肖鴻民 楊曉丹 馬志娥

摘要基于經(jīng)典的雙線性隨機LeeCarter模型，采用經(jīng)濟學的協(xié)整理論，對中國大陸男性人口死亡率進行預測，克服了ARIMA模型預測的局限性.在隨機利率和LeeCarter模型的基礎上度量退休年金和生命年金的長壽風險，并為此提出應對策略，引入由消費者承擔系統(tǒng)長壽風險、年金池承擔個體長壽風險的群體自助養(yǎng)老年金（GSA），然后對其進行實證分析發(fā)現(xiàn)，與普通年金相比，GSA模型分擔模式擁有較高的給付額.

關鍵詞金融學；群體自助養(yǎng)老年金；協(xié)整理論；Leecarter模型；長壽風險

中圖分類號F840.67， D213.9文獻標識碼A

The Study on Group SelfPooling

and Annuitization about LeeCarter Model

Hongmin Xiao，Xiaodan Yang，Zhie Ma

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou， Gansu730070， China）

AbstractThe cointegration theory of economics combined with the classical bilinear random LeeCarter model was used to fit and forecast the male population mortality in Mainland China， and solved the limitations of the ARIMA model. Meanwhile， the two kinds of longevity risk about retirement pension and life annuity were measured， which based on the stochastic interest rate and LeeCarter model. Then the model of the Group Self-pooling Annuitization （GSA） in which the system longevity risk was borne by consumers， and the individual longevity risk was borne by the annuity pool. The result showed that the model of GSA had a higher payment compare with the ordinary pension.

Key wordsfinance；LeeCarter model； cointegration theory； longevity risk； group selfannuitization

1引言

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，生活環(huán)境的改善，醫(yī)療水平的提高以及人們健康意識的普遍增強，世界各國的人口死亡率總體呈現(xiàn)下降趨勢，人口老齡化問題日趨嚴重.中國已經(jīng)步入人口老齡化社會，由此帶來的國家社會保障體系的資金短缺、企業(yè)年金發(fā)展不成熟和個人面臨的退休收入不足等一系列問題，將成為中國未來主要的一部分社會風險.

為提高死亡率模型預測的可靠性，學者們不斷進行探索和研究.國際上最具影響的模型是由Lee和Carter（1992） [1]提出的包含死亡率未來變動趨勢的LeeCarter模型，由于LeeCarter模型簡單易懂且相對穩(wěn)健，之后的許多研究建立在此模型之上.Piet de Jong等（2016）[2]利用LeeCarter模型同時模擬女性和男性的死亡率，得出此模型參數(shù)信息量大、易于解釋等特點.Laurent Callot（2016）[3]建議將確定性和隨機性時間序列變量分開以提高擬合和預測性能.Yang等（2013）[4]基于LeeCarter模型建立了多個國家死亡率連貫模型來對死亡率進行預測，通過協(xié)整分析得到美國和英國人口死亡率的相關性.張奕等（2015）[5]通過協(xié)整分析發(fā)現(xiàn)日本男性和中國男性人口死亡率具有長期的均衡關系，并結合極值理論對中國死亡率進行預測.吳曉坤等（2016）[6]將LeeCarter模型中與時間相關的因子可建立時間序列模型并進行外推，進而實現(xiàn)死亡率的預測.曾燕等（2016）[7]結合Bootstrap方法與LeeCarter模型對中國人口死亡率進行擬合與預測，較好地解決了傳統(tǒng)模型的不足.

然而隨著老年人口的增加以及壽命的不斷延長，長壽風險對中國社會保障體系影響愈發(fā)顯著，這就需要一種合適的方法來實現(xiàn)其有效轉移.John Piggott等（2005）[8]提出由消費者承擔系統(tǒng)長壽風險，而年金池來承擔個體長壽風險的群體自助年金化（GroupSelfAnnuitisation）的概念，即GSA模型，但是他們并未對GSA模型的特點進行很好的概括，且其推導出的給付遞推模型不夠完善.Jonathan Barry Forman（2014）[9]從企業(yè)人員規(guī)模的角度研究了GSA模型的適用范圍.

