（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015）

1843年Hamilton研究了四元數(shù)體H，并記作

其中i2=j2=k2=-1,ijk=-1。

1849年James Cockle探討了分類四元數(shù)環(huán)Hs，并記作

其中i2=-1,j2=k2=1,ijk=1。

分裂四元數(shù)環(huán)是結(jié)合代數(shù)和不可交換的4維Clifford代數(shù)，并且它包含零因子、冪零因子和非平凡的冪等元。分裂四元數(shù)環(huán)和四元數(shù)環(huán)是兩種不同的非交換四維Clifford代數(shù)，后者是一個(gè)非交換的體，而前者不是。因此分裂四元數(shù)環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)比四元數(shù)體的代數(shù)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。

分裂四元數(shù)的研究是最近比較新的一個(gè)課題，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者對(duì)分裂四元數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用展開了探討。文獻(xiàn)［1-3］研究了分裂四元數(shù)在幾何上的應(yīng)用，文獻(xiàn)［4-7］系統(tǒng)地給出了分裂四元數(shù)的分析性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)，文獻(xiàn)［8-9］探討了分裂四元數(shù)矩陣的可對(duì)角化問題及最小二乘問題。本文利用分裂四元數(shù)的復(fù)表示研究了分裂四元矩陣滿秩分解的代數(shù)方法，定義了分裂四元數(shù)矩陣的廣義逆，利用分裂四元數(shù)矩陣滿秩分解定理給出了廣義逆的若干性質(zhì)，最后利用分裂四元數(shù)矩陣的廣義逆，給出了分裂線性方程組的解。

1 分裂四元數(shù)矩陣的復(fù)表示

R表示實(shí)數(shù)域，C=R⊕Ri表示復(fù)數(shù)域，Hs=R⊕Ri⊕Rj⊕Rk表示分裂四元數(shù)環(huán)，其中i2=-1,j2=k2=1,ijk=1。Fm×n表示環(huán)F上的m×n矩陣的全體。

定義1對(duì)于任意x=x1+x2i+x3j+x4k=y+zj∈Hs，其中x1,x2,x3,x4∈R,y=x1+x2i,z=x3+x4i,y,z∈C，則稱2×2的矩陣為分裂四元數(shù)x的復(fù)表示，記為xf。

定義2對(duì)于任意其中A1,A2,A3,A4∈Rm×n,B1=A1+A2i,B2=A3+A4i,B1,B2∈Cm×n，則稱 2m×2n的矩陣為分裂四元數(shù)矩陣A的復(fù)表示，記為Af。

命題1對(duì)于任意，則

1）若Af=Bf，則A=B；

2）(A+B)f=Af+Bf；

3）(aA)f=aAf；

4）(AD)f=AfDf；

由命題1得到如下結(jié)果：

定理1

由定理1可知，一個(gè)分裂四元數(shù)即為一個(gè)復(fù)二階矩陣，分裂四元數(shù)環(huán)上m×n矩陣的性質(zhì)即為一個(gè)復(fù)數(shù)域上2m×2n矩陣的性質(zhì)。

2 分裂四元數(shù)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣及性質(zhì)

定義3對(duì)于任意其中A1,A2,A3,A4∈Rm×n。A的共軛矩陣-A3j-A4k；A的轉(zhuǎn)置矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置

定義4對(duì)如果存在使得其中In為n階單位矩陣，那么A是可逆的，B稱為A的逆矩陣。

引理1［10］對(duì)于任意給定的有下面結(jié)果成立：

2）(AB)*=B*A*；

3）如果A、B是可逆的，那么(AB)-1=B-1A-1；

4）如果A是可逆的，那么(A*)-1=(A-1)*。

定理2令，則(A*)f相似于(Af)*。

證明令A(yù)=A1+A2i+A3j+A4k=B1+B2j，其中B1=A1+A2i,B2=A3+A4i，則A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣-B2Tj，從而A的復(fù)表示矩陣從而對(duì)于復(fù)矩陣顯然是相似的，所以(A*)f相似于(Af)*。

定義5若則分裂四元數(shù)矩陣A的秩定義為

定理3若則rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)} 。

證明利用復(fù)表示矩陣和復(fù)數(shù)域上秩的不等式易得。

定理4令rank A=r，則有

1）A*A和AA*都是Hermite矩陣；

3）A*A=0當(dāng)且僅當(dāng)A=0。

證明1）因?yàn)?A*A)*=A*(A*)*=A*A，所以A*A是Hermite矩陣；同理可證A*是Hermite矩陣。

2）A*A的復(fù)表示是(A*A)f=(A*)f(A)f，由定理3知(A*)f(A)f相似于(Af)*(A)f。因?yàn)樵趶?fù)數(shù)域上所以rank(A*A)=rank(A)。同理可證rank(AA*)=rank(A)。所以rank(A*A)=rank(AA*)=rank(A)=r。

