李 賽，龐曉瓊，林慧龍，王竹晴

(中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

為了減少因電池故障帶來的人身傷害以及財(cái)產(chǎn)損失[1-3]，準(zhǔn)確預(yù)測電池的剩余使用壽命(remaining useful life，RUL)成為了現(xiàn)有研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[4]。

目前，將鋰離子電池的RUL預(yù)測的方法主要分為基于經(jīng)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法以及基于性能的方法兩大類[5]。后者應(yīng)用比較廣泛，主要有基于物理模型方法，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法以及融合方法[2]。然而在實(shí)際應(yīng)用中，物理模型的電子系統(tǒng)通常復(fù)雜，因此其適用性較差。基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法中相關(guān)向量機(jī)算法優(yōu)點(diǎn)是它在貝葉斯框架下構(gòu)建學(xué)習(xí)機(jī)，對核函數(shù)選擇沒有約束，其輸出結(jié)果能夠反映目標(biāo)值的不確定性，有很好的泛化能力，算法簡單，容易實(shí)現(xiàn)[6]。

本文以容量作為性能參數(shù)采用相關(guān)向量機(jī)(relevance vector machine，RVM)算法對鋰離子電池的剩余使用壽命進(jìn)行直接預(yù)測，得到該電池的剩余壽命的預(yù)測值和預(yù)測置信區(qū)間。

1 相關(guān)向量機(jī)模型預(yù)測原理

相關(guān)向量機(jī)是Tipping基于貝葉斯框架提出來的[7]。RVM函數(shù)形式與支持向量機(jī)相同，且均是由核函數(shù)將低維非線性向高維線性問題轉(zhuǎn)化，完成高維特征空間中最優(yōu)分離超平面的構(gòu)造，使得平面上較難分的非線性數(shù)據(jù)分離[8]。

1.1 相關(guān)向量回歸描述

(1)

K(·)是核函數(shù)，wi表示RVR的權(quán)值N是樣本數(shù)。

假定輸出值獨(dú)立，數(shù)據(jù)的噪聲用εi表示，且εi～N(0,σ2)，則帶有噪聲的模型，我們定義為下式

ti=y(xi,w)+εi

(2)

因此，相關(guān)向量回歸(relevance vector regression，RVR)表達(dá)式為下式

t=φw+ε

(3)

其中，w=(w0,…,wN)T，N+1維列向量,表示RVR的權(quán)值；φ是N×M的設(shè)計(jì)矩陣且φ=(φ0，…,φN)T；φi(xi)=[1,K(xi,x1),…,K(xi,xN)]，i=1,2,…,N；K(·)是核函數(shù)。

由于前文中假設(shè)ti獨(dú)立，得到訓(xùn)練集的似然函數(shù)是

(4)

把超參數(shù)引入每一個(gè)權(quán)值中。相關(guān)向量機(jī)通過為每一個(gè)權(quán)值定義了高斯先驗(yàn)概率分布來約束超參數(shù)

(5)

其中，α={α0,α1,…,αN}是N+1個(gè)超參數(shù)。

1.2 貝葉斯過程推理

所有未知參數(shù)有后驗(yàn)公式

(6)

輸入一個(gè)新的觀測值x*，得到對應(yīng)的預(yù)測目標(biāo)值為

(7)

因?yàn)閜(w,α,σ2/t)=p(w/α,σ2,t)p(α,σ2/t),所以

(8)

其中，權(quán)重的協(xié)方差方差∑=σ2I+ΦA(chǔ)-1ΦT，A=diag(α0,α1,…,αN)，均值μ=∑ΦTBt(B=σ2I)；

因?yàn)閜(α,σ2/t)∝p(t/α,σ2)p(α)p(σ2),求出p(t/α,σ2)的最大值即可。

根據(jù)

(9)

1.3 超參數(shù)的更新及RUL預(yù)測

(10)

式中:μi是第i個(gè)后驗(yàn)權(quán)值的均值，∑ii為后驗(yàn)方差矩陣的第i個(gè)對角線元素。

對式(10)求偏導(dǎo)得

用相同的方法求出噪聲方差

(11)

