王 惟,張國志

(晉中學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，山西 晉中 030619)

0 引言

隨著社會發(fā)展，不同地區(qū)成員交流越來越多，討論傳染病模型時，有必要考慮不同地區(qū)成員之間疾病傳染的情況，也就是說需要將模型結(jié)合網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究.作者M(jìn)ichael Y.Li等將圖論知識應(yīng)用到高維網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的傳染病模型，主要研究各個地區(qū)之間的成員單獨(dú)通過交叉感染所形成的網(wǎng)絡(luò)[1-4]. 本文將討論雙重耦合網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型：

(1)

1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

1.1 有界性

記Ni=Si+Ii，i=1，2，…，n,則(1)可改寫成下面形式：

(2)

其中為了方便，這里記δij=e-μijτij.接下來需要考慮系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)情況.

證明 首先我們知道 (2)的平衡點(diǎn)為下面方程(3)的解：

(3)

(4)

從而命題得證.

當(dāng)V'·(2)=0時，對?

1.2 平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性

定理2[7]對下面的系統(tǒng)

(5)

定理3 對于系統(tǒng)(1)，若矩陣B=(βij)n×n和遷移矩陣D=(dij)n×n均不可約，則s≤0時，無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定；s>0時，系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*在Ω{0}全局漸近穩(wěn)定.

(6)

(7)

a)若s≤0時，系統(tǒng)(6)的零平衡點(diǎn){(I1，I2，…，In)=(0，0，…，0)}在Ω0上全局漸近穩(wěn)定；

b)若s>0,根據(jù)系統(tǒng)的一致最終有界性，可以排除系統(tǒng)(6)的解趨于無窮的情況，從而系統(tǒng)(6)一定存在唯一的正平衡點(diǎn)I*,且在Ω0{0}上全局漸近穩(wěn)定.

由極限系統(tǒng)理論，當(dāng)t→+時，故s≤0,系統(tǒng)(1)無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定；s>0時，系統(tǒng)(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*在Ω{0}全局漸近穩(wěn)定.

2 結(jié)語

本文采取的人口輸入均為常數(shù)，如果嘗試B(N)N等輸入方式[8]，預(yù)期的動力學(xué)行為能夠更豐富一些，這些將是未來需要努力的方向.