李 鑫，白廣忱，王鷂瑋

（北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京100191）

0 引言

葉盤系統(tǒng)的振動(dòng)特性對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)整體結(jié)構(gòu)的可靠度有很大影響。實(shí)際葉盤系統(tǒng)由于加工、磨損等因素，各扇區(qū)之間存在微小差別，稱為失諧。失諧會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)模態(tài)局部化和共振區(qū)間拓寬等問(wèn)題，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行安全造成嚴(yán)重影響。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)失諧葉盤的振動(dòng)特性進(jìn)行了大量研究，取得了很多成果[1-3]。白斌等[4]詳細(xì)闡述了失諧葉盤結(jié)構(gòu)分析模型、響應(yīng)局部化、失諧識(shí)別與預(yù)測(cè)等方面的研究現(xiàn)狀，并對(duì)未來(lái)研究方向進(jìn)行了說(shuō)明；王建軍等[5-7]建立了失諧葉盤系統(tǒng)的集中參數(shù)模型，提出3種模態(tài)振型局部化的定量描述方法，并對(duì)模態(tài)局部化現(xiàn)象進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證；Petrov等[8-9]從優(yōu)化的角度提出1種判斷失諧葉盤系統(tǒng)振動(dòng)最大響應(yīng)狀態(tài)的方法；姚建堯等[10]給出葉盤結(jié)構(gòu)節(jié)徑譜的數(shù)學(xué)定義，解釋了其物理意義，并利用節(jié)徑譜的概念對(duì)失諧葉盤結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)；Ayers等[11]研究了失諧葉盤結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)特性，計(jì)算了在加速、減速和通過(guò)共振區(qū)時(shí)的最大應(yīng)力。以上研究基于確定性分析，對(duì)共振狀態(tài)下失諧造成的模態(tài)局部化問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明，但并沒有對(duì)失諧葉盤系統(tǒng)進(jìn)行避共振可靠度分析。

在機(jī)械結(jié)構(gòu)避共振可靠度分析方面有很多研究成果。王延榮等[12]建立頻率干涉模型，并用數(shù)值方法就具體問(wèn)題進(jìn)行求解；張萌等[13]采用梯型和平頂正態(tài)型隸屬函數(shù)對(duì)模態(tài)頻率的模糊性進(jìn)行描述，建立避共振模糊可靠度模型；翟紅波等[14]基于七點(diǎn)計(jì)算法和矩估計(jì)法，給出了兩端簡(jiǎn)支輸流管道避共振可靠度的計(jì)算方法；歐陽(yáng)德等[15]基于葉片共振轉(zhuǎn)速圖，引入概率故障樹 PFTA（Probability Fault Tree Analysis）的概念，給出評(píng)估葉片避共振可靠度的方法；王鷂瑋等[16]建立葉盤結(jié)構(gòu)的有限元模型，得到不同工況下葉盤結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的概率分布特性和避共振可靠度變化規(guī)律。這些研究中提出的避共振可靠度理論對(duì)葉盤系統(tǒng)的避共振分析具有重要意義，但并沒有根據(jù)實(shí)際工況，考慮失諧葉盤系統(tǒng)激振頻率和模態(tài)頻率的相關(guān)性。

本文考慮失諧葉盤系統(tǒng)激振頻率和模態(tài)頻率的相關(guān)性，建立失諧葉盤系統(tǒng)避共振可靠度分析方法，通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性，為失諧葉盤系統(tǒng)的避共振設(shè)計(jì)和研究提供了理論支持。

1 基本理論

1.1 失諧葉盤系統(tǒng)分析方法

忽略阻尼影響的情況下，諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；F為外部激振力向量；x為結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移向量；x¨為結(jié)構(gòu)振動(dòng)的加速度。

對(duì)葉盤結(jié)構(gòu)中的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K進(jìn)行隨機(jī)失諧處理[17]，分析失諧情況下葉盤系統(tǒng)的振動(dòng)特性，失諧后的質(zhì)量矩陣Mλ和剛度矩陣Kλ為

式中：λ1和λ2為表示葉盤結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度失諧程度的向量。

由于葉盤結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性不會(huì)受到外部激振力的影響，所以在對(duì)失諧葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)忽略外部激振力的影響，即F=0。則式（1）簡(jiǎn)化為

