張聞銳，萬安華

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電影中概率論和統(tǒng)計學(xué)知識的探究＊

張聞銳，萬安華

（中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

如今，含有數(shù)學(xué)元素的電影也日益增多，人們在觀看這些電影時是否留意并思考過其中的數(shù)學(xué)問題正是我們所關(guān)注的。事實(shí)上，這些數(shù)學(xué)知識對影片的劇情發(fā)展往往起到了推波助瀾的作用，也為影片增添了獨(dú)特的魅力與趣味性。選取《決勝21點(diǎn)》和《點(diǎn)球成金》這兩部與數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)密切相關(guān)的電影，結(jié)合具體電影場景研究了其中的概率論和統(tǒng)計學(xué)問題，討論了數(shù)據(jù)背后的價值和啟示。

數(shù)學(xué)影視；概率論；統(tǒng)計學(xué)；大數(shù)據(jù)

1 概述

電影作為一門流行的現(xiàn)代藝術(shù)正受到越來越多人的歡迎，原因不僅僅在于它能帶來豐富的視覺與聽覺享受，還在于它能用其獨(dú)有的藝術(shù)表現(xiàn)力傳播不同領(lǐng)域的知識和文化。如今，含有數(shù)學(xué)元素的電影也日益增多，人們在觀看這些電影時是否留意并思考過其中的數(shù)學(xué)問題正是我們所關(guān)注的。事實(shí)上，這些數(shù)學(xué)知識對影片的劇情發(fā)展往往起到了推波助瀾的作用，也為影片增添了獨(dú)特的魅力與趣味性。本文以最近幾年的美國電影《決勝21點(diǎn)》和《點(diǎn)球成金》為例，從數(shù)學(xué)專業(yè)知識的角度出發(fā)，解釋說明影片中出現(xiàn)的概率論與統(tǒng)計學(xué)問題，發(fā)掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化。

2 電影《決勝21點(diǎn)》中高低算牌法的探究

2.1 電影《決勝21點(diǎn)》與高低算牌法介紹

電影《決勝21點(diǎn)》講述了一名教授帶領(lǐng)由幾名麻省理工的數(shù)學(xué)高材生組成的團(tuán)隊，利用算牌技巧、暗語和肢體語言，在拉斯維加斯賭場屢有斬獲的故事。影片的高亮部分“高低算牌法”體現(xiàn)了概率的奧秘，也體現(xiàn)了幾位數(shù)學(xué)精英對于數(shù)學(xué)的尖端認(rèn)識及運(yùn)算能力。下面我們就電影中的“高低算牌法”以及主角團(tuán)隊作戰(zhàn)策略展開詳細(xì)的討論。

高低算牌法的原理在于：在實(shí)際的游戲過程中，剩余牌的點(diǎn)數(shù)大小必定由發(fā)掉的牌的點(diǎn)數(shù)大小所決定，因而玩家可以計算發(fā)掉牌的點(diǎn)數(shù)來獲知留在牌堆里的牌的點(diǎn)數(shù)，從而制定對應(yīng)的策略。2～6點(diǎn)的牌算作+1，稱為小牌；7～9的牌算作0，稱為中牌；10、J、Q、K牌（為便于說明下文會寫作T牌）和A牌算作－1，稱為大牌，將出現(xiàn)過的牌的數(shù)值相加。如果數(shù)值為正，表明發(fā)掉的小牌比大牌多，且數(shù)值越大，后面出現(xiàn)大牌的概率就越大；如果數(shù)值為負(fù)，表明發(fā)掉的大牌比小牌多，且數(shù)值越小，后面出現(xiàn)小牌的概率就越大。

