李光尚，劉乾坤

（ 長安大學(xué)，陜西 西安 710064 ）

0 引言

角向磨光機(jī)簡稱角磨機(jī)，具有攜帶方便、輕巧靈活等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、采礦、建筑、橋梁、房屋裝飾等行業(yè)中。本文基于疲勞損傷理論，采用有限元法研究了角磨機(jī)轉(zhuǎn)子軸在動載荷工況下的應(yīng)力分布規(guī)律、疲勞壽命及損傷、疲勞可靠性，以及在模態(tài)基礎(chǔ)上進(jìn)行諧響應(yīng)分析，確定轉(zhuǎn)子軸易發(fā)生疲勞破壞的截面、各截面的疲勞壽命和安全性，以及諧響應(yīng)引起疲勞影響的共振狀況。

1 靜強(qiáng)度

1.1 受力分析

設(shè)轉(zhuǎn)子軸額定轉(zhuǎn)速為8 500 r/min，額定功率為2 200 W，其實(shí)際工作時轉(zhuǎn)速為4 000 r/min～4 600 r/min，其結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 轉(zhuǎn)子軸結(jié)構(gòu)

圖1中所示的截面從1～6分別為軸承支撐截面、軸承固定端面、軸徑過渡圓弧、軸承支撐面、防塵圈左側(cè)、齒輪軸向固定端面。研究轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命主要考慮其在正常工作時的受力分布和扭矩大小。轉(zhuǎn)子軸工作時主要受徑向力、軸向力、周向力和扭矩作用。徑向力、軸向力和扭矩對轉(zhuǎn)子軸產(chǎn)生疲勞損傷，其受力分布和扭矩作用的力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子軸受力模型

1.2 有限元模型建立和網(wǎng)格劃分

由于轉(zhuǎn)子軸結(jié)構(gòu)復(fù)雜以及考慮倒角及圓角對分析結(jié)果的影響，因此采用Creo建立有限元分析模型，確保與實(shí)際生產(chǎn)圖紙結(jié)構(gòu)尺寸相一致。

將三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中的Geometry中，進(jìn)行網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格劃分質(zhì)量的好壞對有限元法分析結(jié)果的真實(shí)性有較大影響。一般而言網(wǎng)格劃分越密集、節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算結(jié)果就越接近實(shí)際值。但是網(wǎng)格密集度和節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定程度后，計算精度基本不會有明顯的差別，同時網(wǎng)格密集度和節(jié)點(diǎn)數(shù)越大，計算機(jī)需要計算的時間就越長。因此只需對較危險界面區(qū)域、倒角和圓角區(qū)域進(jìn)行較細(xì)的劃分，其他區(qū)域作一般細(xì)劃。采用自由劃分網(wǎng)格的方法，相關(guān)性設(shè)為30，相關(guān)中心設(shè)為中等，網(wǎng)格劃分結(jié)束后，單元總數(shù)為31 524個、節(jié)點(diǎn)總數(shù)為54 768個。

1.3 材料參數(shù)

角磨機(jī)轉(zhuǎn)子軸的材料為40 Cr，其材料屬性見表1。

表1 轉(zhuǎn)子軸材料屬性

1.4 應(yīng)力和剛度

角磨機(jī)轉(zhuǎn)子軸這種幾何結(jié)構(gòu)尺寸不大、但結(jié)構(gòu)突變性較大的構(gòu)件，工作時處于復(fù)雜的工況狀態(tài)且載荷不穩(wěn)定，需要以工況極限應(yīng)力為設(shè)計應(yīng)力，在進(jìn)行仿真求解計算時考慮該極限工況情況下的最大扭矩。通過有限元求解、計算和分析得到該極限扭矩工況下的應(yīng)力云圖，如圖3所示。

由經(jīng)驗(yàn)和理論可知，軸的結(jié)構(gòu)對軸的應(yīng)力集中影響極大，王浩琦等[12]對電動工具轉(zhuǎn)子軸的過渡圓角進(jìn)行了詳細(xì)的討論。軸的倒角、倒圓、過渡圓弧、最小直徑處和尺寸突變處，以及受最大彎扭組合作用截面區(qū)域、裝配邊沿區(qū)域所受的應(yīng)力最大。當(dāng)這些部位的應(yīng)力大于疲勞抗力時最易發(fā)生疲勞破壞。

圖3 轉(zhuǎn)子軸的應(yīng)力云圖

王仁智等學(xué)者[13-14]研究表明疲勞破壞是從構(gòu)件的表面起裂進(jìn)入次表面導(dǎo)致宏觀裂紋直至發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。因此，轉(zhuǎn)子軸的應(yīng)力分布和表面應(yīng)力情況顯得較為重要，轉(zhuǎn)子軸各危險部位應(yīng)力分布見表2。由圖3和表2可知轉(zhuǎn)子軸的最大應(yīng)力為226.19 MPa。