3）充分性顯然成立。由2）知必要性也是成立的。

3 分裂四元數(shù)矩陣的滿秩分解

在這一部分給出分裂四元數(shù)矩陣的滿秩分解理論。

定理5設(shè)則存在且rank(B)=rank(C)=r，滿足A=BC。

證明不妨設(shè)分裂四元數(shù)矩陣A=A1+A2i+A3j+A4k=B1+B2j，其中A1,A2,A3,A4∈Rm×n,B1=A1+A2i∈Cm×n,B2=A3+A4i∈Cm×n。

分裂四元數(shù)矩陣A的復(fù)表示矩陣為令則且

因?yàn)镻∈Cm×2n，所以存在P1∈Cm×r,P2∈Cr×2n，使得P=P1P2。從而知

即Af=BfCf。

由命題1知A=BC。結(jié)論得證。

例設(shè)A=A1+A2i+A3j+A4k∈H2×2s，其中

求矩陣A的滿秩分解。

解分裂四元數(shù)矩陣A=B1+B2j，其中所以分裂四元數(shù)矩陣A的復(fù)表示為

令B=P1,C=P21+P22j，則所以Af=BfCf，從而A=BC，其中

4 分裂四元數(shù)矩陣的廣義逆

定義6設(shè)分裂四元數(shù)矩陣如果存在分裂四元數(shù)矩陣滿足條件AGA=A，則稱G為分裂四元數(shù)矩陣A的廣義逆，記作A-。

定理6設(shè)則有

證明1）因?yàn)閷?duì)于任意由定義6知(A*)-=(A-)*。

2）由定理4知，rank(A-)≥rank(AA-)≥rank(AA-A)=rank(A)。

3）因?yàn)棣恕?，由AA-A=A得所以

定理7設(shè)則有

1）AA-=Im當(dāng)且僅當(dāng)A為行滿秩矩陣；

2）A-A=In當(dāng)且僅當(dāng)A為列滿秩矩陣；

證明1）若AA-=Im，則有

所以rank(A)=rank(AA-)=rank(Im)=m，即A為行滿秩矩陣。

反之，若A為行滿秩矩陣即rank(A)=m，于是rank(A)=rank(AA-A)≤rank(AA-)≤rank(A)，所以rank(AA-)=m。由于AA-是m階方陣，故AA-可逆，因此有AA-=AA-(AA-)(AA-)-1=AA-(AA-)-1=Im。

2）證明過程同1）。

3）若AGA=A，則有A*AGA=A*A。反之，若A*AGA=A*A，則有

由定理4知AGA-A=0，即得AGA=A。

定理8設(shè)A∈Hsm×n，且rank(A)=r＜min{m,n}，且有滿秩分解A=CD，則有A-=D-C-。

證明由定理7知，C-C=Ir,DD-=Ir，所以

5 分裂四元數(shù)線性方程組的解

在這一部分，利用分裂四元數(shù)矩陣的廣義逆討論相容分裂四元數(shù)線性方程組解的問題。

定理9設(shè)則存在n×m矩陣使x=Gb是相容分裂四元數(shù)線性方程組Ax=b的解的充分必要條件是G=A-，即G滿足AGA=A。

證明充分性 設(shè)G=A-，即AGA=A。由于分裂四元數(shù)線性方程組Ax=b是相容的，所以存在使Ax0=b。因此AGb=AGAx0=Ax0=b，所以x=Gb是分裂四元數(shù)線性方程組Ax=b的解。

推論1分裂四元數(shù)線性方程組Ax=b相容的充分必要條件是AA-b=b。

證明必要性 若分裂四元數(shù)方程組Ax=b相容，則由定理9知x=A-b是Ax=b的解，所以AA-b=b。

充分性 令x0=A-b，則Ax0=AA-b=b，所以x0是分裂四元數(shù)方程組Ax=b的解，故Ax=b相容。

定理10設(shè)則分裂四元數(shù)齊次線性方程組Ax=0的通解為x=(In-A-A)y，其中任意

證明因?yàn)锳(In-A-A)y=(A-AA-A)y=0y=0，所以x=(In-A-A)y是分裂四元數(shù)齊次線性方程組Ax=0的解。

設(shè)x0是分裂四元數(shù)齊次線性方程組Ax=0的任意解，則

所以分裂四元數(shù)齊次線性方程組Ax=0的通解為x=(In-A-A)y，其中任意

定理11設(shè)則相容分裂四元數(shù)線性方程組Ax=b的通解為x=A-b+(In-A-A)y，其中任意

證明由定理10和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知定理成立。

例利用廣義逆求分裂四元數(shù)線性方程組的通解。

解設(shè)矩陣

則分裂四元數(shù)線性方程組可表示為AX=b。系數(shù)矩陣的廣義逆為