王磊 譚平 崔林釗

摘要： 以含有界隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)模型為控制模型，研究了不確定結(jié)構(gòu)的魯棒H∞控制問題。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)Gegenbauer多項(xiàng)式將不確定結(jié)構(gòu)控制模型中隨機(jī)參數(shù)引入到結(jié)構(gòu)的確定性擴(kuò)階系統(tǒng)之中；再基于該擴(kuò)階系統(tǒng)，結(jié)合有界實(shí)引理，采用線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）推導(dǎo)得到控制系統(tǒng)的增益矩陣，使得閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)不確定性擾動(dòng)滿足H∞干擾抑制。最后通過(guò)一結(jié)構(gòu)算例，結(jié)合自定義的魯棒性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析比較了基于不同控制模型設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)魯棒性能的差異。仿真分析結(jié)果表明，模型參數(shù)和環(huán)境激勵(lì)的不確定性對(duì)控制系統(tǒng)控制效果有較大影響，所述控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法相較其他兩類方法具有更好的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)控制； 魯棒控制； 線性矩陣不等式； Gegenbauer多項(xiàng)式； 有界實(shí)引理

中圖分類號(hào)： TB535； TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）04-0629-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.010

引言

近幾十年來(lái)，由于結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制相對(duì)于傳統(tǒng)被動(dòng)控制技術(shù)具有振動(dòng)控制效果好、適應(yīng)范圍廣、檢測(cè)修復(fù)便捷等優(yōu)點(diǎn)，逐漸引起了各國(guó)學(xué)者的廣泛研究 [1-2]。但是在以往的研究中，控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)多需依賴精確的控制模型[3-5]，然而控制模型只是實(shí)際結(jié)構(gòu)的近似和簡(jiǎn)化，其本質(zhì)上仍存在不確定性[6]；同時(shí)外界環(huán)境激勵(lì)如地震、海浪和風(fēng)等也具有很強(qiáng)的不確定性。這些廣泛存在的不確定性都會(huì)影響控制系統(tǒng)的控制效果，甚至破壞結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一個(gè)良好的控制系統(tǒng)應(yīng)具有一定的魯棒性來(lái)應(yīng)對(duì)模型和外界環(huán)境的不確定性[7]。因此，發(fā)展結(jié)構(gòu)的魯棒控制策略具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[8-10]。

在魯棒控制策略研究中，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)是最重要的性能指標(biāo)之一，H∞控制可不依賴控制系統(tǒng)的精確模型，能較好地抑制結(jié)構(gòu)參數(shù)和外界環(huán)境的不確定性對(duì)控制性能的影響[11-15]。文獻(xiàn)[11]以H∞性能作為控制目標(biāo)之一，提出了考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[12]將地震激勵(lì)視作一干擾信號(hào)集，研究了最優(yōu)及次優(yōu)H∞狀態(tài)反饋控制器；文獻(xiàn)[13]研究了多層偏心結(jié)構(gòu)的魯棒H∞控制問題；文獻(xiàn)[14]基于隨機(jī)有界實(shí)引理（stochastic bounded real lemma），研究了離散時(shí)間系統(tǒng)的魯棒控制問題；文獻(xiàn)[15]提出了分散輸出反饋H∞控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，并研究了地震激勵(lì)下控制系統(tǒng)對(duì)于結(jié)構(gòu)的控制效果。雖然研究者們已對(duì)H∞控制系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究，但在以往的研究中，考慮環(huán)境激勵(lì)的不確定性的研究較多，針對(duì)不確定結(jié)構(gòu)進(jìn)行魯棒控制系統(tǒng)研究的相對(duì)較少，并且在已有的不確定結(jié)構(gòu)的H∞控制器設(shè)計(jì)研究中，模型的不確定性參數(shù)也常被假設(shè)為范數(shù)有界形式[16]，即在設(shè)計(jì)的過(guò)程中僅考慮參數(shù)的上下界，以最不利狀態(tài)進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。對(duì)于最壞擾動(dòng)發(fā)生概率較小的結(jié)構(gòu)，前述設(shè)計(jì)方法將以犧牲系統(tǒng)其他性能為代價(jià)來(lái)保證控制系統(tǒng)魯棒性，其設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)將過(guò)于保守。

針對(duì)上述問題，本文通過(guò)賦予參數(shù)的取值區(qū)間以合適的概率，以含有界隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)模型為控制模型，研究了不確定結(jié)構(gòu)的魯棒H∞控制問題。首先，基于Gegenbauer多項(xiàng)式將控制模型化為均方殘差最小意義下的確定性等效擴(kuò)階系統(tǒng)，再選取該擴(kuò)階系統(tǒng)進(jìn)行魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。在整個(gè)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，基于有界實(shí)引理和線性矩陣不等式（LMI）將最優(yōu)H∞控制問題轉(zhuǎn)化為帶有線性矩陣不等式凸約束的極值問題，從而簡(jiǎn)化了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。最后通過(guò)算例比較了基于不同控制模型設(shè)計(jì)的最優(yōu)H∞控制器對(duì)于不確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果，驗(yàn)證了本文所述方法具有更好的魯棒性。

