齊靜

摘要：針對(duì)徑向基函數(shù)插值逼近的問題， 當(dāng)算法連續(xù)多次迭代都沒有取得進(jìn)展的時(shí)候，提出了一種新的重啟動(dòng)策略來改進(jìn)徑向基函數(shù)的優(yōu)化效果， 并通過數(shù)值算例說明了改進(jìn)后的策略在迭代次數(shù)上的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：徑向基函數(shù)； 高價(jià)黑箱函數(shù)； 插值逼近； 全局優(yōu)化

中圖分類號(hào)：O241.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）11-0265-02

1 前言

工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和實(shí)際科研領(lǐng)域中，經(jīng)常會(huì)遇到高價(jià)黑箱函數(shù)的插值逼近問題， 針對(duì)這個(gè)問題，近年來， 國內(nèi)外的一些學(xué)者開展了徑向基函數(shù)插值逼近的研究， 取得了不錯(cuò)的效果。

2 徑向基函數(shù)模型

本文采用文獻(xiàn)[1]中的徑向基函數(shù)模型.

[Sn（x）=i=1nλiφ（x-xi）+bTx+a.]給定[n]個(gè)不同的點(diǎn)[x1，…，xn∈Rd]， 函數(shù)值[fx1，…，fxn]也是已知的， 取定徑向函數(shù)[φ]， 尋找具有如下形式的函數(shù)：

其中：[f]是一個(gè)確定性的連續(xù)函數(shù)， [x-xi]表示[x]與中心點(diǎn)[xi]之間的歐氏距離， [λi∈ R，]

[i=1，…，n]， [φ]就是徑向基函數(shù)，選定一個(gè)徑向基函數(shù)[φ]之后， 定義矩陣：

[Φij：=φ（xi-xj）， i，j=1，…，n.]

3 徑向基函數(shù)中的重啟動(dòng)策略

徑向基函數(shù)雖然具有良好的逼近效果， 然而人們?cè)谑褂脧较蚝瘮?shù)在進(jìn)行全局搜索的時(shí)候， 算法有可能會(huì)陷入某個(gè)局部極小點(diǎn)附近進(jìn)行較長時(shí)間的局部搜索， 然而算法卻連續(xù)多次迭代都很難取得下一步的進(jìn)展， 為了解決這個(gè)問題， 本文提出了一種新的重啟動(dòng)策略， 當(dāng)算法連續(xù)多次迭代都沒有進(jìn)展的時(shí)候， 可以使用SLHD方法重新來選取新的初始點(diǎn)， 或改變徑向基函數(shù)中參數(shù)c的選取， 或換用新的徑向基函數(shù)。

例 考慮下面的問題：

[f（x）=（220x+244x2-100x3+19x4-1.x5+0.06x6-10）/12，x ? [0， 1.3].] （[f（x）]在此區(qū)間上的最優(yōu)值為（0.7098， -6.2356））.

使用SLHD方法選取的初始點(diǎn)為：（0.2353， -3.7289）， （1.1439， -6.1663）， （0.1394， -2.7585）， （1.0273，-6.4016）， （0.0228，-1.3176）， （0.9314，-6.4016）， 徑向基函數(shù)為：[Φ（r）=r2log（r）].

算法在局部極小點(diǎn)[x=0.0697]附近進(jìn)行了較長時(shí)間的局部搜索， 但是連續(xù)多次迭代都沒有取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展， 所得數(shù)據(jù)如表1所示：

從上表可以看到， 算法在局部極小點(diǎn)[x=0.0697]附近進(jìn)行了較長時(shí)間的局部搜索， 然而算法連續(xù)16-6=10次迭代都沒有更進(jìn)一步的進(jìn)展， 此時(shí)可以使用本文提出的換用新的初始點(diǎn)， 并換用新的徑向基函數(shù)的方法進(jìn)行迭代搜索。

使用SLHD方法選取新的初始點(diǎn)為：（0.4353， -5.2036）， （0.8439， -6.3912）， （0.5394， -5.7138）， （0.5273，-5.6626）， （0.3228，-4.4601）， （0.7314，-6.2668）， 徑向基函數(shù)換為：[φ（r）=e-0.01r2].

表2是使用本文提出的方法所得的數(shù)據(jù)， 從表中可以看到使用本文所提出的方法可以使算法及時(shí)跳出局部極小點(diǎn)， 加快收斂速度， 從而盡快收斂到全局最優(yōu)處。

分析表2的數(shù)據(jù)可知， 當(dāng)算法連續(xù)多次迭代都沒有取得明顯進(jìn)展的時(shí)候， 使用本文提出的重啟動(dòng)策略， 可以減少算法達(dá)到最優(yōu)值所需的迭代次數(shù)， 加快收斂到全局最優(yōu)點(diǎn)的速度。

4 小結(jié)

徑向基函數(shù)插值逼近具有計(jì)算簡單、工作量小[2]等特點(diǎn)， 因此廣泛應(yīng)用于黑箱函數(shù)插值逼近問題， 在插值逼近的過程中， 算法可能會(huì)陷入死循環(huán)的境界， 針對(duì)這個(gè)問題， 使用本文提出的重啟動(dòng)策略可以加快收斂的速度。

參考文獻(xiàn)：

[1] K.Holmstr?m. An adaptive radial basis algorithm（ARBF） for expensive black-box global optimization[J]. Journal of Global Optimization，2008（41）：447-464.

[2] G.Regis and C.A.Shoemaker. Constrained Global Optimization of Expensive Black Box Function Using Radial Basis Function[J]. Journal of Global Optimization，2005（31）：153-171.