2.2 關(guān)于高低算牌法的概率變化

莊家的固定策略是所有牌點(diǎn)數(shù)和小于17點(diǎn)繼續(xù)拿牌，大于等于17點(diǎn)則停牌。如果玩家此時采取與莊家一樣的固定策略，那么當(dāng)玩家已有牌點(diǎn)數(shù)較大時，選擇繼續(xù)拿牌，拿到T牌的概率增大，拿到小牌的概率減小，就會有更加大的爆牌風(fēng)險。而賭場中21點(diǎn)的規(guī)則之一是，如果玩家先爆牌，無論莊家后面是否爆牌，都算玩家輸，因此玩家在使用高低算牌法算得牌點(diǎn)數(shù)值為正時，應(yīng)采取另一種策略，避免先發(fā)生爆牌而輸?shù)粲螒颉?/p>

2.3 團(tuán)隊作戰(zhàn)策略

影片中提到，主角所在團(tuán)隊的作戰(zhàn)策略為：團(tuán)隊內(nèi)分為兩類玩家，蹲點(diǎn)員和大贏家。蹲點(diǎn)員負(fù)責(zé)在各張游戲桌上下最低的賭注，且一成不變，從不加注或者累積下注，在游戲過程中暗自用高低算牌法數(shù)點(diǎn)數(shù)，等待其桌上的牌“變熱”后發(fā)信號給大贏家，大贏家此時加入游戲。下面我們將進(jìn)一步分析這種團(tuán)隊作戰(zhàn)策略是基于怎樣的邏輯來制定的。

在21點(diǎn)賭場游戲中，玩家一般可以通過2種途徑獲勝：①玩家所有牌的點(diǎn)數(shù)和大于莊家且不超過21點(diǎn)；②玩家未爆牌的情況下莊家爆牌。如果用高低算牌法算得點(diǎn)數(shù)為正，那么此時對于玩家來說，無論從上述的哪一種途徑，都有較高概率獲勝，因?yàn)榘凑請F(tuán)隊策略，大贏家在點(diǎn)數(shù)為正時加入牌局，拿到大牌的可能性相對較大，有利于大贏家初始牌點(diǎn)數(shù)就達(dá)到20點(diǎn)或直接拿到黑杰克。另一種可能性則是玩家按兵不動，待莊家選擇繼續(xù)拿牌，拿到大牌的概率也會比較大，從而爆牌的可能性也變大了，玩家也能獲勝。當(dāng)然，概率對于玩家和莊家都是平等的，這意味著莊家初始牌拿到20點(diǎn)或是黑杰克的可能性也變大了，但在實(shí)際賭場游戲中，還要考慮玩家和莊家賭注賠率的問題，為了貼近電影劇情以及避免問題復(fù)雜化，我們在這里僅僅考慮游戲的勝率，暫時不考慮賠率，所以在出現(xiàn)大牌概率較高的情況下，玩家有更高概率獲勝或者至少和莊家平局。由于莊家在牌點(diǎn)數(shù)和小于17時會繼續(xù)拿牌，玩家等待莊家爆牌來贏得游戲的機(jī)會可能會更多?？偟膩碚f，算牌點(diǎn)數(shù)為正時有利于玩家，電影里的主角團(tuán)隊正是利用這個邏輯來提高獲勝概率的。

3 電影《點(diǎn)球成金》中棒球統(tǒng)計學(xué)的探究

3.1 電影《點(diǎn)球成金》與棒球統(tǒng)計學(xué)介紹

電影《點(diǎn)球成金》講述了奧克蘭運(yùn)動家棒球隊總經(jīng)理比利在耶魯經(jīng)濟(jì)學(xué)高材生彼得的幫助下，通過對棒球數(shù)據(jù)的分析挖掘了一批能力被大眾低估的棒球運(yùn)動員，打破傳統(tǒng)的球隊經(jīng)營模式，并帶領(lǐng)運(yùn)動家棒球隊取得連勝的故事。面對大量平淡無奇的棒球數(shù)據(jù)，包括球員打擊率、上壘率、盜壘率等，比利和彼得卻發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)據(jù)背后的信息和價值，建立了精細(xì)的數(shù)學(xué)模型，把上壘率作為挑選球員最重要的指標(biāo)。這些對以往組建球隊的思維方式的顛覆，都是基于棒球統(tǒng)計學(xué)而完成的。棒球統(tǒng)計學(xué)（Sabermetrics），又稱賽伯計量學(xué)，是為了評估和比較球員的表現(xiàn)，對棒球數(shù)據(jù)記錄的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計分析。棒球數(shù)據(jù)主要分為3種：進(jìn)攻數(shù)據(jù)、投球數(shù)據(jù)和防守數(shù)據(jù)?！饵c(diǎn)球成金》主要圍繞進(jìn)攻數(shù)據(jù)展開，即重點(diǎn)衡量一名球員打擊和跑壘的表現(xiàn)，因此本文也將主要圍繞進(jìn)攻數(shù)據(jù)進(jìn)行討論。

