江蘇 章岐男

高三數(shù)學經(jīng)過一輪的復習，二輪復習主要是以知識模塊為專題，對高中數(shù)學主要章節(jié)的重點內(nèi)容進行復習，進行知識綜合應用，引導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡，提升學生解決綜合問題的能力.但是在實踐中也有一些困惑：①與第一輪復習的內(nèi)容有重復的地方，有些知識點出現(xiàn)重復，例題區(qū)別不大，給學生炒冷飯的感覺，容易讓學生產(chǎn)生“審美疲勞”；②學生在第一輪復習中的疑點和盲點并沒有很好的解決，知識與方法的漏洞沒有及時補上；③對于考試中出現(xiàn)的一些新的熱點問題研究較少或者研究不深，并沒有很好的幫助學生解決這一類問題，讓學生感覺自己解決問題的關(guān)鍵能力提升太少，教學工作事倍功半，效率不高.

在二輪復習中怎樣來解決這些問題讓學生在二輪中提升關(guān)鍵能力？可以嘗試在二輪復習中穿插微專題.所謂“微專題”是指立足于學情、教情、考情，選擇一些切口小、角度新、針對性強的微型復習專題，力求解決復習課中的真問題、小問題和實問題.微專題有三大特點：①切入點比較小，直指一個問題或者一類小問題，不求大而廣；②針對性強，主要針對學生反復出現(xiàn)錯誤的問題；③及時性，能夠把最新的熱點及時講授，可提高學生的學習興趣.在實踐中，按照以下幾個方面實施教學.

一、關(guān)注考試熱點，提升創(chuàng)新能力

每年高三復習二輪階段，各地的調(diào)研卷或多或少會有新的熱點，所謂“熱點”是指各地考卷經(jīng)?？嫉闹R點或者知識點以較新的面貌出現(xiàn)在大家面前，比較受大家關(guān)注.通過調(diào)研卷不難發(fā)現(xiàn)一些熱點問題，作為教師，首先要研究透這些熱點，思考能不能組成一個微專題和學生分享.通過微專題的形式，讓學生掌握相關(guān)知識，提升創(chuàng)新能力.

例如函數(shù)導數(shù)類綜合問題的考查力度一直很大，基本上作為壓軸題，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等，常以與ex，lnx有關(guān)的函數(shù)形式出現(xiàn)，且伴隨對參數(shù)的討論.學生對于這類題目總是束手無策，得分很低.針對這個熱點問題，筆者設計微專題《函數(shù)導數(shù)綜合應用》.

【課前預習】

1.已知定義在R上的可導函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)

【解析】∵y=f(x+1)為偶函數(shù)，

∴y=f(x+1)的圖象關(guān)于x=0對稱，

∴y=f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，

∴f(2)=f(0)，又∵f(2)=1，

∴f(0)=1.

又∵f′(x)

∴f′(x)-f(x)<0，∴g′(x)<0，

∴g(x)單調(diào)遞減，

即g(x)<1，

∴g(x)

∴x>0，故答案為(0，+∞)．

這是根據(jù)導函數(shù)的形式逆向構(gòu)造函數(shù)中的一類與ex密切相關(guān)的問題，學生平時對已知函數(shù)求導問題掌握較好，但是逆向構(gòu)造就有點困難，但會讓學生感覺新鮮.

【解析】∵k為正數(shù),且對任意的x1,x2∈(0,+∞),

當g′(x)>0時,x∈(0,1);

當g′(x)<0時,x∈(1,+∞),

又k>0,∴k≥1，

【引例】

已知函數(shù)F(x)=lnx-x+1．

(Ⅰ)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(Ⅱ)已知不等式3ln(x+1)<3x+m對一切x>-1恒成立，求m的取值范圍．

∴F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)減區(qū)間是 (1，+∞)，且F(x)在x=1處取得極大值也是最大值0，沒有最小值．

(Ⅱ)由3ln(x+1)<3x+m，

得m>3ln(x+1)-3x對x>-1恒成立，

令g(x)=3ln(x+1)-3x，只需m>g(x)max即可．

當-10；

當x>0時，g′(x)<0．

∴g(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減．

∴g(x)max=g(0)=0,

則m>0,故m的取值范圍為(0，+∞)．

實際上，由(Ⅰ)可知lnx-x+1≤0對x>0恒成立，且在x=1時取得最大值0，以x+1代入x則可得ln(x+1)-(x+1)+1≤0恒成立，故不等式3ln(x+1)<3x+m可化為 3ln(x+1)-3(x+1)-3，即m>0.如此，起到將陌生問題化為熟悉的、已解決的問題的作用.提升了學生的轉(zhuǎn)化能力.