3仿真分析

如圖2所示，某3層剪切型不確定框架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)頂層設(shè)置主動(dòng)質(zhì)量阻尼器（Active Mass Damper，簡(jiǎn)稱AMD）控制系統(tǒng)，相應(yīng)結(jié)構(gòu)名義模型和AMD參數(shù)如表1所示。假設(shè)結(jié)構(gòu)的1層剛度k1具有不確定性，其取值區(qū)間為k1∈[k0-3υk0，k0+3υk0]，k0為1層剛度名義值（如表1所示），變異系數(shù)υ設(shè)為0.2?？刂葡到y(tǒng)基于3種結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，分別為不考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，直接基于結(jié)構(gòu)名義模型設(shè)計(jì)的最優(yōu)H∞控制AMD1；僅考慮結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的上下界，基于傳統(tǒng)不確定模型設(shè)計(jì)的魯棒最優(yōu)H∞控制AMD2[13，16]；以及本文所述方法設(shè)計(jì)的AMD3。

對(duì)于AMD2系統(tǒng)，設(shè)為不確定性實(shí)數(shù)，滿足<1，則1層剛度k1=（1+δk）k0，其中δk=3υ。對(duì)于本文所述方法，假設(shè)1層剛度在取值區(qū)間內(nèi)的概率分布如式（15），其概率密度曲線如圖3所示pλ=aλb[1-（k-k0b）2]λ-0.5（15）式中aλ=Γ（λ+1）Γ（0.5）Γ（λ+0.5），Γ（·）為gamma函數(shù)b=3σ=3υk0，λ=4.2。以上參數(shù)使式（15）在取值區(qū)間內(nèi)與實(shí)際工程中常用的截尾正態(tài)分布函數(shù)（相同均值和方差）具有很高的相似性[17]。對(duì)前述AMD3控制模型，取三階Gegenbauer多項(xiàng)式Gλ0～Gλ2作為展開基底帶入式（5），依據(jù)1.2節(jié)所述形成擴(kuò)階系統(tǒng)。

在實(shí)際地震和隨機(jī)地震作用下，不同控制系統(tǒng)在無(wú)偏差、首層剛度偏差±30%條件下的控制性能如圖5所示，圖中控制率定義為（IU-IC）/IU，其中IU，IC分別為未控結(jié)構(gòu)和受控結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)峰值。圖5（a）～（c）顯示了在實(shí)際地震動(dòng)作用下，控制系統(tǒng)對(duì)于結(jié)構(gòu)1～3層層間位移峰值的控制效果；隨機(jī)地震作用下控制系統(tǒng)對(duì)于結(jié)構(gòu)層間位移均方差的控制效果如圖5（d）所示。通過(guò)對(duì)圖5分析可知，隨著樓層的增高，控制系統(tǒng)的控制效果逐步增強(qiáng)，并且不同的外激勵(lì)對(duì)于控制效果的影響也隨之減弱。這是由于AMD布置在結(jié)構(gòu)的頂層，隨著樓層的增高，控制力的影響將逐漸增強(qiáng)。對(duì)不同的AMD系統(tǒng)比較可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論對(duì)于層間位移響應(yīng)的峰值還是均方差，AMD2的控制效果相對(duì)較優(yōu)，AMD1的控制效果相對(duì)較差。當(dāng)結(jié)構(gòu)1層剛度發(fā)生±30%的偏差時(shí)，在不同的地震作用下，控制效果有著不同的變化規(guī)律。對(duì)于El Centro波，隨著1層剛度的逐漸增大，在1，2兩層控制效果顯著降低，其中相對(duì)于AMD3，AMD1和AMD2控制效果降低較快，在結(jié)構(gòu)的第3層，AMD1控制效果逐漸降低，AMD3控制效果先升后降，AMD2控制效果逐漸增強(qiáng)。而在Northridge地震波和隨機(jī)地震作用下，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出了較好的魯棒性。因此，針對(duì)外界激勵(lì)的不確定性對(duì)控制系統(tǒng)控制效果的影響，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)過(guò)程中需加以考量。

圖6給出了地震動(dòng)作用下AMD2和AMD3控制力峰值、均方差相對(duì)于AMD1的比率。結(jié)合圖5，6分析可知，相較于AMD1，AMD2和AMD3通過(guò)較大的瞬時(shí)控制能量和總能量輸入確保了較好的控制效果和魯棒性。這是因?yàn)樵诳刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，AMD2和AMD3考慮了結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，并且隨著選取的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性的增強(qiáng)，魯棒控制系統(tǒng)需要更多的控制能量減小擾動(dòng)抑制度γ∞，因此，僅考慮結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)上下界的AMD2所需控制能量最大。