目前針對中國死亡數(shù)據(jù)較少等問題，將經(jīng)濟學的協(xié)整理論引入死亡率模型，利用中國大陸和中國臺灣男性人口死亡率數(shù)據(jù)，采用LeeCarter模型奇異值分解法（SVD）對中國大陸男性人口死亡率模型的參數(shù)進行估計，彌補了中國死亡率數(shù)據(jù)缺失造成的誤差.隨后根據(jù)歐盟SolvencyⅡ框架為理論基礎， 度量退休年金和生命年金的長壽風險. 最后采用蒙特卡洛模擬分析GSA養(yǎng)老年金的給付模型并得到每年給付額的分布.

2模型介紹

2.1LeeCarter模型

假設mx（t），（t=t1，t2，…，tn）服從對數(shù)雙線性模型，即

ln mx（t）= αx+βxkt+εx，t， （1）

其中αx是年齡因子，反映了死亡率隨年齡x的變化；βx表示年齡x對死亡率變動的敏感程度；kt是時間因子，反映了死亡率隨日歷年變動的趨勢；εx，t表示x在t年中心死亡率的殘差項，且εx，t ～N（0，σ2）.研究表明，若（αx，βx，kt）是滿足式（1）的一組解，則對于任意常數(shù)c，變換（αx，βx/c，ckt）或（αx+cβx，βx，kt-c）同樣也能滿足方程.為此，在式（1）的基礎上附加下述條件以獲得唯一確定的參數(shù)估計值，∑xβx=1，∑xkt=0.由最小二乘法可得

x=1tn-t1+1∑tnt=t1lnx（t）.（2）

通過對矩陣ln mx（t） - αx進行奇異值分解得到x和t的估計值.按照時間序列t的變化采用ARIMA模型對t進行擬合，然后外推出預測年份的t.最后利用t，xx得出預測年度的（t），即

lnx（t）=x+xt.（3）

2.2協(xié)整關系

利用LeeCarter模型對死亡率進行預測，多數(shù)是對死亡時間因子kt建立ARIMA模型，這種方法要求有足夠的歷史數(shù)據(jù)，并要求死亡時間因子kt是平穩(wěn)時間序列，但實際操作發(fā)現(xiàn)，LeeCarter模型中的kt通常為非平穩(wěn)時間序列，因此該預測方法在數(shù)據(jù)缺失的中國往往有較大偏差.Yang等（2013）發(fā)現(xiàn)雖然某個國家的kt不是平穩(wěn)時間序列，但多個國家的kt之間可能存在協(xié)整關系.Engle等人提出了協(xié)整（Co-integration）的概念，他們發(fā)現(xiàn)有些時間序列雖然自身非平穩(wěn)，但其線性組合卻是平穩(wěn)的或是較低階單整的.

驗證兩個時間序列kt1和kt2是否協(xié)整，Engle和Granger（1987）[10]提出兩步檢驗法（EG檢驗）.

第一步：經(jīng)ADF和PP檢驗，若時間序列kt1和kt2都是同階單整的，就可以用一個變量對另一個變量做回歸，即kt1=a+bkt2+et ，則模型殘差et的估計值為1=kt1--kt2，，是a，b的估計值.

第二步：檢驗t是否平穩(wěn)，就可以判斷時間序列kt1和kt2是否存在協(xié)整關系.若t～I（0），即t為平穩(wěn)序列，則kt1和kt2具有協(xié)整關系，kt1=a+bkt2+et為協(xié)整回歸方程；否則kt1和kt2沒有協(xié)整關系.