【典例剖析】

通過例1，讓學生學會構(gòu)造兩個函數(shù)，對于這類綜合題，構(gòu)造函數(shù)是學生必備知識技能之一.其實由引例可知，lnx+1≤xln(x+1)-(x+1)+1≤0(由x+1代入lnx-x+1中的x可得),即證F(x+1)≤0；而即即這樣只需要構(gòu)造一個函數(shù)即可！

例2若b>a>e，證明ab>ba.

例3(2014·江蘇卷·19)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；

(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

【探究】已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)．記函數(shù)y=f(x)圖象為曲線C，設點A(x1,y1),B(x2，y2)是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N．試問：曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

答案：不平行.過程略.

變式1設函數(shù)f(x)=alnx-bx2，其圖象在點P(2，f(2))處切線的斜率為-3．當a=2時，令g(x)=f(x)-kx，設x1，x2(x1

變式2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，a為常數(shù).若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2，試證明x1x2>e2.

本題對學生的要求較高，主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導數(shù)的應用等基本知識，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題的能力.

本節(jié)課的例題主題明確，面對這類綜合題目，先變形，然后構(gòu)造函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為導數(shù)問題或者恒成立問題等來求解，讓學生不再畏懼這類難題，提升學生的綜合解題能力.

通過本節(jié)課的訓練，學生對于這類題目有些感悟，知道如何下手做題，并提高得分率.在實際教學中，筆者還設計了其他微專題，比如《解析幾何的定點定值問題》、《解析幾何中變量的選擇》、《新定義數(shù)列求解》等等，這些都是熱點，通過這些微專題，提升學生的創(chuàng)新能力.

二、關(guān)注疑點難點，提升思維能力

在一輪復習中，雖然復習到各類基礎知識，但是有些難點卻一帶而過，學生沒有很好的體會，沒有掌握解決方法，在實際處理問題時，顯得無從下手，效果很弱.如果二輪復習時也不能很好的專題解決，問題就會累積，所以對于出現(xiàn)的疑點難點有必要設置微專題專門處理.數(shù)列是離散型的函數(shù)，是函數(shù)概念的拓展和延伸，因此周期性、單調(diào)性在數(shù)列問題中常作為考查的熱點問題，筆者開設了《數(shù)列中的周期性、單調(diào)性問題》．

若數(shù)列{an}滿足an+k=an(k為常數(shù)且k∈N*)對任意n∈N*恒成立，則數(shù)列{an}是以k為周期的數(shù)列，數(shù)列中的周期性在試題中常以填空題的形式出現(xiàn)，通常可采用列舉、歸納猜想的方法解決，另外也可以與函數(shù)的周期性進行類比.

數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：一是利用定義，比較an+1與an的大小，二是構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)解決，要注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別．

三、關(guān)注知識縱向聯(lián)系，提升合作能力

二輪復習雖然以模塊為主，但是有些內(nèi)容縱向聯(lián)系比較多，需要及時聯(lián)系各類知識，讓學生融會貫通，提升各模塊間的綜合能力.不等式恒成立與有解問題作為考試的一個熱點，聯(lián)系的知識比較多，學生也容易混淆.其實這塊知識，只要訓練好，得分不是難題，筆者嘗試了《不等式恒成立與有解問題》的微專題，把相關(guān)的各塊內(nèi)容聯(lián)系起來，學生對這類問題不再陌生和恐懼.

在實際教學中還要挖掘更多的聯(lián)系，讓多個知識點匯總的題目展示在學生面前，提升能力.

四、深度挖掘教材，提升認知能力

每年的高考題，不少都是來源于課本的題目，深挖課本題目，有很強的實際意義.這類問題參考書中出現(xiàn)的不多，可以在各類試卷中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，與課本當中的知識結(jié)合起來.比如，筆者設計了《方程、不等式中的多元問題處理》，不等式是一個難點，尤其是以填空題形式出現(xiàn)，學生難以上手，或者一籌莫展，通過這個微專題，從課本題目入手，由淺入深，循序漸進，把一些常見的多元問題歸類，統(tǒng)一處理方法，讓學生體會，效果很好.

這就要求教師平時既要做題，又要聯(lián)系課本，然后深度挖掘，提升學生的關(guān)鍵能力.