周新建,張艷艷

(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 信陽464000)

0 引言

1979年，為了研究Coxeter群、Hecke代數(shù)和代數(shù)群的表示，KAZAHDAN和LUSZTIG在文獻[1]中定義了Coxeter群的左、右胞腔及雙邊胞腔，并證明了一型代數(shù)的每個胞腔表示都是不可約的，說明了胞腔理論在研究群、代數(shù)和代數(shù)群的表示中有著重要的地位，因此胞腔理論成為國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家研究的熱點.胞腔理論的一個主要問題是Weyl群和仿射Weyl群的左胞腔分解,即找出Weyl群和仿射Weyl群中每個雙邊胞腔中左胞腔的代表元.

1 準備知識

設(shè)(W,S)是Coxeter群,其中S是它的生成元集,≤是W的Bruhat序.對w∈W,記l(w)為w寫成單反射積的最短長度[1].設(shè)A=Z[u,u-1]是一個不定元u的Laurent整系數(shù)多項式環(huán).W在A上的Hecke代數(shù)有兩組基{Tx}x∈W和{Cw}w∈W,它們適合如下關(guān)系:

其中Py,w(u)為Kazhdan-Luszting多項式[1].

引理1 若W是一個Weyl群,且w0為其最長元,則有Py,w0=1成立.對任意y∈W,即

對?x∈W,作S的兩個子集:

L(x)={s∈S|sx

R(x)={s∈S|xs

y

且μ(y,w)≠0.稱y和w是連接的,如果yw或wy,這時記y-w.

(3)設(shè)x,y∈W.若x-y,R(x)R(y)且L(x)L(y),則a(x)>a(y).

(4)S中的任一子集J,令wJ是由J生成的子群WJ中的最長元素,則a(wJ)=l(wJ).設(shè)

δ(z)=degPe,z(u),z∈W,

其中e是W的單位元，則對任意z∈W,l(z)-2δ(z)-a(z)≥0.令

i(z)=l(z)-2δ(z)-a(z),z∈W,

則i(z)≥0.令

Dm={z∈W|i(z)=m},m≥0.

DL(s,t)={w∈W|L(w)∩{s,t}恰有一個元素},

DR(s,t)={w∈W|R(w)∩{s,t}恰有一個元素}.

如果w∈DL(s,t)(或DR(s,t)),那么sw,tw(或ws,wt)中恰有一個元素是在DL(s,t)(或DR(s,t))中,記這個元素為*w(或w*).

定理1 設(shè)d∈D0且d∈DL(s,t),其中o(st)=3,則(*d)*=*(d*)∈D0.

定理1已由時儉益教授在文獻[5]中證明.s∈S,若有S-{s}所生成的W的子群有最大可能階,則稱s是特殊的.

定理2[6,7]設(shè)s∈S是特殊的,則對W的任意雙邊胞腔Ω,Ω∩Ys恰為一個左胞腔,其中

Ys={w∈W|R(w)?{s}}.

設(shè)w,x1,x2,…,xm∈W,若w=x1x2…xm,且

l(w)=l(x1)+l(x2)+…+l(xm),

則記

w=x1·x2·…·xm.

定義1T?S有型A2×A12×A11,如果T={sb,sb+1}∪{sj1,sj2,…,sjm},其中ji≤ji+1-2,1≤i≤m-1,b=jm-6.

定義2 用S(A2×A12×A11)表示S中的所有A2×A12×A11型的子集合的集合.

x=ym·ym-1…y1·y0,對某m∈N,

(1)

x=ym·ym-1…y1·y0=zm·zm-1…z1·z0

是x的兩個典范表示式,其中y0∈W0,z0∈W1,且l(yi)=l(zi),0≤i≤m,則取x=ym·ym-1…y1·y0作為x的典范表示式,這樣W的每個元素有唯一的典范表示式[8].

a(j,i)=sjsj+1…sn-1snsn-1…si+1si,i≤j

b(j,i)=sjsj-1…si+1si,i≤j≤n-1.

顯然R(xj)?{sj}(1≤j

定理4[5]設(shè)x=x1x2…xn-1xn∈W0為典范的,那么R(x)是由一些si∈S構(gòu)成,且這些si的下標滿足下列三個條件之一:

(a) 1≤i≤n-1且xi+1=e.

(b) 1≤i≤n-1,xi+1≠e且

i)l(xi)>l(xi+1),若l(xi+1)≤n-i,

ii)l(xi)>l(xi+1)+1,若l(xi+1)≥n-i+1.

(c) 若xn=sn,則sn∈R(x).

3 A2×A12×A11型左胞腔

定義3 當(dāng)n≥7時,用Ω表示適合下列條件的W的元素全體

(a) 對某x,z∈W,w=x·y·z,其中y=(w0)T,T∈S(A2×A12×A11);

(b) 對?x,z∈W,w≠x·y·z,其中y=(w0)U,

S(A2×A12×A11).

定義4 設(shè)n≥7,稱w∈W是S(A2×A12×A11)-本原元,如果

(a)L(w)=T∈S(A2×A12×A11);

s2s0s2s5s7s4s7s6s5s7s6s7=y2,

證明不妨設(shè)本原元y=x·z,其中x=s2s0s2s5s7=(w0)T,T∈S(A2×A12×A11),則z=s4s6,由于x=(w0)T,有x=s2s0s2s5s7∈D0.

x1=*(x*)=s4xs4,對{s4,s6},

且R(x1)={s1,s4,s5},

且R(x2)={s0,s6,s5},可見:x2=z-1·x·z.這樣就證明了z-1·x·z∈D0.證畢.

為了方便起見,定義以下幾種記號[10-12].令

c(i,j)=sisi+1si+2…sj, 0

p(k)=b(2,1)b(3,2)…b(k,k-1);

g(k)=b(k,k-2)b(k+1,k-

1)…b(n-2,n-4),k≥2.

例如:

p(5)=b(2,1)b(3,2)b(4,3)b(5,4)=

s2s1s3s2s4s3s5s4；

當(dāng)n=11時,

g(5)=b(5,3)b(6,4)b(7,5)b(8,6)b(9,7)=

s5s4s3s6s5s4s7s6s5s8s7s6s9s8s7.

sa+1sab(a+1,k)c(a+3,n-1)b(k,k-

1)b(n,n-2)b(n,n-1)sn=z2,

證明同引理2的證明.對st的其他情況類似可證.對于f(w0)的情況同樣可證.證畢.

y=(w0)T,T∈S(A2×A12×A11),

則z-1·y·z是一個特異對合,即z-1·y·z∈D0.

證明同定理5的證明.證畢.

定理8 (1)當(dāng)n=7時,A2×A12×A11型的左胞腔個數(shù)為32.

4 結(jié)束語