曹倫 耿滔

摘要：以徑向偏振圓對(duì)稱Airy光束為例，基于Rayleigh Sommerfeld矢量衍射理論，探討了矢量圓對(duì)稱Airy光束的傳輸特性。隨著光束波長(zhǎng)增大其自聚焦焦距減小，光束等效數(shù)值孔徑增大。與傍軸理論計(jì)算結(jié)果比較后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)刃?shù)值孔徑大于0.09時(shí)，傍軸理論不再適用，因?yàn)榇藭r(shí)傍軸理論低估了光波的衍射效應(yīng)和矢量性。

關(guān)鍵詞：圓對(duì)稱艾里光束； 自聚焦； 徑向偏振

中圖分類號(hào)： O 436.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005 5630.2018.03.009

Abstract： In this paper，the vector propagation dynamics of the radially circular Airy beams have been studied based on Rayleigh Sommerfeld integration.With the increase of the wavelength the focal length of self focusing will decrease and the equivalent numerical aperture will increase.It is found that the paraxial theory is valid when the equivalent numerical aperture is less than 0 . 09 by comparing with the calculation results of Rayleigh Sommerfeld integration.The paraxial theory under estimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，paraxial theory can t be used for tightly focused systems.

Keywords：circular Airy beams； self focusing； radial polarization

引 言

圓對(duì)稱Airy光束（circular Airy beams，CAB）因在傳輸過程中有自加速、無衍射、自修復(fù)的特性[1]，使其在生物醫(yī)學(xué)、光學(xué)微操縱、表面等離子等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。相比于高斯光束等非無衍射光束， 圓對(duì)稱Airy光束的無衍射特性是指其在傳輸過程中一直保持較低能量并在焦點(diǎn)處能量突然增加。自修復(fù)特性是指即使在部分光束被遮擋的情況下，圓對(duì)稱Airy光束在傳播一段距離后還會(huì)恢復(fù)原有的光場(chǎng)分布。圓對(duì)稱Airy光束的自加速和軌道自彎曲特性可以躲避直線傳輸過程中的障礙物，巧妙地利用和改造Airy光束的自加速特性，還可以構(gòu)造出新型光束，例如具有復(fù)雜軌道的光束。

在過去的幾年里，人們對(duì)圓對(duì)稱Airy光束已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究，如通過遮擋Airy光束主光瓣[2]，加載光學(xué)渦旋[3]和對(duì)Airy光束進(jìn)行調(diào)制[4]等方法來提高Airy光束自聚焦特性，探索Airy光束對(duì)微粒的輻射力影響[5]以及如何實(shí)驗(yàn)獲得Airy光束等等。

然而到目前為止，絕大部分的研究都是使用傍軸理論來研究光束的傳輸特性，有關(guān)矢量理論的研究少有報(bào)道。因此，本文基于Rayleigh Sommerfeld（R S）積分的矢量衍射理論來探討圓對(duì)稱Airy光束自聚焦的矢量傳輸特性。因徑向偏振光最適合產(chǎn)生超分辨光斑，本文以徑向偏振光為例進(jìn)行研究。

由于圓對(duì)稱Airy光束的自聚焦性質(zhì)會(huì)受到初始光束尺寸的限制，因此，在保持初始光束尺寸不變的情況下，通過改變光束波長(zhǎng)來改變其等效數(shù)值孔徑，研究自聚焦情況下傍軸理論和R S矢量衍射理論的適用范圍。

假設(shè)入射光為氦氖激光，波長(zhǎng)λ為632.8 nm，光束的尺寸為：r0=1 mm，w=0.08，α=0.1。根據(jù)計(jì)算得到光束束寬為1.307 2 mm，此時(shí)傍軸理論和R S矢量衍射理論計(jì)算出的焦距f都為462.462 5 mm，NA約為0.002 8。

