熊宇聰，張 猛,2

（1.北京控制工程研究所，北京 100089；2.北京軒宇空間科技有限公司，北京 100089）

0 引言

隨著智能交通工具研究的興起，具有側(cè)傾控制的兩輪自平衡汽車憑借其外形輕巧、駕駛靈活等優(yōu)點(diǎn)受到了國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注[1]。兩輪汽車的動(dòng)力學(xué)模型是典型的非線性欠驅(qū)動(dòng)非完整約束系統(tǒng)[2]，在無相對(duì)滑動(dòng)的理想情況下，兩輪汽車的前后輪的橫向和縱向運(yùn)動(dòng)均受到由地面形成的非完整約束，且兩輪汽車在側(cè)傾方向無直接驅(qū)動(dòng)激勵(lì)，因此在極低速行駛或靜止的情況下，無法保持車身的平衡[3]。目前，針對(duì)兩輪汽車模型欠驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)，相關(guān)研究人員提出了多種控制機(jī)構(gòu)以維持兩輪汽車的自平衡，包括方向轉(zhuǎn)向[4]，重量平衡體[5]和控制力矩陀螺儀（CMG）[6]三種控制機(jī)構(gòu)。相較而言，控制力矩陀螺儀具有輸出力矩大、易于使用電氣控制等優(yōu)點(diǎn)[6]，因此獲得了廣泛研究。通過控制力矩陀螺儀提供側(cè)傾方向力矩，控制兩輪汽車在側(cè)傾方向獲得期望的姿態(tài)響應(yīng)是兩輪自平衡汽車的關(guān)鍵技術(shù)之一。

文獻(xiàn)[6]利用Euler-Lagrange方法推導(dǎo)了基于單個(gè)控制力矩陀螺儀兩輪汽車的動(dòng)力學(xué)模型，給出了一種基于模型的雙環(huán)自抗擾控制方法（Active Disturbance Rejection Control），這種控制方法主要采用兩個(gè)串聯(lián)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器和兩個(gè)具有自抗擾作用的狀態(tài)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了兩輪汽車的在側(cè)傾角為2°范圍內(nèi)恢復(fù)平衡和對(duì)側(cè)傾方向姿態(tài)干擾的抑制。文獻(xiàn)[7]利用Euler-Lagrange方法推導(dǎo)了與文獻(xiàn)[6]相似的兩輪汽車動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)得到的非線性模型在平衡點(diǎn)處進(jìn)行了線性化，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制方法，使兩輪自平衡汽車可從側(cè)傾角為3°左右恢復(fù)平衡。文獻(xiàn)[8]采用了與文獻(xiàn)[6]相同的動(dòng)力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，實(shí)驗(yàn)表明，該控制方法能使兩輪汽車在側(cè)傾角度為26°時(shí)恢復(fù)到直立平衡狀態(tài)。文獻(xiàn)[9]采用了文獻(xiàn)[7]相似的兩輪汽車動(dòng)力學(xué)模型，在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，并提出了模糊滑?？刂坪妥赃m應(yīng)模糊滑模控制兩種控制方法。實(shí)驗(yàn)表明，兩種控制方法均能維持兩輪汽車在平衡點(diǎn)附近的平衡狀態(tài)，比較兩種控制方法，自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒ň哂懈鼜?qiáng)的抑制干擾能力。

對(duì)于兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動(dòng)力學(xué)模型為非線性動(dòng)力學(xué)模型，上述文獻(xiàn)均采用了平衡點(diǎn)處線性化處理方法，不可避免的存在線性化誤差。此外，對(duì)于姿態(tài)控制，兩輪自平衡汽車的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是兩個(gè)主要關(guān)注因素，而上述文獻(xiàn)主要關(guān)注兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向姿態(tài)控制的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，未開展動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程分析。

本文綜合研究了兩輪自平衡汽車側(cè)傾動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制問題，采用反饋線性化方法將兩輪自平衡汽車的非線性動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為線性動(dòng)力學(xué)模型，避免了兩輪自平衡汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化處理，從而消除了線性化誤差的影響。利用狀態(tài)反饋對(duì)轉(zhuǎn)換的線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行極點(diǎn)配置，設(shè)計(jì)兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，建立兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與反饋系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，在保證兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的同時(shí)，兼顧控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。針對(duì)所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，采用PI控制器實(shí)現(xiàn)控制力矩陀螺儀的力矩輸出調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，滿足相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求。最后，本文結(jié)合具體的仿真算例驗(yàn)證了所提出的基于反饋線性化控制方法的有效性。

