□ 李英磊 □ 曹宗杰

中國(guó)人民解放軍空軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院 長(zhǎng)春 130022

1 研究背景

隨著航空事業(yè)的發(fā)展，綜合性能更高的航空器才能適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的需求，例如飛機(jī)要有良好的氣動(dòng)性能、較少的材料損耗、較長(zhǎng)的使用壽命［1］，且維修方便。目前，要求航空器在研發(fā)設(shè)計(jì)生產(chǎn)中具有結(jié)構(gòu)輕量化、布局智能化、強(qiáng)度最優(yōu)化的特點(diǎn)［2-5］。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)在航空科技領(lǐng)域中廣泛采用的方法主要有尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化三種［6］。尺寸優(yōu)化的主要對(duì)象是桿件截面積、板殼厚度等，形狀優(yōu)化的主要對(duì)象是結(jié)構(gòu)外觀形狀或者孔洞形狀，拓?fù)鋬?yōu)化則是研究材料分布問(wèn)題［7］。

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械、電子、力學(xué)、控制、仿真、材料、先進(jìn)制造技術(shù)等多學(xué)科的交叉耦合，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、兵器科學(xué)、飛機(jī)制造、載人航天、探月工程等重大領(lǐng)域［8-10］。材料科學(xué)和制造工藝的迅猛發(fā)展為這種設(shè)計(jì)方法的實(shí)現(xiàn)提供了保障，目前拓?fù)鋬?yōu)化方法已達(dá)到實(shí)用階段，具有完整的設(shè)計(jì)體系。

2 拓?fù)鋬?yōu)化分類

拓?fù)鋬?yōu)化是一種在初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知條件下，尋找材料空間最佳傳力路徑，設(shè)計(jì)滿足約束條件的最優(yōu)材料布置形式和結(jié)構(gòu)輕量化的優(yōu)化方法。拓?fù)鋬?yōu)化按照研究對(duì)象的不同，可分為離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化與連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化兩類，筆者研究的飛機(jī)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)多為連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。筆者重點(diǎn)對(duì)比研究目前在飛機(jī)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用的幾類較常見(jiàn)的方法。

3 飛機(jī)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化主要方法

現(xiàn)如今，連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已建立了多準(zhǔn)則、多學(xué)科和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本架構(gòu)，并在飛機(jī)實(shí)際結(jié)構(gòu)減重設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用［11］。

目前常用的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法、變密度拓?fù)鋬?yōu)化法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法、變厚度拓?fù)鋬?yōu)化法、獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化法、水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法［12］。

3.1 均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法

1988年，均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法作為第一種系統(tǒng)的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法被發(fā)表，意味著連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法由理論研究轉(zhuǎn)為實(shí)踐應(yīng)用。均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法借助微結(jié)構(gòu)的思想，把較易于理解的尺寸優(yōu)化概念用于拓?fù)鋬?yōu)化中，即把難度較大的拓?fù)鋬?yōu)化求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為難度較小的尺寸優(yōu)化求解問(wèn)題。因?yàn)樵诔叽鐑?yōu)化中已知靈敏度，設(shè)計(jì)修改就非常便捷了，可以在考慮極少影響因素的情況下直接對(duì)有限元模型作出對(duì)應(yīng)修改。當(dāng)用參數(shù)方程定義結(jié)構(gòu)形狀時(shí)，計(jì)算靈敏度與形狀靈敏度的關(guān)系可以等價(jià)為孔洞尺寸與微小實(shí)體結(jié)構(gòu)體積的關(guān)系。均勻化拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中：a、b為微小孔洞邊長(zhǎng)；l為微小孔洞最大孔洞尺寸；θ為微小孔洞角度；Ω為設(shè)計(jì)區(qū)域；C（X）為結(jié)構(gòu)整體柔度；F結(jié)構(gòu)載荷向量；U為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移向量；Vi為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后的體積；Vmax為保留結(jié)構(gòu)最大體積。

