劉開源 ，高 斯

(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山 114007；2.新密市長樂路初級中學(xué)，河南 新密 452370)

0 引言

漁業(yè)是以水生生物資源為生產(chǎn)物質(zhì)基礎(chǔ)、以水域為生產(chǎn)作業(yè)場所的資源型基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè).漁業(yè)資源(包括水產(chǎn)動物和植物)是可再生的生物資源，是自然資源和人類食物的重要來源之一,其中魚類等漁業(yè)資源為人們提供了約40%的動物蛋白質(zhì)[1].這些生物資源的可持續(xù)生產(chǎn)以及產(chǎn)品質(zhì)量的提高，均依賴于水體的質(zhì)量.但近年來，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、畜牧業(yè)及旅游業(yè)的發(fā)展，大量的富營養(yǎng)物質(zhì)(如氮、磷)進入水體，使得江河湖泊等淡水水體富營養(yǎng)化程度不斷提高,促使水體內(nèi)藻類等生產(chǎn)者大量繁殖(甚至發(fā)生水華)，導(dǎo)致水體透明度和溶解氧含量降低，進而使得水體內(nèi)浮游動物和魚類等消費者的生存環(huán)境惡化[2,3]，影響水體生態(tài)系統(tǒng)的健康發(fā)展,從而制約漁業(yè)資源的開發(fā)和利用.

控制水體富營養(yǎng)化所引發(fā)的藻類水華是當今世界性難題.據(jù)統(tǒng)計，中國富營養(yǎng)化和超富營養(yǎng)化湖泊分別已達到湖泊總量的66%和22%[4].近年來,國內(nèi)外學(xué)者從生態(tài)工程技術(shù)、化學(xué)治理、生物治理等方面提出了富營養(yǎng)化水體的治理措施，這些措施各有利弊.生物治理主要包括經(jīng)典的生物操縱和非經(jīng)典的生物操縱理論[5]，利用鰱魚等濾食性魚類消費者直接濾食藻類屬于非經(jīng)典生物操縱理論.因為生物治理利用水生動植物組合方式對富營養(yǎng)化水體的凈化進行調(diào)控，且不會產(chǎn)生二次污染，同時又能獲得一定的漁業(yè)生物資源，因此生物治理被認為是水生態(tài)環(huán)境最理想的治理措施.

已有不少文獻研究了水體生產(chǎn)者(藻類等)和消費者(魚類等)的相互作用模型并取得了豐富的成果[6-9].在實踐中，某一水體的管理者和經(jīng)營者在治理和維持良好水生態(tài)系統(tǒng)的同時,還希望對水體中的水生動植物等具有經(jīng)濟價值的水產(chǎn)品進行開發(fā),獲得一定的經(jīng)濟效益.本文借鑒“養(yǎng)魚先養(yǎng)水”的可持續(xù)發(fā)展理念，考慮水體生態(tài)系統(tǒng)中物質(zhì)-生產(chǎn)者-消費者的相互作用關(guān)系，同時考慮經(jīng)營者的目標收益，利用微分代數(shù)系統(tǒng)[10，11]，建立一類具有目標收益導(dǎo)向的水生生產(chǎn)者-消費者管理模型并進行研究.

1 模型建立

假設(shè)某一水體生態(tài)系統(tǒng)由營養(yǎng)物質(zhì)(氮、磷等)、浮游植物生產(chǎn)者、浮游動物及魚類消費者組成.將營養(yǎng)物質(zhì)的濃度、生產(chǎn)者和消費者的密度分別記為N、x、y,并假設(shè)生產(chǎn)者對營養(yǎng)物質(zhì)的攝取滿足Michaelis-Menten-Monod函數(shù),消費者對生產(chǎn)者的捕食率滿足Holling II功能性反應(yīng)函數(shù)，從而有下面的模型：

(1)

本模型中所有的參數(shù)均為非負,N0為營養(yǎng)物質(zhì)的初始濃度；D為流入速率;m1,m2分別為生產(chǎn)者對營養(yǎng)物質(zhì)、消費者對生產(chǎn)者的最大吸收率；k1,k2分別為半飽和常數(shù)；θ1,θ2分別代表生產(chǎn)者x和消費者y死亡并被分解的營養(yǎng)物質(zhì)的循環(huán)率(0<θ1,θ2<1)；d1、d2代表浮游植物x和浮游動物的死亡率(0

為方便起見,記

θ1d1x+θ2d2y,

f(z,E,S)=(f1(z,E,S),f2(z,E,S),f3(z,E,S)),

g(z,E,s)=(px-c)E-s.

這里z=(N,x,y),s是一個分支系數(shù).本文主要討論系統(tǒng)(1)正平衡態(tài)的存在性及穩(wěn)定性.