軸的剛度不僅影響齒輪的嚙合情況還影響整機(jī)的震動情況，間接地影響軸的疲勞壽命、損傷和可靠度。經(jīng)過有限元分析得到該極限應(yīng)力工況下角磨機(jī)轉(zhuǎn)子軸的應(yīng)變云圖，如圖4所示。轉(zhuǎn)子軸變形的最大量為0.0 159 mm。

表2 轉(zhuǎn)子軸的各危險處的最大仿真應(yīng)力

圖4 轉(zhuǎn)子軸的應(yīng)變云圖

2 疲勞壽命

2.1 S-N曲線

在Fatigue tools模塊中進(jìn)行疲勞強(qiáng)度及壽命分析時需要提供給ANSYS Workbench基本材料屬性以及材料的S-N曲線，即零件（或材料）在某一載荷下發(fā)生疲勞破壞所需的循環(huán)次數(shù)與該載荷構(gòu)成的曲線。根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知在應(yīng)力比R=-1時，40 Cr材料的疲勞壽命與應(yīng)力幅值關(guān)系見表3。輸入至交變應(yīng)力屬性內(nèi)，得到材料的S-N曲線，如圖5所示。

表3 疲勞壽命與應(yīng)力幅值的關(guān)系

圖5 材料的S-N曲線

2.2 疲勞損傷

為了使設(shè)計的轉(zhuǎn)子軸具有足夠的疲勞抗力、抑制疲勞裂紋，設(shè)置疲勞強(qiáng)度系數(shù)(fatigue strength factor)Kf為0.8。此處轉(zhuǎn)子軸的設(shè)計壽命為3年，故在進(jìn)行損傷和安全因子計算時設(shè)置壽命為937 440 000周次。ANSYS Workbench中提供了三種平均應(yīng)力修正曲線：Gerber修正曲線、Goodman修正曲線和Soderberg修正曲線。Goodman理論一般較適用于低脆性材料，其理論沒有修正壓縮平均應(yīng)力；Soderberg理論過于保守，只能在一定條件下用于脆性材料；Gerber理論為韌性材料拉伸平均應(yīng)力的擬合提供了很好的算法，擬合較準(zhǔn)確[16]。40 Cr具有良好的沖擊韌性和較低的缺口敏感性，因此選用Gerber修正曲線進(jìn)行修正最為穩(wěn)妥。

角磨機(jī)通常用于切割不同物體且多數(shù)為手持作業(yè)，因此轉(zhuǎn)子軸承受較大交變載荷，導(dǎo)致其破壞形式通常為疲勞破壞。疲勞是構(gòu)件（或材料）在循環(huán)載荷作用下發(fā)生了一個不可逆的能量耗散的損傷累積過程[17]。Miner線性累積損傷理論認(rèn)為構(gòu)件（或材料）在不同循環(huán)交變載荷下造成的疲勞損傷是相互獨(dú)立的，與疲勞破壞的載荷歷史沒有關(guān)系，且損傷可線性疊加，總損傷累積到某一數(shù)值時構(gòu)件（或材料）才會發(fā)生疲勞破壞[18]。本文進(jìn)行疲勞損傷計算采用Miner線性累積損傷理論，其計算公式如下：

式中 D—疲勞累積總損傷

Ni—應(yīng)力為σi時發(fā)生疲勞破壞循環(huán)次數(shù)

當(dāng)轉(zhuǎn)子軸總損傷累積到臨界值1時就會引起疲勞破壞[19-20]，造成不可挽回性的經(jīng)濟(jì)性損失。

經(jīng)過workbench求解、計算得到轉(zhuǎn)子軸的總損傷最大值約為0.522，其損傷分布如圖6所示。由仿真結(jié)果可知總損傷最大值遠(yuǎn)小于疲勞破壞臨界值1，因此在設(shè)計壽命內(nèi)轉(zhuǎn)子軸不會發(fā)生疲勞破壞。計算結(jié)果表明最小安全系數(shù)為1.063，各截面的安全系數(shù)具體數(shù)值如圖7所示，表明在設(shè)計壽命內(nèi)是安全的。

圖6 轉(zhuǎn)子軸損傷云圖

圖7 轉(zhuǎn)子軸安全系數(shù)云圖

2.3 疲勞壽命

材料40 Cr的屈強(qiáng)比為0.801，其屬于軟化材料，材料表面一旦有微觀裂紋出現(xiàn)，在相同的工況下作業(yè)就會引起裂紋擴(kuò)張速率增加，加快表面破壞，促使疲勞斷裂。因而裂紋在形成的過程中疲勞源往往是材料表面，這就需要對各個危險截面區(qū)域進(jìn)行詳細(xì)的壽命分析。仿真結(jié)果獲知轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命如圖8所示，危險截面區(qū)域疲勞壽命如圖9所示。

