楊 娜，鐘 凱，秦術杰

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

0 引 言

中國傳統(tǒng)木結構建筑中除椽子、望板這類屋面木基層構件外，其余幾乎全部是通過榫卯形式連接在一起[1]。作為整體結構中起到拉結聯(lián)系作用的榫卯節(jié)點，其力學特性影響并決定著整體結構的力學性能。

近幾十年來學者們通過試驗研究、有限元模擬和理論分析等方法對榫卯節(jié)點力學性能進行了大量研究。隋等[2]、陳慶軍等[3]和淳慶等[4]通過對典型榫卯節(jié)點的低周反復荷載試驗，研究了木構榫卯的轉動特性和剛度退化規(guī)律，并給出了不同類型榫卯節(jié)點的恢復力曲線。文獻[5]，[6]通過改變某一特定參數(shù)，利用模型試驗研究了不同因素對榫卯節(jié)點力學特性的影響。文獻[7]，[8]通過建立有限元模型，得到了榫卯節(jié)點的轉動剛度，并對古木結構進行了靜力分析。文獻[9]，[10]通過結合模型試驗和有限元分析的方法對日本常見帶木楔的直榫節(jié)點進行了研究，利用3D有限元模型與試驗對比驗證，分析了不同尺寸及形狀的木楔對榫卯節(jié)點初始剛度及抗推壓性能產(chǎn)生的影響。陳春超等[11-12]和謝啟芳等[13-14]基于榫卯節(jié)點受力機理的分析，通過理論推導的方式得到了典型榫卯節(jié)點的彎矩-轉角理論計算公式。以上研究揭示了榫卯節(jié)點的工作機制，也得到了節(jié)點的彎矩-轉角關系等力學曲線，但仍存在一定的局限性：試驗研究和有限元模擬往往只能得到特定條件下節(jié)點的力學性能指標；理論推導雖然能給出節(jié)點彎矩-轉角曲線計算公式，但得到的理論公式通常過于復雜，掩蓋了基本參數(shù)的影響規(guī)律且不利于實際工程應用。目前，對于考慮不同因素對榫卯節(jié)點力學性能影響的研究相對較少，特別是多因素相互作用的定量分析，且很少提出能夠應用于實際的節(jié)點簡化模型。

基于此，本文結合有限元模擬和分式析因設計方法，定量地研究彎矩作用下不同因素對燕尾榫節(jié)點抗彎性能的影響程度，給出節(jié)點初始轉動剛度和極限彎矩的回歸模型，并在此基礎上提出可用于整體結構分析的燕尾榫節(jié)點彎矩-轉角計算公式，為榫卯節(jié)點的抗彎性能研究提供一種新的思路和參考依據(jù)。

1 燕尾榫節(jié)點有限元模擬

數(shù)值模擬能夠較為方便且高效地進行參數(shù)分析，為了利用有限元模擬進行分式析因設計，采用有限元分析軟件ANSYS進行燕尾榫節(jié)點數(shù)值模擬研究，并利用文獻[15]中的試驗結果驗證有限元建模方法的有效性。

1.1 燕尾榫節(jié)點有限元模型

燕尾榫節(jié)點是由燕尾形榫頭和卯口組成的特殊節(jié)點，榫頭的端部寬，根部窄，形成一種相互咬合的組合方式，如圖1所示。選取文獻[15]中的節(jié)點模型試驗，用ANSYS軟件建模，進行單調加載分析。梁、柱構件采用具有大變形等非線性能力的三維實體單元Solid185，榫卯連接處榫頭插入卯口中，通過擠壓、摩擦進行力的傳遞。為了模擬這種特性，在有限元模型中，榫頭表面采用目標單元Target170，卯口表面采用接觸單元Contact173，這2種單元可形成柔體-柔體的面面接觸對，接觸面之間的摩擦因數(shù)取0.4[16]。

