曾澤宇 黃昕蕾 張紅潔

摘要：本文主要研究太陽(yáng)照射已知條件下直桿的影子軌跡變化情況。在給定固定直桿的地理位置（即地理經(jīng)度和地理緯度）、所處日期和所求時(shí)間范圍的條件下，通過引入地學(xué)概念，太陽(yáng)方位角與太陽(yáng)高度角等定義，用幾何方法建立固定直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化測(cè)定模型，并基于MATLAB求得該固定直桿的影子長(zhǎng)度變化軌跡圖。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)高度角；影子定位；MATLAB

1 前言

本文背景取自2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題A題，當(dāng)已知一根3米高的直桿位于2015年10月22日北京時(shí)間9：00-15：00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒，東經(jīng)116度23分29秒），試建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型求取該直桿隨時(shí)間變化的影子長(zhǎng)度的變化曲線圖。

2 問題分析

由于一年四季太陽(yáng)赤緯角δ在運(yùn)動(dòng)中的任何時(shí)刻的具體值都是嚴(yán)格已知的，所以我們可以運(yùn)用已有的物理模型來(lái)計(jì)算太陽(yáng)赤緯角δ；再由太陽(yáng)高度角公式計(jì)算當(dāng)?shù)靥?yáng)高度角hs，運(yùn)用三角函數(shù)公式，得到數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而畫出了l=3m高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化的曲線。在此問題中，我們建立了以經(jīng)度、緯度、日期、時(shí)間為輸入量，固定長(zhǎng)度的桿在給定時(shí)間內(nèi)影子的變化軌跡為輸出量的模型[1]。

3模型建立

1、太陽(yáng)高度角、方位角的計(jì)算

要求建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。首先我們應(yīng)明確太陽(yáng)的天文運(yùn)動(dòng)規(guī)律相關(guān)的天文參數(shù)。計(jì)算太陽(yáng)在天體運(yùn)動(dòng)中對(duì)于地球上某地的相對(duì)位置，是由該觀測(cè)地點(diǎn)的地理緯度、季節(jié)（年、月、日）和時(shí)間3個(gè)因素來(lái)決定的。通常以地平坐標(biāo)系以及赤道坐標(biāo)系同時(shí)表示太陽(yáng)的位置，即以太陽(yáng)高度角hs、方位角As、太陽(yáng)赤緯角δ以及太陽(yáng)時(shí)角τ來(lái)表示[2]。

（1）日角

設(shè)日角為θ，且有

這里t又由兩部分組成，即

式中N為積日，所謂積日，就是指日期在年內(nèi)的順序號(hào)。例如，1月1日其積日為1，平年12月31日的積日為365，閏年則為366，等等。

（2）時(shí)差E0

真正的太陽(yáng)在黃道上的運(yùn)動(dòng)不是勻速的，而是時(shí)快時(shí)慢，因此，真太陽(yáng)日的長(zhǎng)短也就各不相同。但人們的實(shí)際生活需要均勻不變的時(shí)間單位，這就需要尋找一個(gè)假想的太陽(yáng)，它以勻速的方式運(yùn)行。這個(gè)假想的太陽(yáng)就稱為平太陽(yáng)，其周日的持續(xù)時(shí)間稱平太陽(yáng)日，由此而來(lái)的小時(shí)稱為平太陽(yáng)時(shí)[3]。

平太陽(yáng)時(shí)S是基本均勻的時(shí)間計(jì)量系統(tǒng)，與人們的生活息息相關(guān)。由于平太陽(yáng)是假想的，無(wú)法進(jìn)行實(shí)際觀測(cè)，但它可以通過真太陽(yáng)時(shí) 間接地求得，反之，也可以利用平太陽(yáng)時(shí)來(lái)求真太陽(yáng)時(shí)。為此，我們將其二者的差值定義為時(shí)差，以E0來(lái)表示，即

由于真正的太陽(yáng)的周運(yùn)動(dòng)是不均勻的，因此，時(shí)差也在隨時(shí)變化，但與地點(diǎn)無(wú)關(guān)，一年當(dāng)中有4次為零，有4次達(dá)到極大。時(shí)差 表達(dá)式為：

（3）太陽(yáng)位置

a.太陽(yáng)赤緯角δ

地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱黃道面，而地球的自轉(zhuǎn)軸稱極軸。極軸與黃道不是垂直相交，而是成66.5°角，并且這個(gè)角度在公轉(zhuǎn)中一直保持不變。正是由于這一原因，形成了每日正午時(shí)刻太陽(yáng)高度不同以及四季變遷的現(xiàn)象[4]。

由于太陽(yáng)赤緯角δ在運(yùn)動(dòng)中的任何時(shí)刻的具體值都是嚴(yán)格已知的，則用表達(dá)式表示即為：

b.太陽(yáng)高度角hs

對(duì)于地球上的某個(gè)地點(diǎn)，太陽(yáng)高度角是指太陽(yáng)光線與通過該地與地心相連的地表切線的夾角。有太陽(yáng)高度角的變化公式[5]：

c.太陽(yáng)方位角As

太陽(yáng)方位角即太陽(yáng)所在的方位，指太陽(yáng)光線在地平面上的投影與當(dāng)?shù)亟?jīng)線的夾角。

或

而影長(zhǎng)L與桿l有關(guān)系式：

綜上

4 模型求解

以直桿與地面的接觸點(diǎn)為原點(diǎn)，以地面所在平面為坐標(biāo)系平面建立坐標(biāo)系。由題意，在2015年10月22日北京時(shí)間9：00-15：00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒，東經(jīng)116度23分29秒），其中ψ=39.9072°，δ=-0.188°，在9≤t≤15的時(shí)間范圍內(nèi)，我們將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB進(jìn)行求解，得到l=3m高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化的曲線。

5 模型評(píng)價(jià)

在此模型中，在知道日期、時(shí)間、地理位置、桿長(zhǎng)的條件下，求解直桿的太陽(yáng)影子變化曲線。從該模型中，我們可主要采用的是公式帶入法對(duì)問題建立函數(shù)關(guān)系式，來(lái)進(jìn)行求解繪制圖像。因?yàn)樯婕暗竭M(jìn)度的問題，對(duì)太陽(yáng)赤緯角的公式有了精度的改進(jìn)，增加了模型的可信度。

參考文獻(xiàn)：

[1].武琳，基于太陽(yáng)陰影軌跡的經(jīng)緯度估計(jì)技術(shù)研究，天津大學(xué)碩士學(xué)位論文，2010

[2].Imran N.JuneJo，HussanForoosh，Estimating Geo-temporal location of stationary cameras using shadow trajectories，in：Proceeding of the ECCV，2008，218～331

[3]. T. Horprasert，D. Hardwood， L.S. Davis，A statistical approach for real-time robust background subtraction and shadows detection ，in：Proceedings of the IEEE ICCV ，F(xiàn)rame Rate Workshop，1999，1～19

[4]. L. Petrovic，B. Fujito， L. Williams， A.Frinkelstin， Shadows for celanimation， in：Proceedings of the ACM SIGGRHPH，2000，511～516