本文采用有限元方法對(duì)式（3）進(jìn)行數(shù)值求解，得到失諧葉盤結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率w和對(duì)應(yīng)的模態(tài)位移D，對(duì)失諧葉盤結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性進(jìn)行分析。

1.2 響應(yīng)面方法

計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的主要模擬統(tǒng)計(jì)方法有蒙特卡洛方法、響應(yīng)面法以及二者結(jié)合的混合模擬方法等。雖然蒙特卡洛方法在計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的過(guò)程中具有直觀、簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，但是對(duì)于單次分析需要較長(zhǎng)時(shí)間的復(fù)雜問(wèn)題，蒙特卡洛方法通常耗時(shí)較長(zhǎng)，效率極低。響應(yīng)面法則通過(guò)合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)選取樣本點(diǎn)，利用選取的樣本點(diǎn)和由樣本點(diǎn)計(jì)算得到的響應(yīng)擬合1個(gè)響應(yīng)面來(lái)替代未知的真實(shí)狀態(tài)曲面，用得到的響應(yīng)面進(jìn)行分析，從而大大提高了計(jì)算效率。很多學(xué)者針對(duì)如何利用響應(yīng)面法進(jìn)行可靠性分析做了大量工作[18-21]。

本文采用有限元軟件對(duì)失諧葉盤系統(tǒng)進(jìn)行概率分析，計(jì)算得到失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)頻率對(duì)隨機(jī)變量的響應(yīng)面。采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)選取樣本點(diǎn)，用不含交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)面對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合。不含交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)面為

式中：X=（x1,x2,…,xn），為隨機(jī)變量。

得到失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)頻率對(duì)隨機(jī)變量的響應(yīng)面后，利用考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的失諧葉盤系統(tǒng)避共振可靠度計(jì)算方法進(jìn)行分析，計(jì)算得到避共振可靠度的響應(yīng)面模型。

1.3 避共振分析理論

1.3.1 激振頻率

在避共振分析中，常取葉盤系統(tǒng)的激振力頻率f1為發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速w的整數(shù)倍，即

式中：B為結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)，是1個(gè)與葉片所在級(jí)的前后級(jí)葉片數(shù)、級(jí)前噴嘴數(shù)等因素有關(guān)的正整數(shù)。合理選取B值也是葉盤避共振的重要措施。根據(jù)實(shí)際工作過(guò)程確定w的均值和標(biāo)準(zhǔn)差ew，則激振頻率f1的均值和方差為

1.3.2 模態(tài)頻率

本文根據(jù)實(shí)際工作過(guò)程，選定各隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，利用有限元軟件計(jì)算得到葉盤系統(tǒng)的模態(tài)頻率f2對(duì)各隨機(jī)變量的響應(yīng)面為

式中：x1,x2,…,xn分別為材料特性、載荷、工作溫度等隨機(jī)變量。

本文中采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式擬和響應(yīng)面且各隨機(jī)變量服從高斯分布，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，模態(tài)頻率f2的均值和方差為

1.3.3 避共振可靠度計(jì)算方法

基于文獻(xiàn)[22]提出的避共振理論，本文根據(jù)葉盤系統(tǒng)實(shí)際工作情況，提出考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的避共振分析方法，對(duì)失諧葉盤系統(tǒng)進(jìn)行避共振可靠度分析。

葉盤系統(tǒng)避共振可靠度Rf是指葉盤系統(tǒng)不發(fā)生共振的概率，即葉盤系統(tǒng)模態(tài)頻率f2避開某轉(zhuǎn)速w引起的激振力頻率f1的概率。按照傳統(tǒng)的振動(dòng)設(shè)計(jì)規(guī)范，當(dāng)f1和f2滿足式（10）時(shí)，稱振動(dòng)設(shè)計(jì)是安全的。

式中：0＜W＜0.3，為振動(dòng)設(shè)計(jì)常數(shù)。

給定

用g（f2）表示葉盤系統(tǒng)模態(tài)頻率分布的概率密度函數(shù)，（ff11）和 （ff12）表示激振力頻率分布概率密度函數(shù)，G（f1，f2）=0 表示葉盤系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)。

