【摘 要】 基于章建躍先生對(duì)《角》一課的教材分析，思考了如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出理性思維的靈魂地位，把握教學(xué)的整體觀與系統(tǒng)觀，并將《角》的教學(xué)推廣至一般幾何圖形的教學(xué)，主要遵循“背景——概念——性質(zhì)（判定）——建構(gòu)體系”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；教學(xué)；角

章建躍先生是人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任，人民教育出版社編審，課程教材研究所研究員，負(fù)責(zé)組織編寫中學(xué)數(shù)學(xué)教材.章先生曾在中學(xué)從教十余年，在擔(dān)任教研員、編審期間也經(jīng)常深入中學(xué)課堂，與一線教師交流教學(xué)，積累了豐富的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在各類期刊雜志上發(fā)表了二百余篇關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的高水平文章.在天津師范大學(xué)承辦的2017年“國(guó)培”計(jì)劃——教育部示范性項(xiàng)目培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)研修項(xiàng)目班上，章建躍先生通過講解我國(guó)核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革，深度剖析《角》這一節(jié)課的教材內(nèi)容，為基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)提供了重要的指導(dǎo)意義.1 核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

為落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出以學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，各學(xué)科教學(xué)都要為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展作出獨(dú)特的貢獻(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)“立德樹人”根本任務(wù)[1].

數(shù)學(xué)教育對(duì)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的獨(dú)特貢獻(xiàn)，在每個(gè)方面上都是有側(cè)重的：文化基礎(chǔ)中的科學(xué)精神，自主發(fā)展中的學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，社會(huì)參與中的實(shí)踐創(chuàng)新.尤其要突出科學(xué)精神中的理性思維這一基本要點(diǎn)，它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的靈魂所在.而要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育中的立德樹人，就應(yīng)該將以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為載體，反映數(shù)學(xué)學(xué)科特征的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為統(tǒng)領(lǐng).2018年1月，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》正式頒布，其中提出了六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析[2].前三者反映了數(shù)學(xué)的三個(gè)特點(diǎn)，分別是高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性；后三者則對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何和概率與統(tǒng)計(jì)[3].因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅與核心素養(yǎng)具有緊密聯(lián)系性，而且其內(nèi)部具有整體性與層次性[4].這就要求教師在落實(shí)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，把握好數(shù)學(xué)學(xué)科的整體觀與系統(tǒng)觀.2 關(guān)于《角》的教學(xué)思考

這節(jié)課選自人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《幾何圖形初步》的第四節(jié).這一章是初中學(xué)段幾何知識(shí)的起始內(nèi)容，不但為后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)做好鋪墊，更重要的是依賴現(xiàn)實(shí)空間學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，以此更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，并應(yīng)用于實(shí)際生活，形成從具體到抽象，再回歸具體的邏輯思維.

學(xué)習(xí)《角》這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)知道了點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系及其運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，而且學(xué)習(xí)了直線、射線、線段三個(gè)重要而基本的幾何圖形，點(diǎn)與射線作為組成角的基本要素也為學(xué)習(xí)角的知識(shí)做好了鋪墊.以此為學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)除了要關(guān)注知識(shí)本身，更重要的是知道學(xué)習(xí)方法是什么.

2.1 從整體上把握幾何學(xué)習(xí)方法圖1 幾何圖形學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

對(duì)于一個(gè)幾何圖形的學(xué)習(xí)，一般遵循圖1所示的完整學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)：背景——抽象概念——性質(zhì)（判定）——建構(gòu)體系（聯(lián)系與綜合），在定性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行定量學(xué)習(xí).以此為基本依據(jù)設(shè)計(jì)幾何圖形教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個(gè)邏輯過程，形成思維的螺旋式上升，是使學(xué)生學(xué)會(huì)思考的關(guān)鍵.

直線、射線、線段這三個(gè)幾何圖形在教材安排上都遵循上述學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，這為學(xué)習(xí)角這一幾何圖形奠定了整體觀與系統(tǒng)觀的教學(xué)基礎(chǔ)[5].

2.2 在過程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

根據(jù)幾何圖形學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，結(jié)合“角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其教學(xué)過程可分為明確學(xué)習(xí)對(duì)象、復(fù)習(xí)幾何度量、探究角的性質(zhì)、學(xué)習(xí)角的運(yùn)算四個(gè)步驟.

