山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000) 張 鑫 于興江

拋物線的焦點(diǎn)弦問題，一般采用韋達(dá)定理，采取設(shè)而不求.本文以2017年全國(guó)高考理科I卷第10題為例，利用幾何畫板探究了拋物線中焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論.

2017年全國(guó)高考(理)Ⅰ卷第10題：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

我們利用幾何畫板探究得到.

定理1 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為8p.

圖1

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，E(x4,y4)，

注:2017年全國(guó)高考(理)Ⅰ卷第10題中拋物線C的方程為y2=4x，即p=2時(shí)，F(xiàn)為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為16.

圖2

定理2 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|·|DE|的最小值為16p2.

定理3 已知F為拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，連接A1B與AB1，則A1B與AB1經(jīng)過原點(diǎn).

圖3

y2-2pky-p2=0.

圖4

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2),由韋達(dá)定理得，

圓錐曲線問題是高中重點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，也是高考必考題之一,學(xué)生可以通過一道圓錐曲線的題目探究出圓錐曲線的一類問題,本文以探究拋物線的焦點(diǎn)弦問題為例，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提高探索及解決問題的能力.