王麗琴

反比例函數(shù)是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，是在一次函數(shù)后又一個(gè)新型函數(shù).一些同學(xué)由于對反比例函數(shù)概念理解不到位，對性質(zhì)把握不準(zhǔn)確，在解題過程中常會(huì)出現(xiàn)以下6種常見錯(cuò)誤：

一、忽視對函數(shù)概念的理解

【例1】下列函數(shù)關(guān)系式中：y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，y=[-1x2]，y=-2x，5xy=3是反比例函數(shù)的有 .

【錯(cuò)解】y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，y=[-1x2]，5xy=3或y=[43x]，y=[2-πx]，y=[3x]+1，5xy=3.

【錯(cuò)因】同學(xué)們會(huì)有以上兩種錯(cuò)誤答案，主要原因是對反比例函數(shù)概念理解不透.一般地，形如y=[kx]（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).反比例函數(shù)通常有3種表達(dá)形式：y=[kx]，y=kx-1，xy=k.（上述3個(gè)式子中，k都為常數(shù)且k≠ 0）

【正解】y=[43x]，y=[2-πx]， 5xy=3.

二、忽視比例系數(shù)k≠0

【例2】若函數(shù)[y=m+1xm2+5m+3]是反比例函數(shù)，則m的值是 .

【錯(cuò)解】∵函數(shù)[y=m+1xm2+5m+3]是反比例函數(shù)，∴m2+5m+3=-1，解得m=-4或m=-1.

【錯(cuò)因】本題難度不大，主要考查同學(xué)們對反比例函數(shù)意義的理解.同學(xué)們要特別注意把反比例函數(shù)y=[kx]寫成負(fù)整數(shù)指數(shù)的形式：y=kx-1時(shí)，自變量指數(shù)為-1，仍然有k≠0這個(gè)必要條件.

【正解】由題意得[m2+5m+3=-1，m+1≠0.]解得[m=-4或m=-1，m≠-1.]從而得m=-4.

k≠0是反比例函數(shù)定義的重要組成部分，同學(xué)們一定不能忽略.

三、忽視不同函數(shù)的k不同

求函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，先把已知條件中自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入解析式得方程，再解方程求出待定系數(shù)，最后把待定系數(shù)的值代入所設(shè)解析式，得出解析式.

【例3】已知y=y1-y2，y1與3x成反比例，y2與x-2成正比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=5；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1.求y與x之間的函數(shù)解析式.

【錯(cuò)解】設(shè)y1=[k3x]，y2=k（x-2），k≠0.則y=y1-y2=[k3x]-k（x-2）.用待定系數(shù)法求解：當(dāng)x=3時(shí)，y=5，代入得[k9-k3-2]=5，解得k=-[458].即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=-[158x+458]（x-2）.

【錯(cuò)因】此解法錯(cuò)在設(shè)函數(shù)解析式時(shí)，把y1與x，y2與x-2的比例系數(shù)設(shè)成相同的了，而實(shí)際上它們不一定相同，并且已知條件只代入了一部分.

【正解】設(shè)y1=[k13x]，y2=k2（x-2），k1、 k2≠0.則y=y1-y2=[k13x-]k2（x-2）.將x=3，y=5；x=1，y =-1代入得[k19-k2（3-2）=5，k13-k2（1-2）=-1，]解得[k1=9，k2=-4，]即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=[3x]+4（x-2）.

不同函數(shù)的k值是不同的.k只是一個(gè)字母，也可以用f表示.同學(xué)們要理解其真正的內(nèi)涵.

四、忽視自變量的取值范圍

【例4】如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連接DP，過點(diǎn)A作AE⊥DP，垂足為E，設(shè)DP=x，AE=y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（ ）.

【錯(cuò)解】在矩形中連接AP，∵S△APD=[12]PD×AE=[12]AD×AB，∴xy=3×4=12，即y=[12x]，是反比例函數(shù)，故選D.

【錯(cuò)因】在判斷函數(shù)的圖像時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍.首先，當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)圖像在第一、三象限；其次，同學(xué)們做題時(shí)已經(jīng)考慮并知道了x>0，所以選了D，但是同學(xué)們忽視了自變量在實(shí)際問題中的取值范圍.要使問題有意義，還要考慮P點(diǎn)是在BC邊上運(yùn)動(dòng)的，所以y與x之間關(guān)系的圖像是雙曲線在第一象限圖像中的一部分.

【正解】與上面一樣，解得y=[12x]是反比例函數(shù).∵當(dāng)P與B重合時(shí)，AP=AB=3；當(dāng)P與C重合時(shí)，AP=AC=5.∴不僅有自變量x>0，而且還有3≤x≤5，y與x之間關(guān)系的圖像是雙曲線在第一象限中的一部分，正確圖像如C所示.

自變量的取值范圍很重要，同學(xué)們一定不能忽視.

五、忽視性質(zhì)成立的條件

對于反比例函數(shù)來說，當(dāng)k>0時(shí)，圖像分別位于第一、三象限，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨 x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，圖像分別位于第二、四象限，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

【例5】已知P（x1，-2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=[a2+1x]的圖像上，則下列關(guān)系正確的是（ ）.

A.x1

C.x3

【錯(cuò)解】∵y=[a2+1x]是反比例函數(shù)，且k=a2+1>0，∴y隨x的增大而減小.又∵-2<2<3，∴x3

【錯(cuò)因】當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，但點(diǎn)P（x1，-2）與Q（x2，2）、R（x3，3）不在同一象限內(nèi)，因而不能由-2<2<3，就斷定x3

【正解】∵k=a2+1>0，∴y隨x的增大而減小，且函數(shù)圖像分布在第一、三象限內(nèi).∵2<3，∴x3

本題考查了同學(xué)們對反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)及其增減性的理解.在應(yīng)用反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的基礎(chǔ)上，同學(xué)們應(yīng)會(huì)正確地比較在不同象限內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系.

六、忽視函數(shù)圖像的變換

反比例函數(shù)的圖像特點(diǎn)是：以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱的雙曲線，反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近 x軸、y軸，但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（k≠0）.而一次函數(shù)圖像是直線，所以結(jié)合兩種圖像的性質(zhì)特征，可利用數(shù)形結(jié)合求一類不等式的解集.

【例6】如圖2，直線y1=k1x+b與雙曲線y2=[k2x]交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式k1x<[k2x]+b的解集是 .

【錯(cuò)解】∵直線y1=k1x+b與雙曲線y2=[k2x]交于A、B兩點(diǎn)，又∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為5，∴當(dāng)y15.

【錯(cuò)因】要求不等式k1x<[k2x]+b的解集，不等式右邊不是一個(gè)典型的反比例函數(shù)的形式，需要將其變換為一般形式.

【正解】∵由k1x<[k2x]+b，得到不等式k1x-b<[k2x]，∴令雙曲線不動(dòng)，直線y1=k1x+b向下平移2b個(gè)單位，得y=k1x-b，直線向下平移2b個(gè)單位后的圖像如圖3所示，交點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為

-1，交點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為-5，當(dāng)-50時(shí)，雙曲線圖像在直線y=k1x-b圖像上方，∴不等式k1x<[k2x]+b的解集是-50.

圖像怎樣做到平移呢？圖像的平移綜合成一點(diǎn)就是8個(gè)字：左加右減，上加下減.

總之，反比例函數(shù)的易錯(cuò)題因人而異，同學(xué)們可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行辨析，以便強(qiáng)化記憶，查漏補(bǔ)缺，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到最好的學(xué)習(xí)狀態(tài).

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校）