2.3長壽風險度量方法

由于人均預期壽命不斷延長，導致長壽風險日益嚴重，各國政府和保險公司都在積極研究各種管理長壽風險的方法.根據(jù)Liquidity Coverage Ratio（簡稱LCR）長壽風險度量的相對指標，其表達式為：

LCR=Mx，w-xBx，w-x-1×100%，

其中，Mx，w-x表示預測期死亡率對應的退休年金與生命年金精算現(xiàn)值，Bx，w-x表示基期死亡率對應的退休年金與生命年金精算現(xiàn)值.退休年金精算現(xiàn)值表示退休后生存者每年繳納單位1折現(xiàn)到現(xiàn)在的期望值，生命年年金精算現(xiàn)值退休前繳費者每年繳納單位1折現(xiàn)到現(xiàn)在的期望值.該度量方法度量的是死亡率降低導致保險公司償付能力不足的長壽風險.

2.4互助養(yǎng)老年金的給付模型推導

死亡率逐年下降導致人口預期壽命不斷增加，這給中國養(yǎng)老金體系帶來了巨大壓力，普通的養(yǎng)老年金已經(jīng)無法支付長壽風險帶來的巨大開支.John Piggott等人推導了在精算公平原則下每個調(diào)整因子的計算方法，得到一般情況下的遞推模型：

kxB*i，t=k-1xBA*i，t-1×F*t∑k≤1∑x1px+k-1∑AtkxF*i，t×x+t，t-1x+t，t×1+Rt1+R=k-1xB*i，t-1×MEAt×CEAt×IRAt

其中，MEAt稱為死亡率調(diào)節(jié)因子，CEAt稱為單獨變化的調(diào)節(jié)因子，IRAt稱為利率調(diào)節(jié)因子.kxB*i，t表示x歲進入互助養(yǎng)老計劃，到第t年已經(jīng)加入互助養(yǎng)老年金計劃k年的第i個成員領取的養(yǎng)老金金額； px表示x～x+1歲預期的存活概率；R表示初始時刻設定的投資收益率； Rt表示t～t+1時刻實際的投資收益率；F*t表示t時刻所有存活人員年金池的資金總額；kxFi，t表示第i個成員t時刻尚未收到t-1～t時刻之間死亡的人資金分配時的資金總額；kxF*i，t表示第i個成員t時刻在年金池中的余額； At表示t時刻存活的人數(shù)，x+t表示第t年x歲的個體每年支付的普通終身年金的精算現(xiàn)值.

假定預期投資收益率與實際投資收益率相等，相當于利息力：

δ=ln11+R=0.04879064

領取的養(yǎng)老年金是根據(jù)普通終身年金的預期現(xiàn)值因子計算的平均金額：

kxB*i，t=kx*i，tx+t.（4）

根據(jù)死亡率信用，kxB*i，t表示第i個成員t時刻收到t-1～t時刻之間死亡的人資金分配時的資金總額.

John Piggott等人認為MEAt， CEAt是分開的，死亡率調(diào)整因子允許偏離GSA基金預期死亡人數(shù)，而改變的期望調(diào)整對潛在死亡率會產(chǎn)生永久性沖擊.這兩個影響很難區(qū)分，例如GSA計劃中出現(xiàn)額外的死亡，可能是遠離預期的隨機偏差，也可能是潛在死亡率永久性增加的結果.這兩個調(diào)節(jié)因素被Chao Qiao等（2013）[11]納入單一調(diào)整因子，對其推導過程改進并得到更貼近實際情況的GSA給付遞推模型.隨機動態(tài)模型預測的死亡率用μx，t表示，則x歲個體在第t年存活了s年的概率為：

spx，t=exp-∫x+sxμz，tdz.（5）

在第t年x歲的個體每年支付的普通終身年金的精算現(xiàn)值是x+t=∑∞s=0e-δsspx，t.x歲的第i個成員在t=0時刻加入GSA計劃k年，領取的養(yǎng)老年金為kxB*i，t=kx*i，tx+t，k.

