邢書劍　諸葛晶昌

摘要：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷是《自動控制原理》課程中的重要教學內(nèi)容之一，為了學生能夠靈活掌握線性系統(tǒng)的時域分析、根軌跡分析和頻域分析三部分，本文從勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四種角度對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種狀態(tài)的判斷進行了分析，使學生能夠更好掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的問題，為后續(xù)的自動控制系統(tǒng)校正打下良好的基礎。

關鍵詞：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；時域分析；根軌跡；頻域分析

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0092-03

一、引言

《自動控制原理》是高等學校工科類專業(yè)的重要課程，是一門理論性較強的基礎科學。通過本課程的學習可以使學生掌握建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的一般方法，掌握控制系統(tǒng)分析和綜合的方法，為今后學習現(xiàn)代控制理論、航空發(fā)動機控制、飛機計算機控制等課程提供相關的理論基礎。其中，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是《自動控制原理》課程中非常重要的教學內(nèi)容之一，很多章節(jié)都是圍繞穩(wěn)定性判斷和分析展開的。然而，各個章節(jié)都是介紹本章知識點，學生在學習之后往往很難前后串聯(lián)，為了使學生更好的理解和掌握閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的內(nèi)容，能夠全方位的靈活應用所學知識，本文將從時域分析、根軌跡分析及頻域分析三個方面對系統(tǒng)穩(wěn)定性問題進行深入分析。

二、系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)狀態(tài)可分為穩(wěn)定狀態(tài)、臨界穩(wěn)定狀態(tài)和不穩(wěn)定狀態(tài)三種形式[1-2]。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都位于S平面的左半平面。因此，在判斷一個閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定時，需要確認它的閉環(huán)極點是否都位于S平面的左半平面。

通常，單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

式中，K為比例系數(shù)；m和n分別為自然數(shù)且m≤n；γ表示系統(tǒng)為γ型系統(tǒng)；τ 和T 為時間常數(shù)。

即系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。

由式（3）可知，閉環(huán)特征方程的階數(shù)取決于n，而通過人工計算求解高階方程（n>2）是非常困難的，因此判斷高階系統(tǒng)穩(wěn)定性通常會采用其他手段進行，常用的方法為勞斯穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡分析法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及伯德圖判據(jù)幾種方法。

三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以通過對特征方程系數(shù)的適當代數(shù)運算得到S平面右半部及虛軸上是否存在閉環(huán)極點。為了便于理解，本文在各種方法的討論中假設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)皆為

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，當060時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

四、根軌跡分析法

根軌跡是指當K從0到∞連續(xù)變化時，閉環(huán)極點在S平面上對應的連續(xù)變化軌跡[3]。式（4）對應的根軌跡方程為

=- （6）

根軌跡如圖1所示?？梢姡?60時，系統(tǒng)有一對共軛閉環(huán)極點位于S平面的右側，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

五、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的常用方法之一[4]，本質(zhì)上屬于圖解分析方法，且開環(huán)頻率響應很容易計算。若閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式（4），則開環(huán)頻率響應為

其幅頻特性和相頻特性分別為

當K分別為10，60，80時的奈奎斯特軌跡如圖6所示，可見，當K=10<60時，奈奎斯特軌跡不包含（-1，j0）點，且系統(tǒng)的開環(huán)極點全部在S平面左側，則系統(tǒng)沒有在S平面右側的閉環(huán)極點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當K=60時，奈奎斯特軌跡經(jīng)過（-1，j0）點兩次，說明系統(tǒng)有兩個在S平面虛軸上的閉環(huán)極點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當K=80>60時，奈奎斯特軌跡順時針包含（-1，j0）點兩次，則系統(tǒng)有兩個在S平面右側的閉環(huán)極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

六、伯德圖判定

伯德曲線是頻率特性的另一描述形式[5]，其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別表示為

L（ω）=20lgA（ω）=20lg -20lg -20lg -20lg （10）

φ（ω）=-arctanω-arctan -arctan （11）

當K=10，60，80時的伯德曲線分別如圖3所示，對應的截止頻率分別為ωc1、ωc2、ωc3。可見，K取值不同時的相頻曲線保持不變，而由于K不同將導致在低頻端時的初始對數(shù)幅頻值不同，影響到每種情況下的截止頻率ωc不同，從而使得在0<ω<ωc這一段利用相頻特性曲線判斷穩(wěn)定性的結果不同。圖3中，K=10時，相頻特性曲線沒有穿越-180°線，所以正穿越次數(shù)N+和負穿越次數(shù)N-都為0，且開環(huán)不穩(wěn)定極點數(shù)P為0，此時2（N+-N-）=0=P，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；K=60時，交界頻率ωg=ωc，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；K=80時，正穿越次數(shù)N+為0，負穿越次數(shù)N-為1，則2（N+-N-）=-2≠P，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

七、結語

閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的前提，本文分別通過勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四個方面對系統(tǒng)的穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種工作狀態(tài)進行分析。通過多角度分析使學生更加清晰《自動控制原理》中時域分析、根軌跡分析和頻域分析三個章節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識更加立體，為后續(xù)的自動控制系統(tǒng)校正打下基礎。

參考文獻：

[1]任彥碩.自動控制原理[M].北京：機械工業(yè)出版社，2006.

[2]唐超穎.淺談“欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應”的教學方法[J]. 教育教學論壇，2017，（27）：163-164.

[3]季畫，李素玲，邢雪寧.自動控制原理根軌跡分析法教學中的新思考[J].教育教學論壇，2013，（52）：116-117.

[4]?？×?，陳穎.“自動控制原理”中頻域分析部分的教學探討[J].教育教學論壇，2016，（52）：228-229.

[5]陳鳳祥.自動控制原理之相對穩(wěn)定性概念的教學[J].教育教學論壇，2017，（3）：207-209.