張 英

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

時(shí)間模上的二階非線性動力學(xué)方程組的邊值問題研究的不多，給出方程組

至少有兩個正解的存在性，在2000年馬如云討論下面方程組解的存在性。[1]

引理1設(shè)E是一個巴拿赫空間，定義一個錐P?E,0＜r＜H＜R 是實(shí)數(shù)，D={ }x∈P|r≤‖x‖≤R,φ，D→P是一個緊的全連續(xù)算子，滿足

則 φ有兩個不動點(diǎn) x1,x2滿足

引理2令是方程組（1）的解，當(dāng)且僅當(dāng)

是下面積分方程組的解

引理3格林函數(shù)G(t,s)滿足

定理1讓λ＞0,則方程組（1）至少有兩個非負(fù)解u,v滿足下面條件

(A3)存在一個H＞0 滿 足其中，

證明分四步來證明：

第一步：設(shè)(A1)（1）成立，存在 r＞0,要么

這里M滿足

那么由（7），（11)和 (13)得到

第二步：設(shè)(A2)（1）成立，存在 R′＞0,要么

那么由（7），（16)和 (17)得到

所以 μ＜1。

第四步：設(shè)(u ,v) ∈P×P,‖( u ,v) ‖=r,如果 (A1)（1）成立，對于，有

無論哪種情況得到