根據(jù)模態(tài)頻率分布與激振力頻率分布的干涉模型，則系統(tǒng)可靠度為

當(dāng)葉盤系統(tǒng)的模態(tài)頻率f2和激振頻率f11服從正態(tài)分布時(shí)，極限狀態(tài)函數(shù)G（f11，f2）也服從正態(tài)分布，均值EG1和方差DG1為

在傳統(tǒng)分析中，假設(shè)f11和f2是相互獨(dú)立的，協(xié)方差 Cov（f11,f2）=0。但在實(shí)際工作過(guò)程中，f11和 f2均與隨機(jī)變量轉(zhuǎn)速相關(guān)，有一定相關(guān)性，即協(xié)方差Cov（f11,f2）≠0。根據(jù) χ2分布的規(guī)律，對(duì)Cov（f11,f2）進(jìn)行近似計(jì)算

2 失諧葉盤系統(tǒng)避共振可靠度算例

2.1 有限元模型及溫度場(chǎng)說(shuō)明

以某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)第3級(jí)低壓渦輪為研究對(duì)象，利用UG建立葉盤結(jié)構(gòu)的3維實(shí)體模型，導(dǎo)入Hypermesh中劃分網(wǎng)格，采用有限元軟件進(jìn)行葉盤結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析。整個(gè)葉盤結(jié)構(gòu)共有30個(gè)扇區(qū)，有限元模型如圖1所示，包含296400個(gè)單元，342120個(gè)節(jié)點(diǎn)。單個(gè)扇區(qū)的有限元模型如圖2所示。輪盤半徑為160 mm，葉片高度為105 mm，模型選用的材料為鎳基變形高溫合金GH4133。

圖1 葉盤有限元模型

圖2 單扇區(qū)有限元模型

為使分析過(guò)程更加接近葉盤系統(tǒng)的實(shí)際工作過(guò)程，根據(jù)文獻(xiàn)[23]，對(duì)葉片工作溫度沿葉高進(jìn)行線性分布設(shè)計(jì)，葉片兩端溫度較低，溫度最高值在葉片中部，輪盤部分由于有冷卻系統(tǒng)進(jìn)行冷卻，溫度梯度較低。采用1維溫度場(chǎng)插值方法對(duì)葉盤系統(tǒng)沿徑向進(jìn)行分段插值擬合。溫度插值方案如圖3所示。葉盤系統(tǒng)在有限元軟件中按照溫度插值方案進(jìn)行熱分析，最終得到的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)結(jié)果如圖4所示。

圖3 溫度插值方案

圖4 葉盤穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)

為了模擬真實(shí)葉盤的失諧狀態(tài)，本文將葉片和輪盤所包含的單元分開定義屬性，將葉片的材料參數(shù)和溫度場(chǎng)作為分析變量，輪盤的參數(shù)是確定的。根據(jù)葉盤結(jié)構(gòu)的有限元模型和溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果，選定葉盤系統(tǒng)的分析變量見表1。

表1 模型參數(shù)

表中：E700、E800和 E900分別為 700、800 和 900 ℃下的彈性模量；t160為葉片和輪盤過(guò)渡處的溫度；t200和t220為葉身中間部分的溫度；t260為葉尖處的溫度；W920為航空發(fā)動(dòng)機(jī)的巡航轉(zhuǎn)速。

2.2 失諧葉盤確定性分析

根據(jù)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行失諧葉盤的確定性分析，得到失諧狀態(tài)下葉盤系統(tǒng)的模態(tài)頻率和響應(yīng)，將結(jié)果與諧調(diào)狀態(tài)下的葉盤結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明對(duì)失諧葉盤進(jìn)行避共振分析的必要性，為失諧葉盤的概率分析和可靠度計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

隨機(jī)選定1個(gè)葉片，根據(jù)表1中的分析參數(shù)，將選定葉片上的各參數(shù)設(shè)置成失諧狀態(tài)，未選定葉片參數(shù)保持不變，以此來(lái)模擬真實(shí)葉盤系統(tǒng)的失諧狀態(tài)。利用有限元軟件計(jì)算失諧葉盤系統(tǒng)的各階模態(tài)頻率f2和對(duì)應(yīng)的模態(tài)位移D，與諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比。為了保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，選定了a、b、c3種失諧狀態(tài)，各失諧狀態(tài)具體參數(shù)見表2。