假設年金池不是封閉的，在任意時刻t都可能有新的參與者加入，則

B*t=∑k≤1∑x∑AtkxB*i，t，（6）

F*t=∑k≥1∑x∑Atkx*i，t.（7）

個人年金池余額和領取年金的遞推公式表示為：

kxF*i，t=（k-1x*i，t-1-k-1xB*i，t-1）eδ.（8）

對于整個年金池F*t=*t.

在連續(xù)時間內(nèi)領取的養(yǎng)老年金之間的關系由一個調(diào)整因子給出：

TEAt=F*t∑k≥1∑x1px+k-1x+t，t-1x+t，t∑AtkxF*i，t.（9）

TEAt是總調(diào)節(jié)因子.注意到TEAt不等于MEAt，它們分別為：

MEAt=F*t∑k≥1∑x1px+k-1∑AtkxF*i，t，

CEAt=x+t，t-1x+t，t.

這意味著CEAt 依賴于參與者所在的隊列.對于如何將現(xiàn)實的生存信息轉化為依賴于隊列的永久性改善因子和獨立于隊列的波動因子MEAt需要主觀的判斷.隊列的單一因子TEAt就可以避免主觀判斷的不確定性.通過整個隊列共同承擔系統(tǒng)長壽風險，如果每個隊列在領取年金和收益波動方面都得到改善，那么共享原則使得整個年金池的成員都有益.

由下式計算參與者在多個隊列中資金余額：

∑k≥1∑x∑Atkx*i，t=∑k≥1∑x∑Atkx*i，t-1x+t，t-1×TEAt×x+t，t=

∑k≥1∑x∑Atpx+k-1，t-1∑k≥1∑x∑AtksF*i，t-1px+k-1，t-1×F*t

kx*i，t-1=kxF*i，t-1px+k-1，t-1∑k≥1∑x∑AtkxF*i，t-1px+k-1，t-1×F*t.

（10）

這個表達式可以簡單地解釋為參與者繼承的金額是年金池中可用總余額的一個加權分配，權重由kxF*i，t和px+k-1，t-1共同決定.領取的養(yǎng)老年金kxB*i，t可由（6）式得出，kxF*i，t可由（7）式得出.

實證分析

3.1數(shù)據(jù)的選取和處理

鑒于中國臺灣地區(qū)與中國大陸有相同的文化傳統(tǒng)和密切的經(jīng)濟往來，使得中國臺灣地區(qū)人口死亡率數(shù)據(jù)對中國具有參考價值，所以選擇中國臺灣地區(qū)人口死亡率數(shù)據(jù)對中國大陸人口死亡率數(shù)據(jù)進行協(xié)整.中國臺灣地區(qū)人口死亡率數(shù)據(jù)源于Human Life Table Database，中國大陸人口死亡率數(shù)據(jù)源于《中國人口統(tǒng)計年鑒》和《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》.為保持數(shù)據(jù)的一致性，將中國臺灣地區(qū)原始人口死亡率數(shù)據(jù)的0歲和1～4歲合并為0～4歲，然后采取每五歲分為一組的方法，并將最高年齡組確定為90歲及以上，將死亡率數(shù)據(jù)按照年齡分為 0～4、5～9、…、84～89、90歲以上共19組，并將數(shù)據(jù)分為兩部分：1997～2012年用來擬合模型，2013～2014用來驗證模型.用R語言對上述內(nèi)容進行實證分析.

3.2中國大陸與中國臺灣地區(qū)參數(shù)比較

將1997～2012年的中國大陸和臺灣地區(qū)男性人口死亡率數(shù)據(jù)代入矩陣ln mx（t） - αx ，利用奇異值分解法得到參數(shù)αx，βx和kt的估計值，分別如圖1和圖2所示.

參數(shù)αx表示x歲對數(shù)死亡率的平均水平.由圖1可以看出αx隨年齡的增長呈現(xiàn)出先降后增的趨勢，體現(xiàn)出死亡率隨年齡變化的趨勢，并且中國臺灣地區(qū)與中國大陸男性人口分年齡的死亡率趨勢大致相同，即0～4歲死亡率平均水平較高，隨后降低，10歲時附近達到最低，之后隨年齡的增長αx也在不斷增長.

