陳海文

（安慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽安慶246133）

管理就是決策，決策活動(dòng)無處不在，它貫穿于社會(huì)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域，TOPSIS[1-3](Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，由于其易理解、操作方便和決策科學(xué)等優(yōu)點(diǎn)，已成為一種重要的決策方法。讓管理類專業(yè)學(xué)生熟練掌握并靈活運(yùn)用TOPSIS法是“管理決策”課程教學(xué)的基本目標(biāo)。在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖能快速掌握基本TOPSIS法的計(jì)算邏輯，但對(duì)TOPSIS法原理的理解不夠深入，在TOPSIS法運(yùn)用時(shí)不能舉一反三。為了發(fā)散學(xué)生的思維，從日常生活中的常見決策問題入手，在講解基本TOPSIS法的原理和計(jì)算邏輯的基礎(chǔ)上，介紹了一種新的TOPSIS法，通過比較教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)TOPSIS法原理的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

1 基本的TOPSIS法

TOPSIS法是一種枯燥的數(shù)學(xué)方法，為了使學(xué)生對(duì)枯燥的TOPSIS法產(chǎn)生濃厚的興趣，上課伊始，從學(xué)生日常生活中的決策問題入手。某同學(xué)準(zhǔn)備購(gòu)買1支鋼筆，超市里有4支不同款式的鋼筆可供他選擇，他選擇哪支鋼筆，這就是現(xiàn)實(shí)生活中常見的決策問題。影響該決策的因素有很多，主要有鋼筆的顏色、質(zhì)量、價(jià)格、外型和實(shí)用性等指標(biāo)，因?yàn)椴煌匿摴P在不同指標(biāo)方面的表現(xiàn)不一樣，這就讓我們難以決策。

在上述決策問題中，如果哪支鋼筆的顏色最好看、質(zhì)量最好、價(jià)格最便宜、外形最美觀且實(shí)用性最強(qiáng)，那么它就是我們心目中最理想的鋼筆，反之，它就是我們心目中最不理想的鋼筆。這兩種理想的鋼筆雖然實(shí)際上可能不存在，但對(duì)于指導(dǎo)我們決策是有幫助的，因?yàn)槿绻闹?shí)際鋼筆的指標(biāo)值最接近于最理想的鋼筆，同時(shí)它又最遠(yuǎn)離最不理想的鋼筆，那么它就是本次決策中的最佳鋼筆，這就是TOPSIS法的基本原理。

TOPSIS法是一種簡(jiǎn)單且合乎邏輯的多因素優(yōu)選方法，其基本思想：確定一個(gè)實(shí)際可能不存在的最理想方案和最不理想方案，然后計(jì)算現(xiàn)實(shí)中的每個(gè)方案距離最理想方案和最不理想方案的距離(歐幾里得距離)，最后利用理想解的相對(duì)接近度作為綜合評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)有m個(gè)方案，n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，aij表示第i個(gè)方案相對(duì)于第j個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)值，則備選方案的指標(biāo)評(píng)價(jià)矩陣為A=( aij)m×n，TOPSIS法的具體求解步驟[3]如下：

(1)將矩陣A進(jìn)行歸一化處理得到規(guī)范決策矩陣B=(bij)m×n,其中

(2)決策者根據(jù)自己的目的和要求將指標(biāo)重要性的權(quán)重確定為wj；

(3)得到方案的指標(biāo)加權(quán)評(píng)價(jià)值矩陣V=(vij)m×n，其中vij=bij·wj；

(4)確定最理想方案A+和最不理想方案A-：

其中J1是表示效益指標(biāo)的集合，J2是表示成本指標(biāo)的集合；

(5)計(jì)算每一個(gè)方案和最理想方案及最不理想方案的歐幾里得距離：

(6)計(jì)算每一個(gè)方案的TOPSIS評(píng)價(jià)值，并根據(jù)評(píng)價(jià)值Yi對(duì)合作伙伴進(jìn)行排序優(yōu)選，Yi=，其中Yi的值越大，表明方案越優(yōu)。

2 TOPSIS法的變式

在講解完基本TOPSIS法的基礎(chǔ)上，為了發(fā)散學(xué)生的思維，提問：上述TOPSIS法的計(jì)算步驟是否可以改動(dòng)？經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)TOPSIS法尋求最佳方案的本質(zhì)是比較各方案與理想方案間的相似程度，方案間的相似程度僅用距離公式來衡量不夠科學(xué)，因?yàn)榫嚯x只能描述向量的大小，而向量是矢量，它不僅具有大小特征，還具備方向特征，因此應(yīng)該運(yùn)用向量相似度[4-6]來衡量方案間的相似程度，于是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量相似度對(duì)基本TOPSIS法進(jìn)行修正，從而讓學(xué)生真正理解TOPSIS法的基本思想。

