鄒祥云

(廣東省深圳大學師范學院附屬中學 518060)

矢量的求解不僅要考慮其大小，還要考慮其方向，高中物理中涵蓋的大量的物理量都是矢量，學生在求解這些矢量性的物理量時首先的方法還是結合該物理量所對應的公式進行計算，往往會忽視該物理量所對應的矢量性質，其實，運用矢量的合成與分解的方法求解對應的物理量是一種非常高效的方法，尤其是應用正交分解的方法研究矢量的合成，無論是動力學和電磁學中應用都非常普遍.

例如：在力學問題中，當要求某個力做功時，可以采用正交分解法

也就是兩個垂直方向的分力所做的功的代數和即為合力所做的總功.

同理，在勻強電場中，當要求某兩點的電勢差時，也可以采用正交分解法

也就是兩個垂直方向的電場引起的電勢差的代數和即為總電勢差.

本文試以兩道高考題來領略正交分解法的高效性.

圖1

例1 (2017·全國卷Ⅲ第21題)一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c三點的位置如圖1所示，三點的電勢分別為10 V、17 V、26 V．下列說法正確的是( ).

A．電場強度的大小為2.5 V/cm

B．坐標原點處的電勢為1 V

C．電子在a點的電勢能比在b點的低7 eV

D．電子從b點運動到c點，電場力做功為9 eV

分析勻強電場中電場強度和電勢差的關系，電勢與電勢能是高考的高頻考點，但考點在考題的呈現比較隱晦，電場線的方向和電場強度的大小未知，解決這類問題時學生的通常做法是一般是借助已知點的電勢的數據分析，再畫出最低點電勢和最高點電勢之間的連線，作出n等分的輔助線，然后根據幾何關系找到已知的等勢點，畫出等勢線，并根據幾何知識畫出題中所求點的等勢線，最后得出所求點的電勢.最后再根據等勢面確定電場方向，等勢面的電勢差與其間距的比值確定電場強度.常規(guī)解法如下：

因為Oacb是矩形，所以有U0a=Ucb,解得坐標原點O處的電勢為1V，故B正確.a點電勢比b點電勢低7v，電子帶負電，所以電子在a點的電勢能比在b點高7eV，b點電勢比c點電勢低9V,電子從b點運動到O點，電場力做功為9 eV，故D正確.

圖2

在ac間找一點d使其電勢與b點相同，連接bd，如圖2所示，由幾何關系有，在勻強電場中同一條不垂直于電場方向的直線上，兩點間的電勢差與該兩點間的電勢差成正比.

求解電場強度時首先是要判斷等勢面，這樣的判斷方法比常規(guī)程序較繁瑣，判斷起來也比較麻煩，最關鍵的是找到等勢面后計算電場強度也很容易出錯.在這里提出一種新的解法把電場強度正交分解，具體如下：

X方向上：EXXac=Uac

y方向上：Eyybc=Ubc

可得兩方向上場強大小EX=2 V/m；方向沿X負方向.

Ey=1.5 V/m；方向沿Y負方向

根據幾何關系，可得合場強方向與X軸夾角為370斜向下.

在Y軸方向上，oa=bc，Uoa=Ubc，可得φo=1V

與上述方法所得結果相同，但過程簡單，計算方便.

例2 (2012年安徽高考第18題)如圖3所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0V，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為

圖3

分析此題的考法和考點和上題如出一轍，可見勻強電場中電場強度和電勢差的關系，電勢與電勢能這一考點的重要性，但是作為單項選擇題，采用常規(guī)解法會降低做題速度，而采用本文提到的正交分解法，會很快得出答案.解法如下：

X方向上：EXXOA=UOA

y方向上：EyyOB=UOB

Ey=100 V/m；方向沿Y負方向

根據幾何關系，可得合場強方向與X軸夾角為60°斜向下,可得A為正確答案.

當然，上述問題中給定的物理情境已經使得電場中的各點置于坐標系中，其實在沒有給定坐標系的情況下，可以自行建立坐標系，可以借鑒動力學的正交分解的思想，常常選擇水平方向為X軸，豎直方向為Y軸，建立坐標系，再把待求的電場強度進行分解，再合成求解.從上述兩道高考題可以看出，正交分解在高考題中求解勻強電場強度體現出這種方法的高效性和靈活性，在教學中，可以對學生進行強化和拓展，遷移到勻強磁場中進行磁感應強度的求解.