圖1給出了當(dāng)NA為0.002 8時(shí)，兩種方法計(jì)算的z軸的總光強(qiáng)分布，圖2給出了圖1中虛線對(duì)應(yīng)位置x軸總光強(qiáng)分布，其中Im/I0表示出射光束最大光強(qiáng)與初始光束最大光強(qiáng)的比值。從圖中可以看出：由于偏振奇點(diǎn)的存在，徑向偏振圓對(duì)稱Airy光束在焦點(diǎn)處為暗焦斑；在等效數(shù)值孔徑特別小的情況下兩種理論計(jì)算結(jié)果吻合得非常好。因此在等效數(shù)值孔徑較小的情況下兩種理論都適用。

我們將波長(zhǎng)更改為0.02 mm，初始光束尺寸不變。此時(shí)兩種理論計(jì)算出的焦距都為14.464 5 mm，等效數(shù)值孔徑NA約為0.09。此時(shí)焦點(diǎn)處的縱向分量占總光強(qiáng)的比值相較于NA為0.002 8時(shí)已經(jīng)有所增大。

圖3給出了等效數(shù)值孔徑為0.09時(shí)，兩種理論沿著z軸和x軸的總光強(qiáng)分布，圖4給出了焦點(diǎn)處x軸的徑向分量、縱向分量光強(qiáng)分布（已歸一化處理）。從圖中我們可以看出：隨著等效數(shù)值孔徑增大，縱向分量光強(qiáng)占總光強(qiáng)比例增加，此時(shí)兩種理論開始出現(xiàn)差異；雖然傍軸理論和R S矢量衍射理論計(jì)算結(jié)果仍然都為暗焦斑，但是R S矢量衍射理論計(jì)算出最大光強(qiáng)要比傍軸理論大一些。由此可見，在NA為0.09時(shí)，傍軸理論就開始表現(xiàn)出對(duì)縱向分量地位的估計(jì)不足。

圖5和圖6給出了當(dāng)λ等于0.1 mm時(shí)的計(jì)算結(jié)果，此時(shí)NA約為0.47，等效數(shù)值孔徑近一步增大后，縱向分量繼續(xù)增大。比較兩種理論的計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)傍軸理論計(jì)算出的自聚焦焦距為2.772 8 mm，R S矢量衍射理論計(jì)算出的自聚焦焦距為2.912 9 mm。傍軸理論計(jì)算出的光場(chǎng)仍然為暗焦斑，但是R S矢量衍射理論計(jì)算出的光場(chǎng)已經(jīng)不再是暗焦斑，此時(shí)聚焦光束的縱向分量最大值已經(jīng)遠(yuǎn)大于徑向分量最大值。

通過上述的比較可以發(fā)現(xiàn)，傍軸理論和R S矢量衍射理論在等效數(shù)值孔徑為0.09時(shí)開始出現(xiàn)差異，并且隨著等效數(shù)值孔徑增大，這兩種理論的差異越來越大。究其原因是因?yàn)榘S理論在推導(dǎo)過程中采用傍軸近似，忽略了光束傳輸過程中的矢量特性。在等效數(shù)值孔徑非常小的情況下，聚焦光場(chǎng)的縱向分量非常小可以忽略，但是隨著等效數(shù)值孔徑逐漸增大，聚焦光場(chǎng)的縱向分量占總光強(qiáng)比例增加，縱向分量不可再忽略，傍軸理論就不再適用。同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)在初始光束尺寸不變的情況下，聚焦光束徑向分量形成的暗斑尺寸也不會(huì)發(fā)生變化。

3 結(jié) 論

本文通過類比定義了Airy光束的等效數(shù)值孔徑，并以此來表征其聚焦?fàn)顟B(tài)。經(jīng)對(duì)比R S矢量衍射理論與傍軸理論，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)刃?shù)值孔徑小于0.09時(shí)兩種理論都可以用于研究矢量原對(duì)稱Airy光束的傳輸特性；當(dāng)?shù)刃?shù)值孔徑增大后，聚焦光場(chǎng)的縱向分量占總光強(qiáng)比例增加，縱向分量不可忽略，此時(shí)傍軸理論不再適用。因此，在探討Airy光束自聚焦矢量特性時(shí)，我們可以采用R S矢量衍射理論。

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（編輯：劉鐵英）