圖8 轉(zhuǎn)子軸安全系數(shù)云圖

圖9 各危險截面區(qū)域疲勞壽命

由圖8和圖9可知，轉(zhuǎn)子軸的最小應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為1.7 972×109周次，完全滿足設(shè)計壽命的要求。根據(jù)疲勞強(qiáng)度理論，當(dāng)材料的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)達(dá)到1×107周次時仍不發(fā)生疲勞破壞，就可以認(rèn)為該構(gòu)件（或材料）能夠無限次應(yīng)力循環(huán)。理論上可以認(rèn)為轉(zhuǎn)子軸能夠無限次應(yīng)力循環(huán)，轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命曲線如圖10所示。

圖10 轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命曲線

3 疲勞可靠性

零件的疲勞可靠性是疲勞壽命的重要參考依據(jù)，最常用疲勞可靠性的概率密度函數(shù)是正態(tài)概率密度函數(shù)[21]。由文獻(xiàn)[22]可知疲勞可靠性疲勞壽命x取對數(shù)后服從正態(tài)分布。則x的概率密度函數(shù)為：

轉(zhuǎn)子軸的疲勞可靠性為：

根據(jù)仿真結(jié)果可知：在角磨機(jī)工況極限狀態(tài)下，其疲勞壽命約為1.8×109，確保轉(zhuǎn)子軸所承受的應(yīng)力不變，微調(diào)疲勞強(qiáng)度系數(shù)得出四組轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命，分別為1.8×109、2.6×109、3.8×109、6.3×109、2.3×109。 因此便可以求解出轉(zhuǎn)子軸壽命達(dá)到109周次時的疲勞可靠性[23]。

由仿真分析得出轉(zhuǎn)子軸疲勞壽命達(dá)到109次時的可靠度為99.42%，表明轉(zhuǎn)子軸具有足夠的疲勞抗力。

4 諧響應(yīng)分析

周期循環(huán)載荷最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的周期循環(huán)響應(yīng)，循環(huán)響應(yīng)不僅使轉(zhuǎn)子軸發(fā)生共振，并且降低材料的疲勞強(qiáng)度最終發(fā)生疲勞破壞，以及減少整機(jī)使用壽命[24]。在模態(tài)求解的基礎(chǔ)上選用完全法進(jìn)行諧響應(yīng)分析，設(shè)置加載頻率為0 Hz～16 000 Hz，共分160步，得到了在極限工況條件下因簡諧激振力影響引起的動力學(xué)響應(yīng)。

4.1 無阻尼頻率響應(yīng)

無阻尼時對轉(zhuǎn)子軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析后得到轉(zhuǎn)子軸系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線圖，當(dāng)頻率在2 200 Hz左右時振動最大，振幅為0.70 863 mm。其具體幅值如圖11所示。

圖11 無阻尼的頻率響應(yīng)

4.2 帶阻尼頻率響應(yīng)

一般認(rèn)為鋼結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02～0.06[25]，這里取值0.04進(jìn)行有阻尼諧響應(yīng)分析后得轉(zhuǎn)子軸系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線圖，如圖12所示。

圖12 帶阻尼的頻率響應(yīng)

有無阻尼時頻率響應(yīng)的振幅與模態(tài)時的形變一致，最大位移都出現(xiàn)在2 200 Hz左右。無阻尼時的變形量是帶阻尼時變形量的1 000倍，帶阻尼的振幅顯著下降。帶阻尼時的振幅基本沒有變化，因而諧響應(yīng)對轉(zhuǎn)子軸的疲勞壽命響應(yīng)不大，可以忽略。

5 結(jié)語

1）運(yùn)用ANSYS Workbench對角磨機(jī)轉(zhuǎn)子軸進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子軸應(yīng)力最大部位位于輸出端軸承端面過渡圓弧區(qū)域，最大應(yīng)力為226.19 MPa，其應(yīng)力值遠(yuǎn)小于材料的許用應(yīng)力，滿足轉(zhuǎn)子軸的靜強(qiáng)度要求。

2）基于線性累積損傷理論，對轉(zhuǎn)子軸在動載荷工況下進(jìn)行了疲勞分析，在設(shè)置疲勞強(qiáng)度系數(shù)Kf為0.8的情況下，轉(zhuǎn)子軸的最小壽命約為1.8×109，最大損傷值約為0.522，及最小安全系數(shù)為1.063。表明轉(zhuǎn)子軸的設(shè)計既滿足了機(jī)械性能要求也減少了材料的消耗。

3）利用Gerber理論修正傳統(tǒng)S-N曲線在平均應(yīng)力不為零時不能直接使用的缺陷，在微調(diào)疲勞強(qiáng)度系數(shù)Kf的情況下，分析轉(zhuǎn)子軸的疲勞可靠性，其可靠度為99.42%。

4）基于模態(tài)對轉(zhuǎn)子軸系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析表明，帶阻尼的諧響應(yīng)對轉(zhuǎn)子軸系統(tǒng)基本沒有影響。表明彎曲和振動對轉(zhuǎn)子軸壽命影響不大。