木材為正交各向異性材料，根據(jù)文獻[15]的材性結果給出樟子松的9個獨立彈性常量，見表1，其密度文獻[15]中沒有給出，參考《木結構設計手冊》[17]中樟子松的統(tǒng)計結果取為0.37 g·cm-3。

塑性計算時將木材近似看作理想彈塑性材料，并采用Hill型屈服準則[18]模擬木材的塑性屈服，木材塑性階段的參數(shù)見表2，其中剪切屈服強度取值同樣參考《木結構設計手冊》[17]中樟子松的統(tǒng)計結果。

表1 樟子松相關力學參數(shù)Tab.1 Mechanical Parameters of Pinus Sylvestris Var

注：EL，ER，ET分別為順紋、徑向和弦向方向彈性模量；μLR，μLT，μRT分別為徑切面、弦切面和橫切面泊松比；GLR，GLT，GRT分別為徑切面、弦切面和橫切面剪切模量。

表2 樟子松塑性階段參數(shù)Tab.2 Parameters of Pinus Sylvestris Var at Plastic Stage MPa

將柱的上下端面進行固接，并在梁自由端上邊界線處施加單調的位移荷載，對模型中三維部件采用掃掠網(wǎng)格劃分技術，且在榫卯連接處進行網(wǎng)格細分，如圖2所示。

1.2 有限元模擬結果對比

提取有限元計算結果中每一個荷載子步下梁端的合力以及榫頭轉動的角度θ，將梁端合力與梁長相乘得到榫頭所受彎矩M，由此作出榫卯節(jié)點的彎矩-轉角曲線，并與試驗曲線進行對比，結果如圖3所示。由圖3可知，數(shù)值模擬得到的彎矩-轉角曲線與試驗給出的曲線基本吻合，結果表明，數(shù)值模擬較為準確地反映了燕尾榫受彎的真實受力狀態(tài)，從而驗證了數(shù)值模擬方法的有效性。

2 燕尾榫節(jié)點分式析因試驗

析因設計是一種同時研究多個因素及其交互作用對系統(tǒng)影響的方法，它廣泛應用于涉及多因素的試驗，并被認為是最為有效的方法之一[19]。如果考慮所有因素的影響將導致試驗次數(shù)劇烈增加，假設試驗有k個影響因素，每個因素有2個水平，則完全析因設計的試驗數(shù)為2k個，當k達到較大值時，進行試驗將需要耗費大量資源甚至難以實現(xiàn)。此時分式析因設計是一種很有效的方法，它能夠用較少的試驗從眾多的輸入變量中篩選出影響系統(tǒng)的關鍵因素和重要的交互因素。

本文以數(shù)值模擬的方法代替真實試驗進行分式析因設計，以研究不同因素對燕尾榫節(jié)點抗彎性能的影響程度，并給出回歸模型。

2.1 分式析因數(shù)值模擬試驗

總結已有研究成果[11,13]，選取榫高A、榫長B、榫頭寬C、摩擦因數(shù)D、橫紋抗壓強度E、橫紋彈性模量F以及收乍角度G作為分式析因數(shù)值模擬試驗的7個因素，每個因素取2個水平，影響因素及其水平選取如表3所示，圖4為燕尾榫尺寸標注示意圖。

表3 因素和水平Tab.3 Factors and Levels

注：以收乍角度的正切值表示G的大小。

因素水平的選取至關重要，其選取原則是與實際情況相符并能給出較大適用范圍。對于榫頭尺寸因素(表3中的前3種因素及收乍角度)來說，根據(jù)《工程做法則例》選取能包含大多數(shù)建筑的尺寸范圍，據(jù)此給出各尺寸的相關取值。對于木材的橫紋抗壓強度而言，根據(jù)《木結構設計手冊》附錄四的試驗結果，選取能夠包含大多數(shù)木材橫紋抗壓強度值的范圍。對于木材的橫紋彈性模量及摩擦因數(shù)則參考《機械設計手冊》，分別取所給范圍的最大值和最小值。