3.2 上壘率在棒球比賽中的重要性

電影中彼得指出，經(jīng)營球隊的人想的都是怎么買球員，但他們的目標(biāo)不應(yīng)該是買球員，而應(yīng)該是買勝場數(shù)，要買勝場數(shù)就必須買得分。因而球隊獲勝的關(guān)鍵是得分，于是比利在面臨奧克蘭運(yùn)動家隊的三名關(guān)鍵球員被挖走的難題時，采用了以球隊整體概念來進(jìn)行填補(bǔ)的方法，而不是單單找差不多的人去頂替他們。在比利和彼得看來，上壘率這一指標(biāo)和球隊得分密切相關(guān)，上壘率越高，意味著出局的概率越低，得分的概率越高，所以他們在挑選球員時注重的也是球員上壘的能力。

為了更清晰、有效地看出上壘率與得分的關(guān)系，我們搜集了近50年（1968—2017年）以來美國職業(yè)棒球大聯(lián)盟球隊的棒球統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并用R語言對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，將上壘率與其他統(tǒng)計量相比較，同時以決定系數(shù)作為一個判定基準(zhǔn)，來探討上壘率的意義及其重要性。首先將上壘率作為自變量，球隊得分作為因變量，嘗試做線性回歸，見圖1.為了更好地描述變量之間相關(guān)的密切程度，我們引入決定系數(shù)2作為一個判定基準(zhǔn)，其表示的是因變量得分有多少百分比的變異可由自變量上壘率來解釋。

圖1 上壘率與球隊得分關(guān)系圖

圖2 上壘率與球隊得分線性回歸概述

通過分析數(shù)據(jù)我們得知，60.33%的球隊得分可由上壘率解釋，見圖2.這個數(shù)值較為可觀，但我們不清楚它是怎樣一個水平，于是我們嘗試將上壘率與其他可能與得分呈正相關(guān)的變量進(jìn)行比較，比如打擊率和全壘打數(shù)，得到二者對球隊得分的解釋程度分別為49.59%和56.62%.由此看來，上壘率對球隊得分的解釋程度高于打擊率和全壘打數(shù)對球隊得分的解釋程度，是一個比較有價值的指標(biāo)。

比利在挑選球員時將上壘率作為重要的數(shù)據(jù)正好就是利用了上壘率與球隊得分的關(guān)系。運(yùn)動家隊被挖走的球員上壘率分別為0.477、0.324和0.291，平均值為0.364，比利的策略是找到三名球員，他們上壘率的平均值也達(dá)到0.364，這樣就可以從整體上填補(bǔ)球隊上壘率的空缺，整個球隊上壘率損失不大，依然有能力得分。

棒球統(tǒng)計學(xué)的成功首先在體育界掀起了一場“大數(shù)據(jù)革命”，它改變了人們對于運(yùn)動的思考方式，擺脫了對運(yùn)動員的固有印象，用數(shù)據(jù)分析的結(jié)果去反映事實(shí)。在這個大數(shù)據(jù)時代，大數(shù)據(jù)已滲透至我們學(xué)習(xí)、工作和生活的方方面面，數(shù)據(jù)思維和統(tǒng)計思想變得尤為重要，對于某個社會現(xiàn)象或問題，相關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、處理和分析都變得必不可少，人們也逐漸依賴數(shù)據(jù)去解釋問題、監(jiān)控活動和預(yù)測未來。

