黃玉梅

(綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川 綿陽 621000)

在高中課堂上講到勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),上拋運(yùn)動(dòng)是經(jīng)常被研究的一類情況．在沒有空氣阻力的情況下,上拋物體(例如乒乓球、網(wǎng)球等)上升到最高點(diǎn)所用的時(shí)間,與從最高點(diǎn)落回原來位置所用的時(shí)間是一樣的．有些學(xué)生就此提出了一個(gè)疑問,如果考慮空氣阻力的影響,哪一個(gè)過程所用的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)呢?

同學(xué)甲認(rèn)為:下落所需的時(shí)間長(zhǎng),因?yàn)樯仙^程中,空氣阻力向下,與重力方向一致,因此,物體做減速運(yùn)動(dòng)的加速度大于重力加速度,速度將會(huì)在很短的時(shí)間內(nèi)降到0,從而升至最高點(diǎn);而下落時(shí)空氣阻力和重力方向相反,加速度小于重力加速度,速度增加緩慢,因此下落所需的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)．同學(xué)乙認(rèn)為:上升所需的時(shí)間長(zhǎng),因?yàn)橄侣鋾r(shí),雖然空氣阻力與重力方向相反,導(dǎo)致加速度變小,但由于克服空氣阻力損失了能量,因此落回原來位置時(shí)的速度也比原來的速度要小,因此下落所需的時(shí)間應(yīng)該會(huì)比較短;同學(xué)丙認(rèn)為:應(yīng)該下落所需的時(shí)間長(zhǎng),正因?yàn)榛氐皆瓉砦恢脮r(shí)的速度變得比原來小,所以整個(gè)過程的平均速度要比上升的平均速度小,所以需要的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)．

1 假設(shè)物體所受空氣阻力是恒力

一般而言,空氣阻力和物體的迎風(fēng)面積、運(yùn)動(dòng)速度的大小有關(guān),為了使討論簡(jiǎn)化,易于理解,在這里先假設(shè)一個(gè)極端情形,即令空氣阻力只與物體的迎風(fēng)面積相關(guān),和運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)忽略不計(jì)．這樣的話,在上升和下落中,物體所受到的空氣阻力大小不變,只是方向不同,不妨設(shè)空氣阻力的大小為f阻．因?yàn)榭諝庾枇Φ姆较蚝臀矬w運(yùn)動(dòng)的方向相反,因此上升過程空氣阻力和重力同向,下落過程空氣阻力與重力反向．

上升過程:

下落過程:

容易看出,由于a′

2 假設(shè)物體所受空氣阻力大小和速度大小成正比

這里討論的上拋運(yùn)動(dòng)初速度一般較小,可以假設(shè)空氣阻力受運(yùn)動(dòng)速度的影響較小,其大小和速度的大小成正比關(guān)系,方向和速度方向相反,即f阻=-kv,k是比例系數(shù)．

當(dāng)上升到最大高度時(shí),v=0,由上式可求得

從而上升的最大高度為

因?yàn)楦叨鹊谋磉_(dá)式比較復(fù)雜,因此如果計(jì)算下降到原來位置的時(shí)間將會(huì)變得比較復(fù)雜,在這里可以改成利用物體下落t上時(shí)間后能否下落到原來的位置,即下落的距離H′與上升過程的高度H進(jìn)行比較,如果H′>H,則表示落到原來位置所需的時(shí)間小于t上,反之則是下落到原來位置所需的時(shí)間更長(zhǎng)．

可以求出下落的距離為

可以看出,當(dāng)mg?kv0時(shí),3階小量也可以忽略不計(jì),則

這樣就回到了不受空氣阻力的情形,所以上述的公式推導(dǎo)在空氣阻力趨于零時(shí)也是成立的．

同時(shí)將上述兩個(gè)展開式代入到H′的表達(dá)式還可以得到

同樣,當(dāng)mg?kv0時(shí),忽略3階小量,則

下落過程也可以回到不考慮空氣阻力的情形．

比較近似表達(dá)式,可見H′

通過上述的討論可知,空氣阻力為恒力或者空氣阻力與速度大小成正比的情況中,上升到最大高度所需的時(shí)間都小于從最大高度下落到初始位置的時(shí)間．當(dāng)然,在速度較大時(shí),空氣阻力將可能和速度大小的平方甚至更高次方成正比,相關(guān)的討論這里就不再贅述了．