嚴(yán)錦濤 陳硯橋 劉曉威

（海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

由于武器裝備應(yīng)用環(huán)境的多樣性，使用、維修單位分布的廣泛性，數(shù)據(jù)來(lái)源涉及工作項(xiàng)目多，使用裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)主要為日常工作中所記錄產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，表面繁雜且無(wú)序，使得部隊(duì)武器裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)具有鮮明的不確定性等特點(diǎn)，從而給裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)管理以及利用裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行的質(zhì)量評(píng)估帶來(lái)了很大難度［1］。加之在裝備質(zhì)量評(píng)估過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)一般由于系統(tǒng)誤差、測(cè)量誤差等原因，數(shù)據(jù)波動(dòng)大且難以找到典型的分布規(guī)律，定性因素與定量因素交織，正因如此，采用一種合適的數(shù)據(jù)評(píng)估方法用來(lái)評(píng)估質(zhì)量數(shù)據(jù)是質(zhì)量評(píng)估過(guò)程中最為重要且關(guān)鍵的步驟。

卡爾曼濾波理論一出現(xiàn)，就得到了軍界的高度重視，在宇航和軍備領(lǐng)域里，應(yīng)用成果層出不窮。有關(guān)“阿波羅”登月計(jì)劃中的導(dǎo)航系統(tǒng)以及C-5A飛機(jī)的多模式導(dǎo)航系統(tǒng)等，都是卡爾曼濾波理論提出后早期成功應(yīng)用的例子［2］。至今，凡是需要進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理的場(chǎng)合，卡爾曼濾波一直占據(jù)主導(dǎo)地位。在海軍艦載指控系統(tǒng)、各種火控系統(tǒng)以及綜合導(dǎo)航系統(tǒng)中，應(yīng)用卡爾曼濾波技術(shù)是其現(xiàn)代化水平的重要標(biāo)志之一［3］。

本文提出基于卡爾曼濾波的質(zhì)量數(shù)據(jù)不確定性評(píng)估方法，卡爾曼濾波是信號(hào)處理和控制理論中的一種標(biāo)準(zhǔn)方法［4～6］。所謂濾波，就是從受到噪聲污染的有限觀測(cè)信號(hào)中，提取出被觀測(cè)系統(tǒng)的參數(shù)或狀態(tài)，不確定性即體現(xiàn)在具有噪聲的污染，此處所說(shuō)的噪聲污染其實(shí)指的是測(cè)量過(guò)程中存在的誤差，系統(tǒng)則是指裝備整體或是某一個(gè)部件?？柭鼮V波是根據(jù)與被提取信號(hào)有關(guān)的觀測(cè)值去推斷或重構(gòu)出最符合系統(tǒng)狀態(tài)真值的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)，因此，卡爾曼濾波本質(zhì)是一種狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，并且是線性、無(wú)偏、誤差方差最小的一種最優(yōu)估計(jì)，此處所稱的濾波與常規(guī)濾波具有完全不同的概念和含義，更多的是作為估計(jì)方法［3］。其基本思路圖如下。

圖1 卡爾曼濾波理論思路框圖

2 基本理論

對(duì)于線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)評(píng)估使用基本卡爾曼濾波理論［7］

其中，F(xiàn)、A、C為可能隨著時(shí)間變化的系統(tǒng)模型矩陣，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，C為觀測(cè)矩陣，A為干擾轉(zhuǎn)移矩陣，x(k)為狀態(tài)向量，y(k)為系統(tǒng)觀測(cè)或輸出向量，以及系統(tǒng)隨機(jī)干擾向量m(k)與已知的協(xié)方差矩陣Q(k)和隨機(jī)觀測(cè)誤差n(k)與已知的協(xié)方差矩陣R(k)。為便于表達(dá)與計(jì)算簡(jiǎn)單，向量x的估計(jì)值用x^表示，同時(shí)假定A≡I，為單位矩陣，即把這些誤差看成是高斯白噪聲，也就是誤差跟前后時(shí)間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分布。例如，艦上雷達(dá)跟蹤敵機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，雷達(dá)的跟蹤誤差一般可以認(rèn)為與敵機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，另外，系統(tǒng)的隨機(jī)干擾與系統(tǒng)初始狀態(tài)往往也是獨(dú)立的。

此處考慮狀態(tài)估計(jì)的目標(biāo)是從系統(tǒng)模型矩陣和觀測(cè)值 y(k)中對(duì)x(k)的序列估計(jì)。在序列估計(jì)中，狀態(tài)向量x(k)的估計(jì)值及其協(xié)方差矩陣P(k)是由k-1時(shí)刻x(k-1)的估計(jì)值及其協(xié)方差矩陣P(k-1)和當(dāng)前k時(shí)刻的系統(tǒng)觀測(cè)值 y(k)計(jì)算得出，當(dāng)k=0的初始時(shí)刻，會(huì)給出一個(gè)初始的狀態(tài)向量初始值和初始協(xié)方差矩陣。