圖1 兩輪汽車底部機(jī)械結(jié)構(gòu)圖

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1 兩輪自平衡車模型

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本節(jié)介紹兩輪自平衡汽車機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖1給出了兩輪自平衡汽車底部機(jī)械結(jié)構(gòu)圖。如圖1所示，兩輪自平衡汽車底部安裝一組控制力矩陀螺儀對(duì)兩輪汽車進(jìn)行側(cè)傾姿態(tài)控制，一組控制力矩陀螺儀反向旋轉(zhuǎn)，在驅(qū)動(dòng)電機(jī)作用下反向旋進(jìn)，以產(chǎn)生側(cè)傾方向的控制力矩。

圖2給出了兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。如圖2所示，控制系統(tǒng)由測(cè)量單元、控制單元和執(zhí)行單元三部分構(gòu)成，三個(gè)部分通過車輛供電母線供電并通過車輛通信總線實(shí)現(xiàn)通信，控制單元包括自平衡控制器和CMG控制器，測(cè)量單元包括陀螺儀和加速度計(jì)，執(zhí)行單元包括CMG和CMG驅(qū)動(dòng)器。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

圖3給出了兩輪自平衡汽車車體受力示意圖。如圖3(a)所示，兩輪自平衡汽車保持直立狀態(tài)時(shí)，O點(diǎn)與O'點(diǎn)分別為前后輪與地面之間的接觸點(diǎn)，以后輪與地面接觸點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ox軸與水平方向OO'軸重合，Oy軸沿鉛垂方向，Oz軸根據(jù)右手法則確定，指：向紙面外。h為兩輪自平衡汽車質(zhì)心高度。如圖3(b)所示，兩輪自平衡汽車車體繞側(cè)傾軸Ox軸發(fā)生側(cè)傾運(yùn)動(dòng)時(shí)，側(cè)傾角為地面對(duì)兩輪汽車的彈力與摩擦力的作用線通過側(cè)傾軸Ox，力矩為0，車體質(zhì)量為m時(shí)，車體受到重力矩mghsin與控制力矩陀螺儀產(chǎn)生的控制力矩u的合力矩作用，矢量正方向?yàn)閳D示方向。由動(dòng)力學(xué)原理，兩輪自平衡汽車側(cè)傾運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，J為兩輪自平衡汽車整車相對(duì)側(cè)傾軸Ox軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖3 兩輪自平衡汽車受力圖

兩輪自平衡汽車自平衡系統(tǒng)由一組控制力矩陀螺儀和一組旋進(jìn)電機(jī)組成，如圖1所示。圖4給出了控制力矩陀螺儀輸出力矩圖，當(dāng)兩輪汽車側(cè)傾角度為時(shí)，控制力矩陀螺儀角動(dòng)量所在的平面為Oxy'平面，兩個(gè)控制力矩陀螺儀在驅(qū)動(dòng)電機(jī)作用下反向旋進(jìn)，旋進(jìn)角的模為?，旋進(jìn)角速度的模為。單個(gè)控制力矩陀螺儀角動(dòng)量H大小不變，旋進(jìn)角度為?時(shí)，其在側(cè)傾軸Ox軸和Oy'上的投影分別為：

式(2)和式(3)求導(dǎo)得：

圖4所示控制力矩陀螺儀之間具有對(duì)偶關(guān)系，因此控制力矩陀螺儀在旋進(jìn)過程中角動(dòng)量的總變化量為方向沿Ox正方向。根據(jù)角動(dòng)量守恒，車體所受控制力矩u沿Ox軸負(fù)方向，大小為：

圖4 控制力矩陀螺儀輸出

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 車體控制

根據(jù)式(1)，兩輪自平衡汽車車體的動(dòng)力學(xué)模型為非線性二階系統(tǒng)。為了精確控制非線性二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，構(gòu)造參考力矩輸入uref，當(dāng)控制力矩陀螺儀產(chǎn)生的實(shí)際輸入u滿足：

兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)滿足期望動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求。式(7)成立時(shí)，根據(jù)兩輪自平衡汽車車體的動(dòng)力學(xué)模型(1)，式(8)成立：

式(8)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)框圖如圖5(a)所示。

非線性二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式復(fù)雜，而在兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)中，狀態(tài)變量側(cè)傾角度與側(cè)傾角速度可以通過測(cè)量元件實(shí)時(shí)測(cè)量，在車體質(zhì)量m，車體質(zhì)心高度h已知的情況下，采用反饋線性化控制，在參考力矩uref中引入靜態(tài)反饋?zhàn)饔昧科淇刂葡到y(tǒng)框圖如圖5(b)所示，即：