通過迭代計(jì)算式(10)、式(11)，很多超參數(shù)會(huì)在進(jìn)行重新估計(jì)的過程中趨于無窮大，甚至無限接近于0，所以與之對應(yīng)的核函數(shù)可以刪除，進(jìn)而達(dá)到稀疏化[10]，從而獲得使α和σ2的最大解析表達(dá)式。

2 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析對比

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簽閷Ρ疚奶岢龅匿囯x子電池RUL預(yù)測方法進(jìn)行有效的驗(yàn)證，將電池的容量數(shù)據(jù)作為該實(shí)驗(yàn)的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行RUL 預(yù)測，從而對本文所提方法的預(yù)測能力進(jìn)行評估。

實(shí)驗(yàn)方法：本文的實(shí)驗(yàn)對象選取為NASA提供的公開數(shù)據(jù)集(B5、B6、B18)，這3種電池的型號(hào)和額定參數(shù)均相同。設(shè)定預(yù)測起始時(shí)刻，用RVM預(yù)測法進(jìn)行RUL預(yù)測。

實(shí)驗(yàn)步驟：本文選擇的容量數(shù)據(jù)，前60周期用于訓(xùn)練模型的超參數(shù)， 從60周期開始作為預(yù)測起始時(shí)刻，經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)，得到對電池容量預(yù)測的退化曲線以及預(yù)測上限和下限。當(dāng)電池隨充放電不斷進(jìn)行，容量達(dá)到壽命結(jié)束點(diǎn)(end of life，EOL)，即電池容量衰減達(dá)到額定容量的70%左右時(shí)，實(shí)驗(yàn)終止。實(shí)驗(yàn)時(shí)電池的失效閾值設(shè)置為1.38 Ah。由于B7電池容量未退化到 1.38Ah，故實(shí)驗(yàn)未采用。最后將預(yù)測結(jié)束點(diǎn)的循環(huán)周期數(shù)及其置信區(qū)間轉(zhuǎn)化為RUL值和RUL置信區(qū)間，與真實(shí)的RUL 進(jìn)行對比與分析。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.2.1 容量退化曲線

根據(jù)容量的真實(shí)值完成4個(gè)型號(hào)電池的退化曲線，如圖1所示。

圖1 電池容量退化曲線(B5、B6、B7、B18)

從圖1可知，鋰離子電池的容量隨著充放電次數(shù)的增加而減小。其實(shí)在電池的使用過程中，導(dǎo)致其性能退化的原因還有很多種，如溫度升高的速度加快、內(nèi)阻變大等[11]。

2.2.2 RUL預(yù)測

B5、B6、B18電池的預(yù)測起始時(shí)刻設(shè)為60。首先對B5電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如圖2所示的結(jié)果。

圖2 RVM預(yù)測曲線(B5)

在圖2中，黑色虛線代表該電池的失效閾值，黑色實(shí)線代表該電池的實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，實(shí)線曲線表示利用相關(guān)向量機(jī)的時(shí)間序列算法得到的該電池的預(yù)測值。點(diǎn)線和點(diǎn)劃線分別表示RVM算法對容量的預(yù)測上限和預(yù)測下限。

為了進(jìn)一步的驗(yàn)證該算法的有效性，我們分別B6和B18電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

對B6電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如圖3所示的結(jié)果。

圖3 RVM預(yù)測曲線(B6)

對B18電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如圖4所示的結(jié)果。

圖4 RVM預(yù)測曲線(B18)

從以上3個(gè)圖中，我們可以看出，B5、B6、B18電池預(yù)測起始點(diǎn)均為第60個(gè)周期，壽命結(jié)束點(diǎn)的真實(shí)值分別是129、113和100周期，預(yù)測結(jié)果分別是114、97和87周期。B5電池壽命的預(yù)測下限和上限分別是116和112周期；B6電池壽命的預(yù)測下限和上限分別是99和95周期；B18電池預(yù)測上限和下限分別是89和84周期。具體結(jié)果見表 1。