由文獻(xiàn)［7］相應(yīng)的卡爾曼濾波基本方程為

利用卡爾曼增益矩陣

其中，式（3）為一步最佳預(yù)測(cè)，式（4）為驗(yàn)前方差陣，式（5）為濾波方程，式（6）為驗(yàn)后方差陣。狀態(tài)方程式（1）為狀態(tài)預(yù)測(cè)提供了基礎(chǔ)，由于系統(tǒng)隨機(jī)干擾m(k)是白噪聲序列，而白噪聲序列是不相關(guān)的，其最佳估計(jì)只能是其均值。因此，由狀態(tài)方程式（1）和已知的x^(k-1)，可得到狀態(tài)向量的一步最佳預(yù)測(cè) xk，k-1。

3 模型的建立

對(duì)于線性卡爾曼濾波理論的式（3）～（7），建立測(cè)量模型為

也可以表示為

其中

關(guān)于測(cè)量模型有以下兩種情形：已知的測(cè)量模型和未知的測(cè)量模型。為便于表達(dá)方便與計(jì)算簡(jiǎn)便，本文主要研究基于已知的測(cè)量模型的卡爾曼濾波估計(jì)。

當(dāng)系統(tǒng)模型是準(zhǔn)確已知的，在式（9）中預(yù)測(cè)當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)的唯一不確定源是系統(tǒng)觀測(cè)向量y(k)，誤差m(k)和n(k)。與觀測(cè)向量 y(k)相關(guān)的不確定性由協(xié)方差矩陣R(k)給出，它代表了觀測(cè)瞬時(shí)k時(shí)刻的誤差協(xié)方差。在最簡(jiǎn)單的情況下，誤差被認(rèn)為是獨(dú)立的服從高斯分布的誤差（即白噪聲），同時(shí)已知分布的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于更復(fù)雜的帶有誤差的結(jié)構(gòu)，可以使用矢量回歸（VAR）模型［8］。

假定與估計(jì)值x^(k-1)相關(guān)的協(xié)方差矩陣P(k-1)=Pk-1，k-1可以很有效地代表模型估計(jì)中的不確定性，存在多元正態(tài)分布：

兩個(gè)輸入量都假定是獨(dú)立獲得的，這種情況下它們的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)便為其各自概率密度函數(shù)的乘積。由于式（9）中的 xk，k-1和 y(k)的測(cè)量模型是線性的，且它們服從的分布是正態(tài)分布，通過(guò)測(cè)量模型可以對(duì)聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析，得出k時(shí)刻最佳估計(jì)為

和協(xié)方差矩陣

簡(jiǎn)化結(jié)果為

4 實(shí)例分析

本文使用下例來(lái)說(shuō)明對(duì)于質(zhì)量數(shù)據(jù)的處理中卡爾曼濾波的不確定性評(píng)估。假設(shè)一個(gè)水箱在使用過(guò)程中滿足正弦曲線變化規(guī)律，無(wú)法直接通過(guò)觀察精確得出水箱的水位與振幅，并且在進(jìn)行測(cè)量過(guò)程中由于儀器失準(zhǔn)等外界因素的影響存在誤差［9］。此時(shí)假設(shè)存在關(guān)系式

初始的水位為L(zhǎng)0=100cm，初始振幅為xs0=0.01cm，頻率θ=0.8Hz，導(dǎo)數(shù)為

所研究的考慮到誤差因素的水位與振幅測(cè)量值，目的是用來(lái)估計(jì)實(shí)際水位xl與振幅xs。在研究時(shí)間范圍內(nèi)水箱系統(tǒng)水位與振幅的變化表述為如下

其中狀態(tài)和測(cè)量誤差滿足 m～N(0，τ2)和 n～N(0，σ2)［10］，標(biāo)準(zhǔn)差 τ=0.01和 σ=1.0 。

圖2表示存在誤差時(shí)隨時(shí)間推移的水箱系統(tǒng)在假設(shè)條件下的水位與振幅變化?？梢钥吹皆诖嬖谡`差情況下，隨著振幅的波動(dòng)變化，水位的變化幅度值也在隨之變大變小具有隨機(jī)性，且變化不具有預(yù)見性?，F(xiàn)實(shí)環(huán)境下，在未知實(shí)際水位與振幅時(shí)，只能通過(guò)測(cè)量估計(jì)得到水位與振幅，本文模擬了一個(gè)實(shí)際水位與振幅，比較實(shí)際水位與振幅和測(cè)量得到的水位與振幅的相近程度，目的是用來(lái)檢驗(yàn)卡爾曼濾波的數(shù)據(jù)估計(jì)水平。

圖2 假設(shè)條件下系統(tǒng)的水位與振幅

由于測(cè)量系統(tǒng)（15）～（16）是具有服從正態(tài)分布誤差的線性模型，因此可以將線性卡爾曼濾波理論應(yīng)用于數(shù)據(jù)評(píng)估［11］為