選用的分式析因試驗方案見表4，共建立了32個數(shù)值計算模型。提取每個模型的彎矩-轉角曲線，并確定后續(xù)進行統(tǒng)計分析所需的樣本值。

2.2 燕尾榫節(jié)點抗彎性能影響因素顯著性分析

選取初始轉動剛度和極限彎矩承載力作為分式析因試驗的評價指標，這2個指標是后續(xù)研究的基礎，其中初始剛度為曲線的初始斜率值，極限彎矩承載力為曲線的峰值。對32組計算樣本值進行統(tǒng)計分析，在顯著性水平α=0.05下，利用方差分析針對不同指標篩選出相應的顯著因素，剔除不顯著因素。將各顯著因素的效應值(單因素的效應值為因素水平改變時所產(chǎn)生響應的變化，交互作用效應值為一個因素的水平間的響應差隨其他因素水平不同產(chǎn)生的響應變化)列于表5，其中貢獻率是相應因素效應的絕對值占所有因素效應絕對值總和的百分比。需要說明的是，二階交互效應的總項數(shù)應該為21個，表5中只給出了14項，其余未給出交互項說明其對2個指標的影響均不顯著。

為了更直觀地比較不同因素對各指標的影響程度，做出不同指標下各因素效應的柱狀圖，如圖5所示。效應值為正(負)表示相應指標隨該因素的增大而增大(減小)，而效應值的絕對值則反映了因素對評價指標的影響程度。

表4 分式析因數(shù)值模擬試驗方案Tab.4 Schemes of Fractional Factorial Numerical Simulation Test

由表5和圖5可知，對于燕尾榫節(jié)點的初始剛度，A(榫高)、D(摩擦因數(shù))和B(榫長)這3個因素的貢獻率都在10%以上，且效應總和占所有顯著因素效應總和的半數(shù)以上，說明這3個因素的影響程度最為顯著。值得一提的是，在所有主效應因素中，只有C(榫頭寬)對初始剛度的影響是負增長，且所有包含C(榫頭寬)的交互作用效應都是負值，這說明C(榫頭寬)過大可能會在一定程度上降低燕尾榫節(jié)點的初始轉動剛度。對于燕尾榫節(jié)點的極限彎矩，B(榫長)、A(榫高)和D(摩擦因數(shù))這3個因素依然占有決定性作用，且?guī)缀跛酗@著性因素的影響都是正向的，這與轉動剛度的結果是略有差別的。

表5 不同因素貢獻率Tab.5 Contribution Rates of Different Factors

注：“-”表示此因素對相應指標影響不顯著；雙字母表示各因素的交互作用。

以上分析結果表明，榫高、榫長以及摩擦因數(shù)的改變會對燕尾榫節(jié)點的力學性能產(chǎn)生較大影響，在對節(jié)點的加固維修中應重點考慮這3個因素對節(jié)點性能的影響。同時，在燕尾榫節(jié)點數(shù)值模擬過程中，對榫頭尺寸以及摩擦因數(shù)的準確把握程度會在一定范圍內影響最終結果的準確性。

2.3 統(tǒng)計回歸模型及其驗證

對32組樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計回歸，可得榫卯節(jié)點初始轉動剛度關于所選7個因素的回歸模型Kr為

Kr=3 247-10.72A-11.27B+15.18C-

7 795D-100.1E-1.328F-29 733G+

0.030 89AB-0.023 26AC+15.41AD+

0.003 61AF+87.7AG+36.10BD+0.906BE-

18.06CD+3.199DF

(1)

同理可得極限彎矩的回歸模型Mr為

Mr=260.0-0.321A-1.132B-0.119C-

334.2D-8.29E-0.0610F-1 319G+

0.001 663AB-0.000 433AC+0.351 0AD+

0.008 59AE+1.576AG+1.284BD+0.037 28BE+

4.40BG+0.000 604CF+3.74DE+847DG

(2)