在運(yùn)用向量相似度時(shí)，需要對(duì)基本TOPSIS法的第(5)步和第(6)步作如下調(diào)整：

對(duì)于第i個(gè)方案Li=（vi1，vi2，…，vin），它與最理想方案A+={,,…,}及最不理想方案A-={,,…,}之間的相似度分別為

其中‖Li‖、‖A+‖和‖A-‖分別表示向量Li、A+和A-的模，[ Li,A+]、[ Li,A-]分別表示向量Li與A+、向量Li與A-的數(shù)量積；

由于向量間的相似度和向量間的距離是兩個(gè)相反意義的量，所以方案的TOPSIS評(píng)價(jià)值Yi的計(jì)算公式應(yīng)修正為，其中Yi的值越大，表明方案越優(yōu)。

3 TOPSIS法的實(shí)踐教學(xué)

為了提高學(xué)生的動(dòng)手能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的，讓學(xué)生編程實(shí)現(xiàn)兩種TOPSIS法，并分別運(yùn)用兩種TOPSIS法對(duì)引例中的問題進(jìn)行決策，加深學(xué)生對(duì)兩種TOPSIS法的理解和運(yùn)用。為了反映這些指標(biāo)在該同學(xué)心目中的地位，讓該同學(xué)對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行評(píng)判，給出指標(biāo)的權(quán)重向量w=(顏色,質(zhì)量,價(jià)格,外型,實(shí)用性)=(0.15,0.3,0.3,0.15,0.1)，緊接著，讓該同學(xué)對(duì)這4款鋼筆進(jìn)行打分評(píng)判，由于該決策問題較簡(jiǎn)單，采用常見的10分制，評(píng)判結(jié)果如表1所示。

表1 鋼筆原始評(píng)判數(shù)據(jù)表

得到原始評(píng)判數(shù)據(jù)后，運(yùn)用歸一化公式對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，歸一化后的結(jié)果如表2所示。

表2 歸一化結(jié)果表

緊接著，讓學(xué)生根據(jù)指標(biāo)的權(quán)重向量，運(yùn)用公式vij=bij·wj計(jì)算出加權(quán)評(píng)判矩陣，結(jié)果如表3所示。

鋼筆1鋼筆2鋼筆3鋼筆4顏色0.090 9 0.106 1 0.045 5 0.030 3質(zhì)量0.151 5 0.242 4 0.121 2 0.121 2價(jià)格0.212 1 0.151 5 0.242 4 0.242 4外型0.060 6 0.075 8 0.121 2 0.060 6實(shí)用性0.050 5 0.080 8 0.060 6 0.050 5

在上述加權(quán)評(píng)判矩陣中，可以找出最理想的鋼筆和最不理想的鋼筆，最理想的鋼筆對(duì)應(yīng)的評(píng)判向量是(0.106 1,0.242 4,0.242 4,0.121 2,0.080 8),最不理想的鋼筆對(duì)應(yīng)的評(píng)判向量是(0.030 3,0.121 2,0.151 5,0.060 6,0.050 5)。在完成上述工作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生分別運(yùn)用兩種TOPSIS法對(duì)該問題進(jìn)行決策分析，決策結(jié)果分別如表4所示。

表4 基本的TOPSIS法與改進(jìn)的TOPSIS法決策結(jié)果

與最理想鋼筆間的距離與最不理想鋼筆間的距離

TOPSIS值

為了加深學(xué)生對(duì)兩種TOPSIS法的理解，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，讓學(xué)生自己編程[7-8]實(shí)現(xiàn)上述過程，兩種TOPSIS法的決策結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

圖1 基本的TOPSIS法決策結(jié)果圖

圖2 改進(jìn)的TOPSIS法決策結(jié)果圖

從兩種TOPSIS法的決策結(jié)果來看，改進(jìn)的TOPSIS法的決策結(jié)果和基本的TOPSIS法的決策結(jié)果是一致的，這表明改進(jìn)的TOPSIS法是有效的、正確的。

4 結(jié)束語

TOPSIS法是管理決策中一種重要的決策方法，因其有效性和易操作性，我們?cè)诮虒W(xué)過程中必須理論聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生熟練掌握該方法。采用比較教學(xué)的方式，既加深了學(xué)生對(duì)TOPSIS法原理的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，為類似課程的學(xué)習(xí)提供了借鑒。讓學(xué)生自己編程實(shí)現(xiàn)TOPSIS法可提高學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生以后走上工作崗位打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。