圖3為假設(shè)條件下系統(tǒng)利用卡爾曼濾波估計(jì)得出的測(cè)量水位與測(cè)量振幅，由圖可以看出，由于誤差的干擾，卡爾曼濾波方法不斷遞歸估計(jì)得出的水位與振幅和實(shí)際的水位與振幅產(chǎn)生了一定的偏差，無(wú)法呈現(xiàn)為較為直觀的線性狀態(tài)，但是大致變化具有一定的趨向性。

將模擬實(shí)際水位與振幅和估計(jì)得出的水位與振幅生成在一張圖中，結(jié)果如圖4所示。卡爾曼濾波估計(jì)得出的測(cè)量水位與振幅和模擬實(shí)際水位與振幅較為吻合。在某些時(shí)刻，模擬實(shí)際水位與測(cè)量水位圖形幾乎重疊一致，在測(cè)量區(qū)間內(nèi)，線性整體走勢(shì)基本一致，估計(jì)精度較高。如果要求測(cè)量誤差方差進(jìn)一步減小，估計(jì)精度將可以進(jìn)一步改進(jìn)。

圖3 卡爾曼濾波估計(jì)的測(cè)量水位與振幅

圖4 卡爾曼濾波估計(jì)結(jié)果與模擬系統(tǒng)對(duì)比圖

實(shí)際情況下，當(dāng)已知系統(tǒng)由于誤差等因素的影響使常規(guī)測(cè)量失準(zhǔn)時(shí)，無(wú)法評(píng)估誤差對(duì)數(shù)據(jù)的影響程度以及數(shù)據(jù)的具體變化。此時(shí)卡爾曼濾波方法可以很好的評(píng)估數(shù)據(jù)，并且在已知誤差服從的規(guī)律為高斯分布的前提下，多次對(duì)誤差遞歸得到最小方差無(wú)偏估計(jì)。利用Matlab仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)無(wú)論生成多少次圖形，誤差對(duì)圖形影響的情況不同，然而卡爾曼濾波都可以較為吻合的評(píng)估數(shù)據(jù)變化，效果依然很好。

綜上通過(guò)卡爾曼濾波理論的估計(jì)結(jié)果，總結(jié)卡爾曼濾波突出的優(yōu)點(diǎn)，可歸納如下：

1）卡爾曼濾波是一套完整的遞推算法，特別適合于計(jì)算機(jī)處理，占內(nèi)存少，運(yùn)算速度快，適合實(shí)時(shí)處理。

2）估計(jì)精度高。它是目前已知的估計(jì)方法中最好的一種。

3）適應(yīng)性強(qiáng)。不但適合處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，也適合多輸入、多輸出系統(tǒng)；適合平穩(wěn)或非平穩(wěn)的隨機(jī)系統(tǒng)，時(shí)變過(guò)程，稍加推廣，也可用來(lái)次優(yōu)估計(jì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

4）在得到狀態(tài)變量最優(yōu)估計(jì)的同時(shí)，也可得到估計(jì)誤差的方差陣，可以作為估計(jì)精度的一種量度，便于在線監(jiān)控濾波器的工作質(zhì)量。

5 結(jié)語(yǔ)

卡爾曼濾波理論將被估計(jì)的數(shù)據(jù)看作是線性系統(tǒng)在服從高斯分布誤差作用下的輸出，并且在時(shí)間范圍內(nèi)，線性系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系由狀態(tài)方程和輸出方程給出，這種特點(diǎn)適用于多輸入、多輸出的估計(jì)問(wèn)題［12］。將卡爾曼濾波方法用于質(zhì)量數(shù)據(jù)評(píng)估減少了誤差對(duì)估計(jì)值的影響，因?yàn)槿绻麥y(cè)量誤差增大，濾波增益就應(yīng)該取得小一些，以此減弱測(cè)量誤差對(duì)估計(jì)值的影響。

本文利用卡爾曼濾波理論實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例質(zhì)量數(shù)據(jù)評(píng)估的方法——水箱水位與振幅問(wèn)題。通過(guò)研究表明，卡爾曼濾波理論在質(zhì)量數(shù)據(jù)評(píng)估方面具有較高的研究?jī)r(jià)值，當(dāng)由于實(shí)際使用情況的特殊和限制因素，無(wú)法直觀得到裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)時(shí)，可以通過(guò)卡爾曼濾波理論用來(lái)估計(jì)裝備質(zhì)量數(shù)據(jù)當(dāng)前的大致狀態(tài)，并將估計(jì)精度提高到一定的程度上，便于使用者掌握和了解裝備的使用現(xiàn)狀，便于評(píng)估的進(jìn)一步開展和進(jìn)行。此外卡爾曼濾波和狀態(tài)評(píng)估的相關(guān)方法在許多領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用，其按順序產(chǎn)生了對(duì)狀態(tài)向量的估計(jì)，并通過(guò)在估計(jì)中不斷更新的協(xié)方差矩陣來(lái)刻畫其不確定性，適合在質(zhì)量評(píng)估工作準(zhǔn)備階段質(zhì)量數(shù)據(jù)處理方面減少不確定性誤差對(duì)質(zhì)量數(shù)據(jù)的影響。