2.2.1 明確學(xué)習(xí)對(duì)象

明確學(xué)習(xí)對(duì)象是“數(shù)學(xué)化”的關(guān)鍵一步，是后續(xù)一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).教師在分析教材時(shí)，首先自己要理清學(xué)習(xí)對(duì)象與學(xué)習(xí)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，構(gòu)建起合乎邏輯的系統(tǒng)：在《角》這節(jié)課中，角是學(xué)習(xí)對(duì)象，角的性質(zhì)和度量等才是學(xué)習(xí)內(nèi)容.圖2 明確學(xué)習(xí)對(duì)象

明確角這個(gè)學(xué)習(xí)對(duì)象，可遵循圖2所示的過程：從實(shí)際生活背景出發(fā)，尋找典型的、豐富的角的“形象”，觀察分析它們的共同特點(diǎn)；歸納概括出其本質(zhì)特征、概念內(nèi)涵和要素等，從而進(jìn)行下定義；并用圖形、符號(hào)、語(yǔ)言三種表達(dá)方式進(jìn)行表示；按照某種條件對(duì)角進(jìn)行分類，確定一種學(xué)習(xí)角的邏輯順序.

教材分別從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度明確了學(xué)習(xí)對(duì)象，讓學(xué)生在具體情境中展開認(rèn)識(shí)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過程獲得學(xué)習(xí)對(duì)象[6]，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).能從現(xiàn)實(shí)背景和數(shù)學(xué)背景中，抽象出數(shù)學(xué)問題，明確學(xué)習(xí)對(duì)象，有邏輯的對(duì)其展開學(xué)習(xí)，對(duì)于數(shù)學(xué)育人具有重要意義.

2.2.2 復(fù)習(xí)幾何度量圖3 幾何度量的五個(gè)階段

復(fù)習(xí)幾何度量可分為五個(gè)主要階段，如圖3所示.第一，直觀感知“量”或者直接比較“量”的大??；第二，用非標(biāo)準(zhǔn)單位或另一個(gè)量為“中介”間接比較；第三，認(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并用其描述大??；第四，介紹國(guó)際通用單位體系及其換算；第五，利用公式求量的大?。ㄟ@里指面積和體積）.

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將角看成一個(gè)“量”，并用一個(gè)數(shù)來描述它，從定性學(xué)習(xí)過渡到定量學(xué)習(xí).前兩個(gè)階段由學(xué)生經(jīng)歷操作過程直觀感知、比較，第三、四兩個(gè)階段由教師介紹分析，由于角沒有面積和體積，所以不必討論最后一個(gè)階段.通過完善角度制，滲透弧度制，介紹角的測(cè)量工具完成與小學(xué)階段的銜接，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2.3 探究角的性質(zhì)

何為性質(zhì)？何為角的性質(zhì)？如何學(xué)習(xí)角的性質(zhì)？解決了這三個(gè)問題，就完成了對(duì)角的性質(zhì)的學(xué)習(xí).

從宏觀上看，性質(zhì)就是一類事物共有的特性，在數(shù)學(xué)中主要是指關(guān)系和規(guī)律.只要將角的圖形與關(guān)系、規(guī)律聯(lián)系起來，角的性質(zhì)自然而然就出來了.幾何學(xué)主要學(xué)習(xí)幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，通過觀察幾何圖形構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系來學(xué)習(xí)幾何性質(zhì).那么，角的形狀、大小關(guān)系（特殊關(guān)系）就是角的性質(zhì).學(xué)習(xí)角的性質(zhì)可以按照如圖4所示的邏輯順序展開：角的形狀在定義中已經(jīng)給出，角的大小關(guān)系仍然是先定性后定量.直觀感受或者操作比較角的大小關(guān)系：將角的頂點(diǎn)和一條邊重合放置，觀察另一條邊的位置關(guān)系即可；也可以利用測(cè)量工具定量的比較角的大小關(guān)系，這種方法不僅能夠定性描述大小，還可以定量比較.在比較的過程中，發(fā)現(xiàn)相等這種特殊關(guān)系，從而引出角的平分線、三等分線等；然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互補(bǔ)和互余這兩種定量的特殊關(guān)系.這樣就完整的學(xué)習(xí)了角的性質(zhì).

