點(diǎn)波束法來加速矩量法的遠(yuǎn)區(qū)計(jì)算。該方法首先基于區(qū)域分解對(duì)每個(gè)目標(biāo)進(jìn)行單獨(dú)分組和空間劃分；隨后在每個(gè)目標(biāo)上使用多層復(fù)源點(diǎn)波束法來計(jì)算阻抗矩陣和電流矢量的相乘，同時(shí)獲得整個(gè)目標(biāo)在當(dāng)前電流矢量下的復(fù)源點(diǎn)波束展開系數(shù)；最后使用自適應(yīng)的多層復(fù)源點(diǎn)波束轉(zhuǎn)移來計(jì)算目標(biāo)間電流耦合。結(jié)果表明，本文方法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，并且可以節(jié)約計(jì)算所需的時(shí)間和內(nèi)存。