表1 RVM預(yù)測值及其預(yù)測上限和下限

2.3 實(shí)驗(yàn)分析

本文中RVM超參數(shù)的設(shè)置對容量的預(yù)測結(jié)果有直接的影響，比如樣本數(shù)據(jù)的多少和高斯核函數(shù)中核寬度的設(shè)置決定了模型的稀疏性和精確性[12],本文分別對B5、B6、B18電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，它們的起始預(yù)測周期均為60周期，電池的真實(shí)使用壽命終點(diǎn)分別為129、113和100周期,并仿真出容量預(yù)測值，見表2。

表2 采用RVM的RUL預(yù)測結(jié)果

在表2中，RUL_prediction表示利用RVM預(yù)測所得的鋰離子電池的剩余循環(huán)使用壽命，RUL_error表示RUL的絕對誤差值，定義為：

RUL_error=RUL_prediction-RUL_true其中，RUL_true表示設(shè)置預(yù)測起始點(diǎn)后電池的真實(shí)剩余循環(huán)使用壽命。

由表1得出，B5、B6、B18的RUL_true分別是129-60=69周期、113-60=53周期和100-60=40周期。采用相關(guān)向量機(jī)算法預(yù)測的剩余使用壽命分別是RUL_prediction=114-60=54個(gè)周期、RUL_prediction=97-60=37個(gè)周期和RUL_prediction=87-60=27個(gè)周期。預(yù)測的循環(huán)使用壽命誤差分RUL_error=69-54=15、RUL_error=53-37=16和RUL_error=40-27=13。

2.4 相關(guān)向量機(jī)算法與擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對比實(shí)驗(yàn)分析

為了進(jìn)一步說明相關(guān)向量機(jī)算法的有效性，現(xiàn)在將該算法和擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter，EKF)的RUL預(yù)測周期和預(yù)測誤差進(jìn)行對比，預(yù)測周期見表3。

從表3中可以得到，B5、B6、B18號(hào)電池在相同的預(yù)測起點(diǎn)第60個(gè)周期時(shí)，相關(guān)向量機(jī)方法對鋰離子電池的RUL預(yù)測結(jié)果分別為54、38和27個(gè)周期。擴(kuò)展卡爾曼濾波方法得到的B5電池預(yù)測結(jié)果分別為49個(gè)周期，B6電池僅為24個(gè)周期，B18電池為14個(gè)周期。

表3 兩種方法的RUL預(yù)測結(jié)果及誤差對比

為了較準(zhǔn)確對兩種算法分析對比，引入絕對誤差均值(mean absolute error，MAE)與均方根誤差(root mean square error，RMSE)。

式中:n是預(yù)測數(shù)據(jù)的長度，x_real(i)是第i次預(yù)測時(shí)的真實(shí)容量值，x_m(i)是第i次預(yù)測的容量值，該電池平均絕對誤差和均方根誤差見表4。

表4 兩種方法的RUL預(yù)測誤差

從表4中可以得到RVM算法的誤差均小于EKF的誤差，即RVM算法的預(yù)測精度高于EKF的預(yù)測精度。

3 結(jié)束語

鋰離子電池已經(jīng)被應(yīng)用在生活、工業(yè)等領(lǐng)域，其工作性能狀態(tài)的在線監(jiān)測和預(yù)測性維護(hù)已成為研究熱點(diǎn)，并已在電子系統(tǒng)故障預(yù)測和健康管理技術(shù)領(lǐng)域形成新的研究熱點(diǎn)。

本文借鑒了時(shí)間序列多步預(yù)測的遞推計(jì)算的思想，實(shí)現(xiàn)了鋰離子電池RUL預(yù)測，并給出了電池壽命的置信區(qū)間，充分考慮了遞推過程中預(yù)測不確定性的傳遞問題。與擴(kuò)展卡爾曼濾波算法相比,本文的獨(dú)特之處為該算法輸出的鋰離子電池的剩余壽命分布能夠更加有效地反映各種不確定性和隨機(jī)因素,比較符合實(shí)際情況。