為了消除3種控制系統(tǒng)控制力峰值差異對(duì)控制效果的影響，進(jìn)一步深入比較控制系統(tǒng)的魯棒性能，現(xiàn)定義J1（控制效果的標(biāo)準(zhǔn)差）、J2（控制效果的變異系數(shù)）、J3（J3=（I1-I2）/I3；I1，I2，I3分別為不確定性結(jié)構(gòu)控制效果的最大值、最小值和平均值）作為控制系統(tǒng)魯棒性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，對(duì)于實(shí)際地震動(dòng)，分別采用前述El Centro波和Northridge波作用下不確定性結(jié)構(gòu)的6個(gè)控制效果樣本進(jìn)行評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算，以消除激勵(lì)的不確定性所產(chǎn)生的影響。

表2，3分別列出了在實(shí)際地震或隨機(jī)地震作用下控制系統(tǒng)評(píng)價(jià)指標(biāo)。從表2中可以看出，對(duì)于結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)峰值，除表2中2行4列J1指標(biāo)外，AMD2和AMD3的評(píng)價(jià)指標(biāo)都明顯小于AMD1，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出了較好的魯棒性，通過(guò)進(jìn)一步的比較，AMD3的魯棒性能又稍好于AMD2。對(duì)于隨機(jī)地震作用下結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)均方差，在評(píng)價(jià)指標(biāo)J2和J3下，AMD3的魯棒性能優(yōu)于AMD1，AMD2。進(jìn)一步比較J1可以發(fā)現(xiàn)，AMD1控制效果的標(biāo)準(zhǔn)差較小，AMD2的標(biāo)準(zhǔn)差最大。但相較于控制效果標(biāo)準(zhǔn)差（指標(biāo)J1），指標(biāo)J2和J3給出了控制效果離散程度的相對(duì)值，能更好地代表控制系統(tǒng)的魯棒性能。因此，在進(jìn)一步結(jié)合表2，3中控制力峰值和均方差的評(píng)價(jià)指標(biāo)，可以看出相較于其他控制系統(tǒng)，AMD3在較小的控制力波動(dòng)下取得了更好的魯棒性能。

4結(jié)論

本文基于線性矩陣不等式（LMI）、Gegenbauer多項(xiàng)式和魯棒控制理論，研究了針對(duì)不確定結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)魯棒性能，并通過(guò)算例比較了基于不同控制模型的最優(yōu)H∞控制設(shè)計(jì)方法對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果和控制效果魯棒性能，給出了魯棒性能最優(yōu)的H∞控制器設(shè)計(jì)方法。研究結(jié)果表明：

1）基于不同控制模型設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)對(duì)不確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值和均方差都有一定的控制效果，其中基于結(jié)構(gòu)名義模型設(shè)計(jì)的AMD1系統(tǒng)其控制效果最差，基于傳統(tǒng)不確定模型設(shè)計(jì)的AMD2控制效果最優(yōu)，但控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)相對(duì)保守，所需能量較大，基于本文所述方法設(shè)計(jì)的AMD3系統(tǒng)，其控制效果優(yōu)于AMD1次于AMD2。

2）針對(duì)最優(yōu)H∞控制，隨著結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性的增強(qiáng)，降低擾動(dòng)抑制度γ∞的代價(jià)將逐漸增大。相較于AMD1， AMD2和AMD3要通過(guò)較大的瞬時(shí)控制能量和總能量輸入確保較優(yōu)的控制效果，其中，AMD3的控制模型中參數(shù)的不確定性較AMD2弱，所以其對(duì)于γ∞的控制代價(jià)較AMD2小，所需控制能量較AMD2少。

3）結(jié)構(gòu)首層剛度的偏差和地震動(dòng)的不確定性將直接影響AMD系統(tǒng)的控制效果。通過(guò)自定義的魯棒性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較，表明本文所述H∞控制設(shè)計(jì)方法相較傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法具有更好的魯棒性。

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Abstract： A mathematical model for dynamics of any real structure is always just an approximation for the physical reality of the structure. There are always uncertainties in the structure modeling. The robust control for an uncertain structure is discussed based on the model with bounded random parameters. Bounded random parameters of the model are first introduced into the deterministic equivalent model through Gegenbauer polynomial. Then the proposed robust controller is obtained by linear matrix inequalities （LMI） based on bounded real lemma，meanwhile，the H∞ disturbance suppression of the closed-loop control system is satisfied for all allowable uncertainties. To facilitate the computation of the proposed optimization problem，an efficient solution procedure based on the LMI toolbox of Matlab is employed. A 3-story structure with stiffness uncertainty is simulated to compare the performance of three robust controllers. The results of vibration control analysis show that the proposed controller design method is more efficient and robust than the other two robust controllers.

Key words： vibration control； robust control；linear matrix inequality（LMI）；Gegenbauer polynomial；bounded real lemma