3.2 變密度拓?fù)鋬?yōu)化法

1993年，在均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法的基礎(chǔ)上，誕生了變密度拓?fù)鋬?yōu)化法。變密度拓?fù)鋬?yōu)化法又稱偽密度拓?fù)鋬?yōu)化法，偽密度的含義是，假設(shè)構(gòu)成結(jié)構(gòu)的材料密度與材料的某一個(gè)或幾個(gè)物理參數(shù)存在函數(shù)關(guān)系，材料的偽密度可在區(qū)間［0，1］之間取值［13］。當(dāng)拓?fù)鋬?yōu)化模型的偽密度值在［0，1］之間任意連續(xù)取值時(shí)，若單元處為空孔，則求解后單元的偽密度為0。若單元處為實(shí)體，則求解后單元的偽密度為1。若偽密度在0.5附近，則引入冪指數(shù)懲罰項(xiàng)對(duì)中間值進(jìn)行懲罰，使其更好地偏向0或1端［14］。變密度拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中：xi為第i個(gè)設(shè)計(jì)變量；K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；V0為結(jié)構(gòu)的初始體積；f為體積分?jǐn)?shù)；xmin為設(shè)計(jì)變量所能取得的最小值；xmax為設(shè)計(jì)變量所能取得的最大值。

3.3 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法

1993年提出的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法，其原理為逐步刪除無(wú)效與低效率材料來(lái)達(dá)到拓?fù)鋬?yōu)化的目的［15］。通常，應(yīng)用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法時(shí)去除材料可采用兩種方法，一種是對(duì)應(yīng)力、應(yīng)變能量密度函數(shù)的彈性模量做調(diào)整，另一種是對(duì)低應(yīng)力、低應(yīng)變能量密度的材料空間做刪減。雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法是在漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法的基礎(chǔ)上得來(lái)的，這一方法在刪除低效材料時(shí)，采用移除低靈敏度實(shí)體單元和增加高靈敏度空單元的方法，實(shí)現(xiàn)高應(yīng)力區(qū)域周圍材料的增減［16］。這一方法以簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)檠芯科瘘c(diǎn)，以應(yīng)力為約束條件，以結(jié)構(gòu)最小質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，可以大大減化有限元問(wèn)題分析過(guò)程，并大幅提高計(jì)算效率。漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中：M為總質(zhì)量；mi為第i個(gè)單元的質(zhì)量；σmax為單元最大應(yīng)力；［σ］為許用應(yīng)力。

3.4 變厚度拓?fù)鋬?yōu)化法

1994年，變厚度拓?fù)鋬?yōu)化法首次提出，并應(yīng)用于薄殼結(jié)構(gòu)分析的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。顧名思義，變厚度拓?fù)鋬?yōu)化法中的優(yōu)化變量即為單元厚度，其基本思想為若單元厚度是均勻不變的，可以把復(fù)雜連續(xù)的拓?fù)鋬?yōu)化變量問(wèn)題簡(jiǎn)化為厚度大小問(wèn)題。拓?fù)鋬?yōu)化后，可以得到帶有空孔且厚度均勻的平面薄板或平面殼體結(jié)構(gòu)，使用單元厚度閾值進(jìn)行限定，單元厚度將朝著實(shí)體或者空孔進(jìn)化，最終完成結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。變厚度拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中：hi為第i個(gè)單元的厚度；V為結(jié)構(gòu)體積；Si為第i個(gè)單元的面積；hmax為單元厚度所能取得的最大值。

3.5 獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化法

獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化法是在1996年提出的，它摒棄了常用的以結(jié)構(gòu)單元尺寸、面積、厚度和密度等單元特性為設(shè)計(jì)變量的思想，創(chuàng)新引入變量參數(shù)概念來(lái)表示單元實(shí)體與空心，并且這一變量參數(shù)與單元特征無(wú)關(guān)。

建立獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化模型，需要用到階躍函數(shù)、磨光函數(shù)、跨欄函數(shù)、過(guò)濾函數(shù)，用于實(shí)現(xiàn)在［0，1］區(qū)間上的離散-連續(xù)/求解-離散過(guò)程。

獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化法從分布在［0，1］上的由離散變量組成的階躍函數(shù)開(kāi)始優(yōu)化，取磨光函數(shù)逼近階躍函數(shù)。因?yàn)槟ス夂瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，所以采取磨光函數(shù)可以盡可能逼近0或1的拓?fù)渥兞刻匦?，可使階躍函數(shù)連續(xù)化，完成離散-連續(xù)的過(guò)程。

選擇相匹配的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，依據(jù)待求問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型與某一閾值的關(guān)系，對(duì)連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

定義階躍函數(shù)的逆映射為跨欄函數(shù)，磨光函數(shù)的逆映射為過(guò)濾函數(shù)，可將映射在［0，1］區(qū)間上的連續(xù)變量的優(yōu)化結(jié)果反映至離散的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量，完成連續(xù)-離散的過(guò)程。

以結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，以應(yīng)力、頻率、位移等為約束條件，獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化模型可表示為：

式中：ti為表征第i個(gè)單元有無(wú)的拓?fù)渥兞?；W為總質(zhì)量，wi為第 i個(gè)單元的質(zhì)量； gj（t）為位移、應(yīng)力、頻率等參數(shù)的約束方程；tmin為變量所能取得的最小值。

3.6 水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法

水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法是常見(jiàn)的數(shù)值優(yōu)化方法之一。在2000年，水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法作為處理等應(yīng)力結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種有效方法，引入結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中，并且逐步改進(jìn)應(yīng)用至高邊界分辨率剛度結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化求解問(wèn)題領(lǐng)域。水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法把二維或三維結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)取三維或四維的水平集函數(shù)，用零水平集來(lái)表示，這樣結(jié)構(gòu)在邊界應(yīng)力大處向外擴(kuò)張，即增加材料，在應(yīng)力小處向內(nèi)收縮，即刪除材料，這一過(guò)程可由水平集函數(shù)的變化求解直觀反映。水平集函數(shù)φ＝φ（x，t）可表示為：

式中：S為設(shè)計(jì)區(qū)域幾何邊界，即零等值線或面；D為優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)的改變構(gòu)型。

以水平集函數(shù)φ（x）為設(shè)計(jì)變量，以整體柔度為目標(biāo)函數(shù)，水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化模型可表示為：

式中：C（u）為水平集設(shè)計(jì)區(qū)域的結(jié)構(gòu)整體柔度；F（u）為結(jié)構(gòu)受力；Eijkl為不同材料的楊氏模量；εij、εkl為不同材料的應(yīng)變張量；p為體積力；τ為邊界載荷；u為位移；u0為初始位移；v為虛位移。

4 拓?fù)鋬?yōu)化方法特點(diǎn)

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，工程師依靠自身經(jīng)驗(yàn)或借鑒原有型號(hào)飛機(jī)結(jié)構(gòu)，初步設(shè)定每個(gè)元件尺寸大小和位置分布，再通過(guò)模擬試驗(yàn)收集數(shù)據(jù)，計(jì)算校核設(shè)計(jì)方案的可行性，這種方法往往需要大量煩瑣工作才能達(dá)到設(shè)計(jì)要求。因此，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程一方面會(huì)更多地注重結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和壽命等安全性因素，造成減重效果并不理想；另一方面過(guò)多依賴工程師個(gè)人主觀經(jīng)驗(yàn)，會(huì)造成一定程度的人力與財(cái)物浪費(fèi)，拖延研發(fā)周期，同時(shí)缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)準(zhǔn)則和依據(jù)［17］。

飛機(jī)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法可以較好解決以上問(wèn)題，以基本力學(xué)理論和有限元原理建立數(shù)學(xué)模型，借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)理論與計(jì)算輔助制造軟件完成對(duì)設(shè)計(jì)要求的設(shè)定、運(yùn)算和分析布置，為新型飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)定型和已定型飛機(jī)結(jié)構(gòu)減重優(yōu)化提供精確、規(guī)范、有利用價(jià)值的設(shè)計(jì)參考方案。

均勻化拓?fù)鋬?yōu)化法通過(guò)尺寸的變化來(lái)達(dá)成結(jié)構(gòu)體的增減，最終完成拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程。這一方法為拓?fù)鋬?yōu)化的經(jīng)典方法，原理成熟，常用于較好地處理病態(tài)材料分配問(wèn)題。