參數(shù)βx表示各年齡組對死亡率變化的敏感程度.由圖1可以看出，隨著年齡的增加，βx基本呈下降趨勢，低年齡組的βx值較高，說明其對死亡率的變化更加敏感；高年齡組的βx值趨于0，說明隨著年齡的增加，各年齡組人口對死亡率的變化不再敏感.值得注意的是，中國大陸和中國臺灣地區(qū)的βx值均出現(xiàn)了先減小后增加再減小的趨勢，這符合各年齡段對死亡率水平指數(shù)的變化敏感程度.

參數(shù)kt反映了死亡率整體水平隨時間的變化.由圖2可以看出， kt隨自然年份的增加逐年下降，這與現(xiàn)實中人口死亡率總體趨于下降的特征一致，并且中國臺灣地區(qū)與中國大陸死亡時間因子kt序列具有長期穩(wěn)定的變化趨勢，說明二者可能存在協(xié)整關系.

3.3基于協(xié)整理論的中國大陸人口死亡率預測

鑒于中國部分年份數(shù)據(jù)缺失，人口死亡率數(shù)據(jù)嚴重不足，借鑒中國臺灣地區(qū)對中國大陸人口死亡率時間序列kt協(xié)整的方法，采用LeeCarter模型結合Bell（1997）提出的另一種預測x（t）的方法，即

lnx（t）=lnx（tn）+x（t-tn）.（11）

對中國人口死亡率進行預測.

根據(jù)kt時間序列的特點和臺灣男性人口死亡時間因子kt2的估計值，利用EG兩步檢驗法進行協(xié)整檢驗，發(fā)現(xiàn)其殘差序列為平穩(wěn)序列，表明中國大陸和中國臺灣地區(qū)死亡時間因子kt1，kt2具有協(xié)整關系，從而計算出中國大陸男性人口死亡時間因子kt1的預測值，代入式（11）得到中國大陸男性人口死亡率的預測值，然后將2013～2014年的實際數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)做對比，如圖3所示.

由圖3知，與協(xié)整模型相比，ARIMA模型預測的死亡率結果偏高，尤其是對65歲以上的人口數(shù)據(jù)，而利用協(xié)整理論模型使死亡率的預測更加準確.除個別年齡組死亡率的預測值與真實值有一些差距，其他數(shù)據(jù)均與真實值擬合較好.這說明利用中國臺灣人口死亡率數(shù)據(jù)協(xié)整中國人口死亡率數(shù)據(jù)是可靠的.將死亡率繼續(xù)外推，可以得到未來15年的中國大陸男性人口死亡率數(shù)據(jù)，如圖4所示.

由圖4不難看出，在同一日歷年，隨著年齡的增加，中國大陸男性人口的死亡率逐漸遞增.自同一年齡組內(nèi)，隨著日歷年的增加，死亡率整體上呈現(xiàn)出遞減趨勢，與死亡率逐年遞減這一事實正好一致.綜上，未來人口平均預期壽命呈現(xiàn)出不斷增加的趨勢，長壽風險日益嚴重.

3.4長壽風險度量結果分析

有了較為精準的死亡率預測結果就可以對長壽風險進行量化和管理.選取LCR流動性風險指標，確保保險公司持有的可變資產(chǎn)保持在一個合理的水平，防止出現(xiàn)短期流動性危機或支付危機.如圖5所示，比較了生命年金和退休年金的長壽風險度量的相對指標.