其中，u1為參考力矩的線性作用部分。

式(9)代入式(8)得：

式(10)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)框圖如圖5(c)所示，通過在參考力矩uref中引入靜態(tài)反饋?zhàn)饔昧寇圀w二階非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為二階線性系統(tǒng)。利用狀態(tài)變量側(cè)傾角度與側(cè)傾角速度可實(shí)現(xiàn)二階線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的精確控制。設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋如圖5(d)所示。

圖5 車體控制設(shè)計(jì)

即：

式(11)代入式(10)可得：

拉普拉斯變換得：

對(duì)于兩輪自平衡汽車從初始側(cè)傾角度恢復(fù)至直立狀態(tài)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程為階躍響應(yīng)[7]。

由于階躍響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)相差常數(shù)倍，研究單位階躍響應(yīng)可以得到階躍響應(yīng)的全部性質(zhì)，由式(14)，根據(jù)二階線性系統(tǒng)理論當(dāng)K=0時(shí)，兩輪自平衡汽車的階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)為無阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程為：

當(dāng)0＜K＜2時(shí)，兩輪自平衡汽車的階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與速度反饋系數(shù)K之間的函數(shù)關(guān)系如下：

延遲時(shí)間td：

上升時(shí)間tr：

峰值時(shí)間tp：

調(diào)節(jié)時(shí)間ts：

當(dāng)K=2時(shí)，兩輪自平衡汽車的階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)為臨界阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程為：

當(dāng)K＞2時(shí)，兩輪自平衡汽車的階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)為過阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與K之間的函數(shù)關(guān)系為：

延遲時(shí)間td：

上升時(shí)間tr：

式(15)～式(23)建立了動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程指標(biāo)與速度反饋系數(shù)K之間的函數(shù)關(guān)系，通過調(diào)整K值可以使兩輪自平衡汽車側(cè)傾動(dòng)態(tài)響應(yīng)滿足期望的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。

2.2 控制力矩陀螺儀控制

為實(shí)現(xiàn)2.1節(jié)所設(shè)計(jì)的車體側(cè)傾動(dòng)態(tài)過程，控制力矩陀螺儀的輸出力矩為：

根據(jù)CMG的輸出力矩模型(6)，參考力矩uref所對(duì)應(yīng)的陀螺儀旋進(jìn)角度ref與旋進(jìn)角速度ref滿足：

對(duì)比式(6)與式(25)，當(dāng)控制力矩陀螺儀的旋進(jìn)角度與旋進(jìn)角速度滿足式(26)時(shí)，式(24)成立。

控制力矩陀螺儀的旋進(jìn)角速度由驅(qū)動(dòng)電機(jī)控制，對(duì)于驅(qū)動(dòng)電機(jī)，其調(diào)速控制式(26)可由單位負(fù)反饋結(jié)合PI控制器實(shí)現(xiàn)，如圖6所示。

圖6 驅(qū)動(dòng)電機(jī)控制

2.3 穩(wěn)定性證明

兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成，分別為車體自平衡控制系統(tǒng)和控制力矩陀螺儀控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)工作原理如圖7所示。由姿態(tài)測(cè)量單元測(cè)量?jī)奢喿云胶馄嚠?dāng)前側(cè)

對(duì)于控制力矩陀螺儀控制系統(tǒng)，輸入輸出穩(wěn)定的充要條件為圖6所示閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根位于復(fù)平面的左半平面。

圖6所示閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程為：

根據(jù)勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)，式(27)的根位于復(fù)平面左半平面的充要條件是：

式(28)與式(29)成立時(shí)，控制力矩陀螺儀輸入輸出穩(wěn)定。圖6所示控制系統(tǒng)誤差函數(shù)為：

此時(shí)，式(26)和式(24)成立，從而兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)為(14)，其特征方程為：

式(30)的根位于復(fù)平面左半平面的充要條件為：

當(dāng)式(28)、式(29)、式(31)與式(33)同時(shí)成立時(shí)，控制系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定。

3 控制系統(tǒng)仿真

3.1 性能驗(yàn)證仿真參數(shù)

某車型兩輪自平衡汽車相關(guān)物理參數(shù)如表1所示。

表1 兩輪自平衡汽車相關(guān)參數(shù)

兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的姿態(tài)響應(yīng)過程為階躍響應(yīng)。對(duì)于所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)，兩輪自平衡汽車能維持平衡的充要條件為式(24)成立。對(duì)于式(24)，具有如下性質(zhì)：在任意非平衡位置處，控制力矩陀螺儀的輸出力矩u的模大于車體所受重力矩mghsin的模，且兩者方向保持相反。由表1參數(shù)計(jì)算可知，兩輪自平衡汽車所受重力矩最大為490N.m。由于控制力矩陀螺儀隨著驅(qū)動(dòng)電機(jī)的旋進(jìn)，輸出力矩單調(diào)遞減，為了滿足兩輪自平衡汽車保持平衡的充要條件，設(shè)置初始側(cè)傾角度為15°，約0.26rad，控制力矩陀螺儀的最大輸出為800N.m，參考側(cè)傾角度為0°，即平衡位置。

圖7 控制系統(tǒng)工作原理圖

對(duì)于上述仿真條件，控制力矩陀螺儀控制器參數(shù)可選取KP=8，KI=2，自平衡控制器參數(shù)分別選取K=0（無阻尼），K=1（欠阻尼），K=2（臨界阻尼），K=3（過阻尼）四種仿真參數(shù)分別驗(yàn)證式(15)～式(23)。

在MATLAB/SIMULINK軟件中，選擇Runge-Kutt積分方法，以1ms為定步長(zhǎng)對(duì)本文提出的側(cè)傾姿態(tài)控制方法進(jìn)行性能仿真驗(yàn)證。

3.2 性能驗(yàn)證仿真結(jié)果

分別選取K=0（無阻尼），K=1（欠阻尼），K=2（臨界阻尼），K=3（過阻尼）四種仿真參數(shù)對(duì)兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 性能驗(yàn)證結(jié)果

從圖8(a)可以看出，當(dāng)K=0時(shí)，兩輪自平衡汽車在控制器作用下在平衡位置附近做等幅振蕩運(yùn)動(dòng)，振幅為15°，振蕩周期為T=6.28s，符合式(15)計(jì)算得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在圖8(b)中，兩輪自平衡汽車車體側(cè)傾動(dòng)態(tài)響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)，根據(jù)(16)式～式(20)計(jì)算，延遲時(shí)間td=1.35s，最大峰值時(shí)間tp與上升時(shí)間tr為3.62s，超調(diào)量為σ%=16.32%，與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。從圖8(c)與圖8(d)可以得出，當(dāng)K=2和K=3＞2時(shí)，兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)為臨界阻尼響應(yīng)和過阻尼響應(yīng)，根據(jù)式(21)～式(23)式計(jì)算，延遲時(shí)間td分別為1.8s和2.35s，上升時(shí)間分別為3.5s和5.5s，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，通過改變自平衡控制器的速度反饋系數(shù)K值，可以定量調(diào)整兩輪自平衡汽車車體側(cè)傾方向響應(yīng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與K值之間的函數(shù)關(guān)系式為式(15)～式(21)。

3.3 動(dòng)態(tài)響應(yīng)設(shè)計(jì)與仿真

為說明本文提出的控制器對(duì)兩輪自平衡汽車側(cè)傾動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制能力，針對(duì)側(cè)傾動(dòng)態(tài)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束，計(jì)算符合約束要求的速度反饋系數(shù)K值，進(jìn)一步仿真驗(yàn)證。

在初始側(cè)傾角度為30°時(shí)，回復(fù)至平衡狀態(tài)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求如下：

解上述不等式組(35)，可得速度反饋系數(shù)滿足0.714≤K≤0.88，選取K=0.8，進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果如圖9所示。將K=0.8代入式(16)～式(20)計(jì)算可得td=1.272s，tr=2.16s，tp=3.426s，σ%=25%滿足動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束。

圖9 動(dòng)態(tài)響應(yīng)設(shè)計(jì)結(jié)果

4 結(jié)論

對(duì)于有駕駛?cè)藛T參與駕駛的兩輪自平衡汽車，車體側(cè)傾方向姿態(tài)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是兩輪自平衡汽車側(cè)傾姿態(tài)控制的兩個(gè)重要因素。本文提出了基于反饋線性化的控制綜合控制方法，利用反饋線性化將兩輪自平衡汽車的非線性動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換成為線性動(dòng)力學(xué)模型，消除了在平衡點(diǎn)處線性化引起的線性化誤差。針對(duì)線性動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋，并建立速度反饋系數(shù)K與動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，通過改變速度反饋系數(shù)K，可準(zhǔn)確改變兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)，定量設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程。針對(duì)所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，本文為提供側(cè)傾力矩的控制力矩陀螺儀輸出力矩調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)了PI控制器，并證明了整車控制系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，為兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向姿態(tài)控制提供了一種新的控制算法。最后通過具體車型的仿真結(jié)果說明了本文提出的控制算法的有效性。