王安盛　史衛(wèi)娟

摘 要 矩陣是大學(xué)數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)內(nèi)容，在《高等代數(shù)》中我們學(xué)習(xí)了矩陣的一些基本知識(shí)及應(yīng)用，而矩陣求逆的方法是矩陣中一個(gè)很重要的部分，那么如何判斷一個(gè)矩陣是否可逆，怎樣快速的去求解矩陣的逆，前人也總結(jié)了一些非常實(shí)用的方法?；谝陨匣A(chǔ)，本文結(jié)合自身所掌握的知識(shí)，結(jié)合一些有代表性的例子進(jìn)行說明，研究切實(shí)可行。為了更便捷地解決求矩陣的逆，本文根據(jù)不同矩陣的不同特點(diǎn)簡(jiǎn)單介紹了幾種求逆矩陣的方法：定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法。

關(guān)鍵詞 矩陣；逆；方法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）07-0240-01

一、矩陣求逆的方法解析

（一）初等變換法

如果矩陣A為可逆矩陣，那么該矩陣必然會(huì)被表示成許多初等矩陣相乘的形式， ，因此，如果矩陣為可逆矩陣，那么它一定可以通過行列變換變成初等矩陣相乘的形式。

（1）

所以 = （2）

將A，E兩個(gè)矩陣結(jié)合在一起，形成一個(gè)n×2n階的矩陣，則：

（ ， ）=（ ） （3）

由此能夠求出逆矩陣A-1。

（二）伴隨矩陣法

定理1 如果矩陣A是可逆矩陣，那么矩陣A必然為非退化矩陣，而

= （ 0） （4）

（三）矩陣分塊求逆法

在進(jìn)行矩陣的求逆時(shí)，如果矩陣的維數(shù)比較高，那么計(jì)算量會(huì)非常的巨大，這就給求逆計(jì)算帶來了很多的困難，將大矩陣分解成小的矩陣，然后對(duì)小矩陣進(jìn)行求逆，求出小矩陣的逆按照一定的計(jì)算規(guī)則便可以得到大矩陣的逆，這是一種常用的求逆方法，對(duì)于提升大矩陣求逆速度具有十分重要的意義。

公式：設(shè) 的分塊矩陣為： ，其中 為可逆矩陣，那么

=

（5）

（四）多項(xiàng)式法

例1.5 ，且f（x）= ，即 ，證明A是可逆矩陣，求出矩陣A的可逆矩陣。

證明：因?yàn)?，所以A（- 1/3 A +5/3 E）= E

因此 是可逆的，同時(shí)

（五）公式法

公式法是一種利用公式求逆的方法，通過代入相應(yīng)公式可以準(zhǔn)確求出結(jié)果。

（1）若矩陣階數(shù)為2，則其逆矩陣公式遵循兩調(diào)一除原則：若 ，則

（2）初等矩陣求逆公式：

（3）若矩陣的主對(duì)角線及其上方元素均為1，則該上三角矩陣的逆矩陣如下：

若 ，則

（4）正交矩陣求逆公式：

已知A是正交矩陣，那么A-1=AT

（5）其他常用求逆公式：

已知 均是可逆矩陣，那么

二、結(jié)論

以上我們對(duì)矩陣的逆有了更深層的理解，在以后解決有關(guān)逆矩陣的問題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。逆矩陣基本概念必須掌握，這是基礎(chǔ)，幾種逆矩陣的判定方法和求逆矩陣的方法也要熟練領(lǐng)會(huì)。在解決問題時(shí)，不要盲目亂用，而要因題而異，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將?huì)是事半功倍的。同時(shí)也要挖掘更多的矩陣逆的應(yīng)用，讓逆矩陣論更廣泛，更完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]李炯生.輪迴矩陣的逆矩陣[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1981（02）： 31-37.

[2]高軍.某些特殊循環(huán)矩陣的逆[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1990（08）：34-36.