取第2階模態(tài)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。第2階模態(tài)在3種失諧狀態(tài)下的計(jì)算結(jié)果見表3。諧調(diào)葉盤和3種失諧狀態(tài)下的葉盤對(duì)應(yīng)的第2階模態(tài)振型如圖5所示。

表2 諧調(diào)和3種失諧狀態(tài)下的參數(shù)

表3 諧調(diào)和失諧狀態(tài)下的第2階模態(tài)頻率

圖5 各狀態(tài)下第2階模態(tài)振型

對(duì)表3中的模態(tài)頻率進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)失諧導(dǎo)致葉盤模態(tài)頻率發(fā)生分散，降低葉盤系統(tǒng)的避共振裕度，使葉盤結(jié)構(gòu)更容易發(fā)生共振，增加葉盤系統(tǒng)避共振難度。對(duì)表3中的模態(tài)位移和圖5中的模態(tài)振型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在a失諧狀態(tài)下，葉盤系統(tǒng)的振型明顯不同于諧調(diào)狀態(tài)，并且對(duì)應(yīng)的模態(tài)位移也是諧調(diào)狀態(tài)下的3.12倍。說(shuō)明失諧還會(huì)導(dǎo)致葉盤系統(tǒng)出現(xiàn)模態(tài)局部化，同時(shí)模態(tài)位移也會(huì)大幅增加。因此，為使葉盤系統(tǒng)避開共振區(qū)間，提高葉盤結(jié)構(gòu)的可靠性，進(jìn)行相應(yīng)的概率分析和可靠度分析是十分必要的。

表4 隨機(jī)變量均值和方差

2.3 失諧葉盤概率分析

失諧葉盤概率分析選擇的隨機(jī)變量和分析方法與確定性分析相同，假定各變量均服從高斯分布且相互獨(dú)立，均值和標(biāo)準(zhǔn)差見表4。根據(jù)確定性分析的結(jié)果，選擇失諧葉盤系統(tǒng)的第2階模態(tài)頻率f2作為輸出變量。

利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)抽樣方法對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，抽取149組樣本，利用有限元軟件計(jì)算得到第2階模態(tài)頻率，采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，最終得到失諧葉盤第2階模態(tài)頻率對(duì)各隨機(jī)變量的響應(yīng)面

為了驗(yàn)證響應(yīng)面的精確性，利用蒙特卡洛方法，按照隨機(jī)變量的分布規(guī)律抽取10組樣本，先采用式（19）中的響應(yīng)面計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的第2階模態(tài)頻率fs再將各組隨機(jī)變量分別代入有限元模型計(jì)算得到精確的第2階模態(tài)頻率fm,計(jì)算二者的相對(duì)誤差，結(jié)果見表5。從表中數(shù)據(jù)可知，由響應(yīng)面計(jì)算得到的第2階模態(tài)頻率與真實(shí)結(jié)果誤差很小，說(shuō)明式（19）中的響應(yīng)面非常準(zhǔn)確。

從式（19）中可見，失諧葉盤系統(tǒng)的第2階模態(tài)頻率是轉(zhuǎn)速的函數(shù)，在響應(yīng)面擬合過(guò)程中，轉(zhuǎn)速并沒有被作為小量被忽略，而從式（5）中可見，激振頻率同樣是轉(zhuǎn)速的函數(shù)，再次證明激振頻率與模態(tài)頻率不可能是2個(gè)相互獨(dú)立的變量。

通過(guò)蒙特卡洛方法對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行10000次抽樣計(jì)算，得到失諧葉盤系統(tǒng)第2階模態(tài)頻率f2的概率分布特性，如圖6所示。從圖中可見，葉盤系統(tǒng)第2階模態(tài)頻率大致服從均值為865.66 Hz、標(biāo)準(zhǔn)差為50.49 Hz的正態(tài)分布。與諧調(diào)葉盤相比，失諧葉盤系統(tǒng)的模態(tài)頻率拓寬至1個(gè)分布區(qū)間，增加了葉盤系統(tǒng)發(fā)生共振的可能性。