圖4 探究角的性質(zhì)

對(duì)于特殊的圖形、關(guān)系等，一般還要學(xué)習(xí)性質(zhì)的互逆問題——判定，即角分線、余角、補(bǔ)角的判定.在這一環(huán)節(jié)的探究中，更加注重學(xué)生從定性到定量的學(xué)習(xí)方法，經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韺W(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維[7]、整體觀和系統(tǒng)觀.

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維，科學(xué)精神，促進(jìn)人的智力發(fā)展中，發(fā)揮著不可替代的作用[8].數(shù)學(xué)的獨(dú)特育人功能，主要體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，特別是邏輯思維，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)有邏輯地思考、創(chuàng)造性思考，使學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問題，善于解決問題的人才.從一個(gè)邏輯到另一個(gè)邏輯的推理，從一種方法到另一種方法的遷移，從一個(gè)問題到另一個(gè)問題的轉(zhuǎn)化，都是理性思維逐步成熟的表現(xiàn).

2.2.4 學(xué)習(xí)角的計(jì)算

角的計(jì)算包括兩種，一是對(duì)應(yīng)計(jì)量單位的度分秒換算問題；二是對(duì)應(yīng)加減乘除的和差倍半角的作圖問題.兩個(gè)問題的共同作用促進(jìn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3 結(jié)束語(yǔ)

通過上述對(duì)《角》的教學(xué)思考，從整體上看，角的學(xué)習(xí)在義務(wù)教育和高中教育中分為四個(gè)學(xué)段（注：第一學(xué)段指1至3年級(jí)，第二學(xué)段指4至6年級(jí)，第三學(xué)段指7至9年級(jí)，第四學(xué)段指高一至高三年級(jí).），知識(shí)內(nèi)部具有連續(xù)性，呈現(xiàn)出循序漸進(jìn)的特點(diǎn)；從系統(tǒng)上看，第三學(xué)段的學(xué)習(xí)除了有前兩個(gè)學(xué)段作為基礎(chǔ)，還有直線、線段等幾何圖形在方法上的指導(dǎo)，呈現(xiàn)出螺旋上升的特點(diǎn).從感性認(rèn)識(shí)生活中的角到理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)上的角，通過數(shù)學(xué)抽象獲得學(xué)習(xí)對(duì)象；從定性描述角的大小到定量刻畫角的大小，通過幾何直觀量化學(xué)習(xí)對(duì)象；從宏觀上了解幾何圖形的性質(zhì)到微觀上把握角的性質(zhì)，通過邏輯推理探究學(xué)習(xí)對(duì)象；從角的換算到角的作圖，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用學(xué)習(xí)對(duì)象.

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)固然重要，但以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的方法習(xí)得更重要。同一分支、甚至不同分支下的數(shù)學(xué)知識(shí)間往往具有同構(gòu)性，從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“套路”，會(huì)使學(xué)習(xí)效果事半功倍.章建躍先生指出，教好數(shù)學(xué)就是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而教好數(shù)學(xué)的前提是理解數(shù)學(xué)[9].教師以知識(shí)為載體，樹立教學(xué)的整體觀和系統(tǒng)觀，為學(xué)生的思考指明方向，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人功能，落實(shí)好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教學(xué)中，教師要先行成為數(shù)學(xué)的思考者，然后引導(dǎo)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見[Z].2014.4.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.人民教育出版社.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育變革[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（04）：1-4.

[4]章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考[J].課程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.

[5]章建躍，劉萍.以數(shù)學(xué)整體觀為指導(dǎo)的課堂教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（23）：63-67.

[6]常磊，鮑建生.情境視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（02）：24-28.

[7]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（03）：1-5.

[8]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[9]章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（01）：61-63.作者簡(jiǎn)介 呂天璽（1994—），男，天津武清人，教育碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.曾獲第八屆東芝杯·中國(guó)師范大學(xué)理科師范生教學(xué)技能創(chuàng)新大賽“東芝創(chuàng)新獎(jiǎng)”、數(shù)學(xué)組二等獎(jiǎng)；第二屆全國(guó)全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教學(xué)技能大賽一等獎(jiǎng).