陳浩　王小麗

摘 要：給出一種基于質(zhì)心形式的Lagrange插值公式及其推導(dǎo)，其實(shí)現(xiàn)更加快速且數(shù)值上更穩(wěn)定. 其豐富了多項(xiàng)式插值的內(nèi)容，對(duì)于在數(shù)值分析的學(xué)習(xí)中提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)和興趣很有意義.

關(guān)鍵詞：Lagrange插值公式 質(zhì)心公式

在數(shù)值分析的教學(xué)中，Lagrange插值類問題是一個(gè)難點(diǎn). 數(shù)值分析教材廣泛認(rèn)為，Lagrange插值公式形式優(yōu)美但其數(shù)值實(shí)現(xiàn)有一定的不足. 筆者認(rèn)為，通過引入Lagrange插值公式的一種質(zhì)心表示形式，可以克服其數(shù)值實(shí)現(xiàn)的困難. 同時(shí)，這不僅給學(xué)生們提供了解決插值問題的一類新思路，提高了學(xué)習(xí)效率，也提高了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，是值得嘗試的.

設(shè) 為 個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的插值節(jié)點(diǎn). 令 為所有不超過 ，次的多項(xiàng)式的集合. 則經(jīng)典的插值問題為：求一多項(xiàng)式 使其通過所有的插值節(jié)點(diǎn)，即： 該問題的解是存在唯一的且其解的Lagrange形式為[1]：

Lagrange插值公式的優(yōu)點(diǎn)在于其形式優(yōu)美且利于理論分析，其不足之處主要在其數(shù)值實(shí)現(xiàn)方面[2]，如：

1.計(jì)算 需要 次加法和乘法運(yùn)算；

2.增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn) 需要重新計(jì)算；

3.數(shù)值不穩(wěn)定性.

在數(shù)值實(shí)現(xiàn)方面，數(shù)值分析教材一般建議利用Newton插值公式與秦九韶算法結(jié)合[1]來實(shí)現(xiàn)，其計(jì)算 僅需要 次加法和乘法運(yùn)算且增加新節(jié)點(diǎn) 不需要重復(fù)計(jì)算.

為得到Lagrange插值公式的等價(jià)形式，我們先將Lagrange插值基函數(shù)改寫.令 并定義質(zhì)心權(quán)系數(shù)

此質(zhì)心公式為L(zhǎng)agrange插值公式的等價(jià)形式，但其具有特殊且優(yōu)美的對(duì)稱性. 其計(jì)算 需要 次加法和乘法運(yùn)算且為了增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn) 而更新權(quán)系數(shù) 僅需要 次運(yùn)算，同時(shí)其具備優(yōu)良的穩(wěn)定性[2].

Lagrange質(zhì)心公式（3）相比Newton插值公式的好處之一是其避免了差商表的計(jì)算. 此外，Lagrange質(zhì)心公式不依賴插值節(jié)點(diǎn)的排列順序，而Newton插值公式中差商表的計(jì)算非常依賴插值節(jié)點(diǎn)的排序，尤其當(dāng) 很大時(shí)很多排序會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定性.

參考文獻(xiàn)

[1] 李慶楊，王能超，易大義. 數(shù)值分析[M]. 5版. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2] J. Berrut， L. N. Trefethen. Barycentric Lagrange interpolation [J]. SIAM Review， 2004， 46：501-517.

作者簡(jiǎn)介

陳浩（1986.02—），男，湖北潛江人，博士，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，研究方向：數(shù)值分析。

王小麗（1987.11—），女，山西臨縣人，碩士，重慶師范大學(xué)地理與旅游學(xué)院，研究方向：教育教學(xué)方向