表5 響應(yīng)面和蒙特卡洛方法計(jì)算結(jié)果及誤差

圖6 第2階模態(tài)頻率概率分布

2.4 失諧葉盤避共振可靠度分析

根據(jù)式（8）、（9），對(duì)式（19）進(jìn)行處理，計(jì)算得到失諧葉盤第2階模態(tài)頻率的均值和方差

將式（20）～（22）代入式（17）或式（18）中，得到考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的可靠度模型。

用得到的可靠度模型計(jì)算結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)B取1～8的情況下對(duì)應(yīng)的可靠度Rfc，并與蒙特卡洛法模擬1000次得到的結(jié)果Rfm和不考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的傳統(tǒng)方法的結(jié)果Rft進(jìn)行對(duì)比，分析本文提出的避共振可靠度計(jì)算方法的精確程度，3種方法的計(jì)算結(jié)果見表6，本文提出方法及傳統(tǒng)方法相對(duì)于蒙特卡洛方法的相對(duì)誤差見表7。

表6 不同方法計(jì)算下的可靠度

表7 不同方法的相對(duì)誤差

從表中數(shù)據(jù)可見，本文提出的考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的避共振可靠度計(jì)算方法相比于傳統(tǒng)的可靠度計(jì)算方法，計(jì)算結(jié)果更加接近蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明本文提出的避共振可靠度計(jì)算方法能夠更加精確地計(jì)算真實(shí)葉盤系統(tǒng)的避共振可靠度。但是本文提出的方法計(jì)算得到的結(jié)果一般大于由蒙特卡洛方法計(jì)算得到的結(jié)果，說(shuō)明本方法在評(píng)估可靠性時(shí)會(huì)對(duì)葉盤系統(tǒng)的避共振可靠度產(chǎn)生過(guò)高的估計(jì)，需要進(jìn)一步改進(jìn)。

比較結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)B取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的的可靠度，可以發(fā)現(xiàn)B取值接近6時(shí)，葉盤系統(tǒng)的避共振可靠度最低，為0.6239；而B取其他值時(shí)，葉盤系統(tǒng)的避共振可靠度均較接近1。說(shuō)明結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)B的選取對(duì)葉盤系統(tǒng)的避共振設(shè)計(jì)有重要影響。對(duì)于本文中的模型，結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)B應(yīng)該盡量選取遠(yuǎn)離6的值以避免發(fā)生共振。在某些情況下，當(dāng)葉盤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)無(wú)法更改時(shí)，則應(yīng)將工作轉(zhuǎn)速限制在更合理范圍內(nèi)，并盡量減小轉(zhuǎn)速的隨機(jī)性。

3 結(jié)論

（1）本文參考已有的振動(dòng)可靠度分析方法，考慮激振頻率和模態(tài)頻率的相關(guān)性，建立了失諧葉盤系統(tǒng)的避共振可靠度計(jì)算模型。該模型在分析問(wèn)題時(shí)更加接近失諧葉盤系統(tǒng)實(shí)際的振動(dòng)狀態(tài)，完善了振動(dòng)可靠度分析方法。

（2）本文對(duì)失諧葉盤系統(tǒng)進(jìn)行確定性分析和概率分析。發(fā)現(xiàn)在失諧狀態(tài)下，葉盤系統(tǒng)的模態(tài)頻率將會(huì)拓展成1個(gè)區(qū)間，使得葉盤系統(tǒng)更容易發(fā)生共振，增加避共振的難度。且在失諧狀態(tài)下，葉盤系統(tǒng)的模態(tài)位移也可能大幅增加，使葉盤系統(tǒng)激振頻率經(jīng)過(guò)共振區(qū)間時(shí)更加危險(xiǎn)。所以對(duì)失諧葉盤進(jìn)行避共振可靠度分析具有實(shí)際意義。

（3）根據(jù)本文提出的考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的失諧葉盤系統(tǒng)避共振可靠度計(jì)算方法得到的計(jì)算結(jié)果，相比于不考慮激振頻率和模態(tài)頻率相關(guān)性的傳統(tǒng)方法的結(jié)果，與蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果更加接近，說(shuō)明該方法合理，能夠更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)葉盤系統(tǒng)避開共振的概率，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。在分析過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)諧波系數(shù)同樣是影響葉盤系統(tǒng)避共振的重要因素，對(duì)葉盤結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。