2 平衡態(tài)穩(wěn)定性的分析

系統(tǒng)(1)的正平衡態(tài)可由下面方程組計算得到：

經(jīng)過計算，有下面的結(jié)論：

定理1 若βm2>d2,

則系統(tǒng)(1)存在正平衡點M*(N*,x*,y*,E*),其中：

A=Dm2(βm2-d2),

B=-((DN0-Dk1)(βm2-d2)m2+

(θ1d1-m1)d2k2m2+

k2θ2d2βm2(αm1-d1-E*)),

C=-(DN0k1m2(βm2-d2)+d2k1k2θ1d1m2-

(d1+E*)k1k2βm2θ2d2),

對于正平衡態(tài)M*(N*,x*,y*,E*)的穩(wěn)定性，有下面的定理：

定理2 若a11a22>a12a21+a23a32且

則系統(tǒng)(1)正平衡點M*(N*,x*,y*,E*)是局部漸近穩(wěn)定的(其中a11,a12,a21,a22,a23,a32如式(6)所定義).

證明令χ=(N*,x*,y*,E*),取

χT=QMT,

其中:

則

(3)

進而系統(tǒng)(1)可化為

(4)

為了討論系統(tǒng)(1)正平衡態(tài)的穩(wěn)定性,首先對系統(tǒng)(4)進行局部參數(shù)化[10，11].取

其中:

h:R3→R4是光滑映射,那么,關(guān)于系統(tǒng)(4)的參數(shù)系統(tǒng)如下[13]：

(5)

可得矩陣

其中:

(6)

經(jīng)計算可得矩陣E(M*)的特征方程為：

λ3+b1λ2+b2λ+b3=0,

(7)

其中:

b1=-(a11+a22+a33)=

b2=a11a22+a3(a11+a22)-

a12a21-a32a23-a13a31=

b3=-a11a22a33+a12a21a33+

a11a32a23+a13a22a31=

可以驗證，

b1=-(a11+a22)>0，

b2=a11a22-a12a21-a23a32>0，

b3=a11a23a32-a13a21a32=

因為0<α<1,0<β<1,0<θ1<1,0<θ2<1，所以b3>0.由于

b1b2-b3=-(a11+a22)(a11a22-a12a21-

a23a32)-(a11a23a32-a13a21a32)>0，

由Routh-Hurwitz判據(jù)可得,特征方程(7)的特征根均小于0，從而正平衡點M*(N*,x*,y*,E*)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

3 Hopf分支

下面將目標收益s作為分支參數(shù)，討論系統(tǒng)(1)的Hopf分支情況.

定理3 如果存在s*使得當s=s*時

b1b2-b3=0，

那么當

時,系統(tǒng)(1)在s=s*處產(chǎn)生Hopf分支.

證明如果存在s*使得當s=s*時b1b2-b3=0，則特征方程(7)可化為

(λ2+b2)(λ+b1)=0,

(8)

其特征根為

若系統(tǒng)在s=s*處產(chǎn)生Hopf分支,則其具有零實部的復(fù)特征根成對出現(xiàn)，記

λ1=p(s)+iq(s),

λ2=p(s)-iq(s),

λ3=-b(s).

將其代入方程(8)，計算得[12]

A(s)p′(s)-B(s)q′(s)+C(s)=0,

B(s)p′(s)+A(s)q′(s)+D(s)=0,

其中:

A(s)=3p2(s)+2b1(s)p(s)+b2(s)-3q2(s),

B(s)=6p(s)q(s)+2b1(s)q(s),

A(s*)=-b2(s*),

從而可得

由定理條件可知，

因此,當ss*時,系統(tǒng)(1)存在周期解.證畢.

4 結(jié)語

將浮游植物生產(chǎn)者作為漁業(yè)開發(fā)對象，考慮到管理者的目標收益，建立并描述了物質(zhì)-生產(chǎn)者-消費者的微分代數(shù)系統(tǒng)(1)，討論了系統(tǒng)正平衡態(tài)的存在性、漸近穩(wěn)定性及Hopf分支.如果把目標收益s作為分支參數(shù),那么存在一個臨界閾值s*,當人們設(shè)定的目標收益s小于s*時,系統(tǒng)的正平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的，此時水生態(tài)系統(tǒng)中的各資源可以達到穩(wěn)態(tài)共存；如果目標收益期望值過大(s>s*),則系統(tǒng)中各物種將會出現(xiàn)周期震蕩.限于篇幅，本文只對正平衡點及Hopf分支的存在性進行了討論，其他動力學(xué)性質(zhì)如周期解和極限環(huán)的個數(shù)、穩(wěn)定性等的研究將是下一步的工作.