嚴(yán)酷的魔王

是真的嗎

“要想富，多修路”，修路能不能致富不好說，但數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)有時(shí)候路多了反而更堵車。

每天一到上下班高峰期，都會(huì)有一批奮斗在堵車第一線的“勇士們”。相信絕大多數(shù)人都有過這樣的念頭：要是車子少一點(diǎn)就好了，要不就再多修些路也行??！確實(shí)，車子數(shù)量的急劇增長是堵車嚴(yán)重的其中一個(gè)因素。但另一方面，路多了真的能提高通行效率嗎？不一定！

最初的交通狀況

為了敘述方便，我們使用一個(gè)簡化的交通模型。假設(shè)初始的交通網(wǎng)絡(luò)如下圖所示：

有時(shí)路多了，反而更堵車

最近有不少市民反映，從起始點(diǎn)到終點(diǎn)的行駛用時(shí)太長了。于是，A地與B地之間有了一條新路（AB）。這是一條名副其實(shí)的近路，行駛用時(shí)很短，可以忽略不計(jì)。加了一條路，交通擁堵應(yīng)該有所緩解了吧？大家應(yīng)該都滿意了吧？但實(shí)際上，這條近路反而讓司機(jī)們崩潰了。

原來，增加一條路后反而更堵車了！

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣奇怪的現(xiàn)象呢？下面我們來算一算。既然可以不耗時(shí)就從A地到B地，那么我們不妨認(rèn)為這兩個(gè)地方是同一地點(diǎn)（即中間點(diǎn)）。這樣一來，司機(jī)們就可以分兩個(gè)階段來選擇道路。而每個(gè)司機(jī)都憑借自己的理性選擇最省時(shí)的路徑，先到A地，然后走新路到B地，最后到達(dá)終點(diǎn)。假設(shè)車子數(shù)量不變，那么花費(fèi)時(shí)間就從原來的65分鐘增加到了4000/100+4000/100=80（分鐘）。

當(dāng)在一個(gè)繁忙交通網(wǎng)絡(luò)上增加一條新路后，新增路段不但沒有緩解交通延滯，反而拉低了整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)水準(zhǔn)。這種“費(fèi)力不討好”的現(xiàn)象與人們的直覺相悖，被稱為布雷斯悖論。

布雷斯悖論不是一個(gè)嚴(yán)格的悖論，不像說謊者悖論那樣會(huì)產(chǎn)生邏輯上的矛盾。它之所以被稱為悖論是因?yàn)閷?shí)際情況與我們的直覺相反，我們通常會(huì)認(rèn)為增加道路有助于縮短行駛用時(shí)，至少不應(yīng)該增加。這說明，博弈的方式雖然表面上為個(gè)體爭取了最大利益，但是因個(gè)體之間的行為缺乏統(tǒng)一協(xié)調(diào)所帶來的劣勢，可能會(huì)隨著競爭面的擴(kuò)大而更加凸顯。

有人會(huì)說：“那大家都約定不去走近路，而按照原先選擇的路徑繼續(xù)行進(jìn)不就沒有問題了嗎？”其實(shí)在日常生活中，這樣的約定通常難以實(shí)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)家有話說

數(shù)學(xué)家曾對這個(gè)有趣的現(xiàn)象做過很多研究。如果一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)上每條路的通行時(shí)間都與這段路上的車子數(shù)量呈線性關(guān)系（假設(shè)有x輛車，行駛用時(shí)就是y=ax+b，當(dāng)a=0時(shí)，意味著這段路的行駛用時(shí)與車子數(shù)量無關(guān)），那么這個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)就一定存在一個(gè)納什均衡點(diǎn)。它在某個(gè)時(shí)候會(huì)使得所有車輛的行駛用時(shí)一樣長，這時(shí)布雷斯悖論就出現(xiàn)了。

另一方面，有時(shí)人們會(huì)因不了解實(shí)時(shí)路況而付出代價(jià)，那么這個(gè)代價(jià)有多大呢？如果讓大家了解實(shí)時(shí)路況再選擇路徑，那么一定會(huì)出現(xiàn)一個(gè)最合理的調(diào)度方案，使得所有人的總耗時(shí)最少，不妨將這個(gè)最少總耗時(shí)記為t?？梢宰C明，如果大家在選擇路徑時(shí)都了解實(shí)時(shí)路況，那么總耗時(shí)自然不會(huì)小于t，但是這個(gè)耗時(shí)再長也不會(huì)超過2t。也就是說，我們因不了解實(shí)時(shí)路況而隨機(jī)選擇路徑，最后付出的代價(jià)不會(huì)超過最優(yōu)安排的兩倍時(shí)長。

親愛的小讀者，現(xiàn)在你明白為什么有時(shí)路多了反而堵車了吧！看似個(gè)體聰明選擇的匯總，有時(shí)并非是集體的最優(yōu)選擇喲！下次再遇堵車，你不妨打開手機(jī)導(dǎo)航，看看周圍的路是太少，還是太多。不過，本文的司機(jī)們之所以都選擇走那條最短路徑，或多或少是因?yàn)椴荒苷莆諏?shí)時(shí)路況。如果大家能實(shí)時(shí)了解路況，老叔個(gè)人覺得路多點(diǎn)終究還是好的，便于分流嘛。你還知道哪些有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象或結(jié)論嗎？歡迎你掃二維碼關(guān)注“廣西期刊傳媒集團(tuán)”，和我們一起分享喲！