高山山　樸勇杰

摘 要 數(shù)列求和問題是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的部分，一直都是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，下面總結(jié)了數(shù)列求和的常用方法，以期開闊學(xué)生處理數(shù)列問題的視野，幫助學(xué)生在高考中靈活處理數(shù)列求和問題。

關(guān)鍵詞 數(shù)列求和 錯(cuò)位相減 倒序相加

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

縱觀近年來高考試題，數(shù)列求和逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)一般數(shù)列求和，而這些數(shù)列求和都有一定的技巧，下面筆者將介紹一些高中數(shù)列求和的主要方法，并給出具體的高考題實(shí)例。

1常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和的基本方法，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，常用的數(shù)列求和公式還有：

（1）

（2）

2錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法主要適用于當(dāng)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列時(shí)求或者時(shí)，通過兩邊乘以等比數(shù)列的公比來列出一個(gè)式子，然后將兩個(gè)式子錯(cuò)位相減可得到。需要注意的是等比數(shù)列的公比等于1就不適用了。

例1：設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：

兩式相減可得，

所以

3倒序相加法

倒序相加法適用于與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的數(shù)列，運(yùn)用這種方法首先需要將一個(gè)數(shù)列倒過來進(jìn)行排列，再與原數(shù)列相加得到，利用數(shù)列特點(diǎn)最終求得數(shù)列之和。

例2：已知，則的值為多少？

解：因?yàn)椋?/p>

，相加得

，即。

4裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法就是將已知數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，通過一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，就可以獲得該數(shù)列的前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)變?yōu)槭孜采贁?shù)項(xiàng)的和，這是分解和組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。一般地，通項(xiàng)分解形式常見的有如下兩種類型。

（1）

（2）

5分組求和法

這種方法一般適用于可化成等差加減等比形式的數(shù)列求和，然后進(jìn)行分組，把等差數(shù)列放一起，等比數(shù)列放一起進(jìn)行求和。

例3：求數(shù)列9， 99， 999，…，99…9（n個(gè)9），…的前n項(xiàng)和。

解：此數(shù)列是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，我們可以將9轉(zhuǎn)換為1011，將99轉(zhuǎn)換為1021，以此類推，將99…9（n個(gè)9）轉(zhuǎn)換為10n1，再將其看成是兩個(gè)數(shù)列相加。

（n個(gè)9）

6數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，可以得到可靠評(píng)析的一種歸納推理方法，把歸納和演繹結(jié)合起來，是一種完全歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法原理：（1）已知命題P（1）成立；（2）若命題P（k）成立，則P（k+1）成立；由（1）（2）命題得P（n）成立。

注：第一，兩步缺一不可。第二，第二步證明必須利用歸納假設(shè)得出結(jié)論。

例4：已知，，求。

解：猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時(shí)，符合；

（2）假設(shè)時(shí)，成立。那么當(dāng)時(shí)，

符合上式，綜上可得成立。

數(shù)列求和問題方法靈活多樣，以上所說的幾種求和方法，給出了很多解題的思路和方法，只有把握解題思路，才可以熟練掌握求和的方法。鑒于該知識(shí)點(diǎn)難度較大，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中加以理解記憶，靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)

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