為了驗證回歸模型的準確性，另選取2種規(guī)格的燕尾榫節(jié)點X1和X2(表6)進行建模分析，將模擬結果的樣本值與上述的回歸模型擬合值進行對比，如表7所示?？梢钥闯觯瑯O限彎矩的擬合值與樣本值相差不大，說明其回歸模型的預測結果具有較高的可靠度，而初始剛度的擬合值和樣本值相差較大，但也控制在30%以內，當缺乏試驗數(shù)據(jù)時，依據(jù)回歸模型計算的預測結果具有一定的參考價值。

表6 節(jié)點模型參數(shù)Tab.6 Model Parameters of Joint

表7 結果對比Tab.7 Comparison of Results

3 燕尾榫節(jié)點彎矩-轉角計算模型

榫卯連接的古木結構是一半剛性連接的結構，對這樣的結構進行整體力學性能分析的關鍵在于選取合理的榫卯節(jié)點簡化模型。文獻[20]指出，古木結構榫卯連接的半剛性研究多采用三折線模型和三參數(shù)冪函數(shù)模型[21]，其中又以三參數(shù)冪函數(shù)模型較為理想，被廣泛應用。三參數(shù)冪函數(shù)模型可寫為

(3)

式中：Rk為曲線初始剛度；n為形狀系數(shù)；θ為參考塑性轉角；θu為極限塑性轉角，θu=Mu/Rk，Mu為節(jié)點抗彎極限彎矩。

從模型的計算公式可知，要得到最終的模型曲線需要確定3個關鍵參數(shù)，即初始剛度Rk、形狀系數(shù)n以及極限彎矩Mu。利用公式(1)，(2)可確定初始剛度以及極限彎矩，根據(jù)文獻[20]確定形狀參數(shù)n的取值為3。

以表6中的2種節(jié)點模型為研究對象，對比數(shù)值模擬結果和三參數(shù)冪函數(shù)模型結果，如圖6所示。

由圖6可知，兩者的彎矩-轉角曲線基本吻合，說明基于回歸模型得到的三參數(shù)冪函數(shù)模型在考慮榫卯節(jié)點尺寸、木材材性以及摩擦因數(shù)等因素影響下能夠很好地描述榫卯節(jié)點的抗彎性能。在進行整體結構力學性能分析時，可直接利用上述方法進行節(jié)點抗彎性能的計算，方便實際工程應用。

4 結 語

(1)本文采用的結合有限元模擬和分式析因設計技術的方法經(jīng)過驗證是行之有效的，定量分析了榫高、榫長、榫頭寬、摩擦因數(shù)、橫紋抗壓強度、橫紋彈性模量以及收乍角度這7個因素對燕尾榫節(jié)點初始轉動剛度和極限彎矩承載力的影響程度，并提出了相應的回歸模型。

(2)所選取的7個因素對燕尾榫節(jié)點的初始剛度和極限彎矩承載力的影響程度不同，其中榫高、榫長和摩擦因數(shù)對2個性能指標的影響最為顯著，建議在維修加固中重點考察這3個因素的損傷狀態(tài)。

(3)幾乎所有因素與燕尾榫節(jié)點的抗彎性能都是正相關的，只有榫頭寬對節(jié)點初始剛度的影響是負增長，即榫頭寬的增大會在一定程度上減小節(jié)點剛度。

(4)通過統(tǒng)計回歸提出了燕尾榫節(jié)點初始剛度和極限彎矩的回歸模型，并給出了結合回歸模型的三參數(shù)冪函數(shù)模型，對比結果顯示這一簡化模型可概括性地描述燕尾榫節(jié)點的半剛性特性，在保證一定可靠性的基礎上計算簡單，便于應用，可為整體結構力學分析提供參考依據(jù)。