董栗

【摘 要】 數(shù)形結(jié)合一種重要的數(shù)學(xué)思想。通過數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而便于找到簡捷的解題思路，使問題得到圓滿的解決。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；運用

一、數(shù)形結(jié)合的基本思想

高中數(shù)學(xué)研究的對象包含兩部分，一部分是數(shù)，一部分是形，我們把數(shù)和形的聯(lián)系稱為數(shù)形組合。數(shù)與形的結(jié)合是基于數(shù)學(xué)問題中條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。有助于學(xué)生們?nèi)チ私夂桶盐諗?shù)學(xué)問題的實質(zhì)，并且運用數(shù)形結(jié)合思想，使一些難題、怪題變得簡單易懂，拓展解題思路。

二、數(shù)形結(jié)合的主要途徑

（1）以數(shù)助形，即用代數(shù)方法研究幾何問題。這種類型的問題一般是把圖形坐標(biāo)化。例如平面解析等問題中“數(shù)”對圖形的研究。

（2）以形助數(shù)，即根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相對應(yīng)的幾何圖形，用幾何方法來解決代數(shù)問題。

（3）數(shù)與形的結(jié)合，即用數(shù)字來研究形，用形來研究數(shù)字，相互結(jié)合，使問題變得直觀簡單。

三、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題

1. 集合問題：通常指在求解集合的運算、集合之間的關(guān)系時，借助韋恩圖、數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系等圖形，建立方程、不等式等求解。

2. 函數(shù)問題：利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)問題，關(guān)鍵是對已知條件進行等價轉(zhuǎn)化，畫出準(zhǔn)確的函數(shù)圖像，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解。

3. 方程和不等式：在處理方程根或零點的問題，把根或零點看做函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)；處理不等式問題時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，分析其幾何意義，從圖形思維解決問題。

4. 三角函數(shù)：在考查三角函數(shù)的所有性質(zhì)或比較三角函數(shù)值的大小等問題中，通常借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理。

5. 線性規(guī)劃：即在已知可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。在圖形上尋找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

6. 數(shù)列：數(shù)列是一個特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式可以看作是正整數(shù)n的函數(shù)。

7. 解析幾何：在解題中通過畫出解析幾何圖形，利用圖像的直觀性達(dá)到解決解析幾何問題的目的。

8. 立體幾何：借助立體幾何中的圖形，利用立體幾何的公理、定理、性質(zhì)與公式等來解決立體幾何問題，這種辦法適用于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進行相關(guān)的證明與求解的問題。

9. 向量或復(fù)數(shù)：利用向量或復(fù)數(shù)的幾何意義，將二者相互聯(lián)系起來，使有關(guān)問題更加方便地加以解決。

四、數(shù)形結(jié)合的注意事項

（1）數(shù)形結(jié)合時要遵循等價性原則、圖形互補原則，這是數(shù)形結(jié)合的前提。

（2）數(shù)與形是相互制約，相互依賴的，在數(shù)形轉(zhuǎn)化過程中切不可無中生有。

（3）作圖時要盡量準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖像，必要時還需要對圖形的直觀分析給出嚴(yán)密的推理。

（4）數(shù)與形的結(jié)合具有直觀形象的特點，但不能代替具體的操作和證明。

【參考文獻】

[1] 周愛華. 數(shù)形結(jié)合的幾種方式[J]. 考試周刊，2017（18）.

[2] 岑茜，高明. 數(shù)與形，結(jié)合與深入[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（5）.