變密度拓?fù)鋬?yōu)化法通過(guò)引入偽密度概念，在假設(shè)材料密度可變的條件下探究密度與物理屬性間的非線性關(guān)系，并以此建模［18］。常用的插值模型有基于人工材料模擬密度基礎(chǔ)提出的以正交各向同性材料指數(shù)為懲罰函數(shù)的各向同性材料懲罰模型，以及插值函數(shù)以有理函數(shù)形式建立的材料屬性合理近似模型兩種，實(shí)際應(yīng)用中以各向同性材料懲罰模型較多［19］。

漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法的核心思想是滿應(yīng)力準(zhǔn)則，假設(shè)結(jié)構(gòu)中各部分的應(yīng)力大小均完全相等且接近安全極限。滿應(yīng)力準(zhǔn)則可以保證在拓?fù)鋬?yōu)化迭代中，結(jié)構(gòu)始終保持良好的力學(xué)性能，因此在工程實(shí)踐中研究與應(yīng)用廣泛。

變厚度拓?fù)鋬?yōu)化法以厚度為設(shè)計(jì)變量，數(shù)學(xué)模型較為簡(jiǎn)單且易求解，處理二維平面的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題非常方便。這一方法針對(duì)的主要是平面彈性體、薄板和殼體等二維結(jié)構(gòu)，對(duì)三維實(shí)體結(jié)構(gòu)不適用。

獨(dú)立連續(xù)映射拓?fù)鋬?yōu)化法使離散變量經(jīng)過(guò)多次映射運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求連續(xù)變量問(wèn)題。這一方法得到的模型連續(xù)光滑，求解速度和效率均顯著提高，但因?yàn)橛成浞椒ǖ那蠼鈹?shù)值不穩(wěn)定，在求解邊界處較易形成鋸齒狀、棋盤格現(xiàn)象。

水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法能較好地滿足連續(xù)體優(yōu)化的需求，但局限性也很明顯，初始值依賴性強(qiáng)，每迭代一次需重新計(jì)算水平集函數(shù)，且在二維問(wèn)題求解時(shí)不能生成孔，邊界優(yōu)化收斂速度遠(yuǎn)慢于其它優(yōu)化方法，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。水平集函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化法被引入拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域較晚，是一種較新型的優(yōu)化方法，但受上述原因影響，這一方法目前在工程實(shí)踐中應(yīng)用較少。

拓?fù)鋬?yōu)化方法求解時(shí)易發(fā)生四類影響數(shù)值計(jì)算結(jié)果的問(wèn)題：棋盤格、多孔材料、網(wǎng)格依賴、局部極值。當(dāng)出現(xiàn)棋盤格和多孔材料現(xiàn)象時(shí)，對(duì)可制造性影響較大。當(dāng)出現(xiàn)網(wǎng)格依賴現(xiàn)象時(shí)，對(duì)可靠性影響較大。局部極值問(wèn)題則會(huì)引起無(wú)全局最優(yōu)解或無(wú)工程可行解［20］。棋盤格和網(wǎng)格依賴現(xiàn)象總是同時(shí)出現(xiàn)、同時(shí)消失。上述拓?fù)鋬?yōu)化方法各有利弊，表1為拓?fù)鋬?yōu)化方法的對(duì)比。

5 總結(jié)

介紹了拓?fù)鋬?yōu)化的主要方法和優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)了拓?fù)鋬?yōu)化模型。針對(duì)各方法的應(yīng)用范圍和特點(diǎn)加以歸納整理。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在解決工程實(shí)際問(wèn)題中是常用的設(shè)計(jì)方法，使用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法參與飛機(jī)的各個(gè)結(jié)構(gòu)件乃至整個(gè)飛機(jī)的結(jié)構(gòu)布局設(shè)計(jì)，對(duì)減輕飛機(jī)質(zhì)量、降低制造成本、節(jié)省材料、減少環(huán)境和噪聲污染等都有很大作用。

表1 拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)比