4 電影背后關(guān)于數(shù)據(jù)的思考

通過對兩部電影中數(shù)學(xué)問題的討論，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的確隱藏著具有巨大價值的信息。然而，數(shù)據(jù)真的可以決定一切事情的走向嗎？

《點(diǎn)球成金》中奧克蘭運(yùn)動家棒球隊雖然在常規(guī)賽中取得連勝佳績，但在季后賽中卻無法晉級。這是因?yàn)槊绹殬I(yè)棒球大聯(lián)盟一年的常規(guī)賽多達(dá)162場，意味著一支球隊有足夠多的樣本量，勝場數(shù)就會貼近用棒球數(shù)據(jù)統(tǒng)計出來的期望值；相反，季后賽采取五戰(zhàn)三勝制或是七戰(zhàn)四勝制，此時一支球隊比賽次數(shù)的樣本量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于常規(guī)賽中的162場，而且一旦在季后賽中遭遇淘汰，本賽季中便沒有比賽機(jī)會使得結(jié)果回歸預(yù)估的期望值，因此季后賽的結(jié)果具有較大的隨機(jī)性，給預(yù)測增加了難度。同樣，《決勝21點(diǎn)》中主角團(tuán)隊雖然初期“橫掃”拉斯維加斯賭場，但后來出現(xiàn)了頻頻輸?shù)糍€局的情況，這里面都蘊(yùn)含著大數(shù)定律和小數(shù)定律的奧秘。

由于數(shù)據(jù)并不代表一切事情的最終走向，在不同的情況下會受到不同因素的制約，因此我們不能過于依賴數(shù)據(jù)，但我們可以有效利用數(shù)據(jù)，甚至像兩部電影的主人公一樣，利用數(shù)學(xué)去挑戰(zhàn)不公平的游戲。雖然影片中的高低算牌法和棒球統(tǒng)計學(xué)未能確保最后的成功，但它們都傳遞了一個非常有價值的理念：我們要敢于利用數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)的知識去做出改變，去深入挖掘數(shù)據(jù)背后隱藏的信息。

5 結(jié)論

當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)與生動活潑的電影碰撞在一起時，不僅能讓觀眾了解數(shù)學(xué)知識、體會數(shù)據(jù)之趣，還能呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，啟示人們思考數(shù)據(jù)的意義、善于分析生活中的種種數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問題。除了本文所介紹的兩部電影之外，還有很多電影也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素，其中的相關(guān)數(shù)學(xué)問題都值得去深層次挖掘與探討。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)知識在電影中發(fā)揮著獨(dú)特的魅力和價值，使得電影也成為了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化的一個重要載體。

［1］Ben M.著.季華，季思聰譯.迷失的天才［M］.北京：中國青年出版社，2004.

［2］Lewis M.著.鄭曉菊譯.點(diǎn)球成金［M］.北京：法律出版社，2012.

［3］C.Soto Valero. Predicting Win-Loss Outcomes in MLB Regular Season Games—A Comparative Study Using Data Mining Methods［J］. International Journal of Computer Science in Sport， 2016，15（2）：91-112.

［4］于浩洋，黃亞玲.“大數(shù)據(jù)”時代體育何去何從［J］.山東體育學(xué)院學(xué)報，2015，31（2）：5-9.

張聞銳（1996—），女，本科在讀，應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)專業(yè)。萬安華（1976—），女，博士后，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與科研。

教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目（編號：cmc20170404）；中山大學(xué)本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程重點(diǎn)項(xiàng)目（2017）；中山大學(xué)國家高等教育質(zhì)量常態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)中心（高等教育研究院）開放基金（A1802）；廣東省研究生教育創(chuàng)新計劃項(xiàng)目（編號：2017XTLXXM02）

2095－6835（2018）18－0032－04

J904

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.032

〔編輯：辛霞〕