從圖5左側可以得到，生命年金精算現(xiàn)值的長壽風險資本要求介于（-2）×10-4～5×10-4，而且隨著年齡的增加，長壽風險度量的相對指標在降低，說明生命年金計劃可以很好的抑制長壽風險.圖5右側是退休年金精算現(xiàn)值的長壽風險資本要求介于-1～1之間，由于高齡死亡率明顯降低，退休年金精算現(xiàn)值增大，保險公司給付水平上升，長壽風險有上升的趨勢.和生命年金中的長壽風險相比，退休年金的長壽風險度量的相對指標較高，不能有效的規(guī)避長壽風險.由于傳統(tǒng)的精算定價方法假定死亡率是靜態(tài)的，事實上死亡率是隨時間變化的，具有動態(tài)不確定性，要解決死亡率降低所導致的長壽風險的度量問題，需要國家統(tǒng)籌制定類似生命年金的補充年金，使中國養(yǎng)老保險制度更加完善.

3.5GSA模型實證分析

鑒于中國保險公司養(yǎng)老產(chǎn)品面臨日益嚴重的長壽風險，在LeeCarter模型預測出的男性人口死亡率的基礎上，對GSA模型在中國大陸人口數(shù)據(jù)上進行實證分析.假定初始時刻為2018年，一群年齡為65歲的男性退休人員加入GSA計劃，初始資金為10000元.利用3.3節(jié)預測的死亡率和2.3節(jié)的遞推公式，用蒙特卡洛模擬來觀察不同情況下參與者領取養(yǎng)老金的分布情況，然后選取每年領取的養(yǎng)老金金額的95%分位數(shù)、中位數(shù)和5%分位數(shù)進行分析.

圖6分析了年金池大小對未來領取養(yǎng)老金的影響，但不考慮未來預期死亡率的改善. N=1時為個人自年金化，隨著年齡的增加，領取的金額在逐年下降.這是由于N=1時，沒有來自年金池其他成員的死亡率信用.當N=10時，領取金額的95%分位數(shù)在80歲左右出現(xiàn)上升趨勢，這是由于年金池中人數(shù)較少，且一段時間內(nèi)死亡人數(shù)比例較大時，根據(jù)GSA計劃的資金分配原則，這段時間之后的存活者將會獲得較大的死亡率信用分配.當N=100和1000時，領取的養(yǎng)老金額分布情況變得比較平滑，說明年金池中的成員越多，互助養(yǎng)老年金的分布情況越穩(wěn)健.

改變假設條件，GSA計劃是開放的，比較每年有1000個65歲的新成員加入和每5年有1000個65歲新成員加入領取養(yǎng)老年金金額的分布情況.由圖7可以看出，這兩種情況下的年金分布并沒有明顯差距，只是每年有1000名成員加入的情況比每5年有1000名成員加入領取的養(yǎng)老金額波動率略小一些，年金池中成員的數(shù)量隨著時間的推移變得更加穩(wěn)定.動態(tài)的年金池可以減少老年人領取的養(yǎng)老年金金額的波動性，這是因為當較年輕的新成員加入隊列時，年金池中死亡的特異性波動將會減少.

4結論

目前中國人口老齡化來勢洶洶，導致經(jīng)營或管

理養(yǎng)老年金的政府機構、企業(yè)或保險公司財務負擔不斷加重，這使得控制長壽風險非常重要.由此基于協(xié)整理論，考慮了中國臺灣地區(qū)和中國大陸地區(qū)男性人口死亡率的長期均衡關系，克服了ARIMA模型預測的局限性，這為中國人口死亡率預測提供了新思路.利用LCR度量退休年金和生命年金長壽風險，發(fā)現(xiàn)退休年金的長壽風險日益嚴重.借鑒“唐提”（Tontion）年金理念，結合GSA模型得到養(yǎng)老年金金額的分布情況.數(shù)值分析結果表明，與普通年金相比，GSA模型將個體長壽風險與系統(tǒng)長壽風險的個體集中起來，不涉及付款擔保，也不需要用昂貴的資金來支持再保險，是類似于生命年金的退休收入，且 GSA模型的消費者分擔模式擁有較高的給付額，參與者可以根據(jù)自身的喜好更加靈活地選擇年金結構和投資方式，是一種切實可行的針對個人賬戶資金的補充養(yǎng)老年金.

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