瞿 軍，高云飛，邢志娜，王菊香

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

1982年，鄧聚龍教授基于預(yù)測控制思想的論文打開了灰色理論新世界的大門。此后，作為灰色理論基礎(chǔ)和核心的GM(1,1)模型被許多學(xué)者研究，進而衍生出大量改進型和拓展派生型[1-2]，它們因解決小樣本、貧信息和不確定性問題時的突出優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用在生活生產(chǎn)中的各個領(lǐng)域。然而，GM(1,1)模型要求建模數(shù)據(jù)序列必須是等間距的，在工程實踐應(yīng)用中往往存在大量非等間距數(shù)據(jù)。例如，原始數(shù)據(jù)缺失、剔除異常數(shù)據(jù)、測試時間不定等原因都會導(dǎo)致非等間距數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。因此，越來越多的學(xué)者從不同角度研究了非等間距GM(1,1)模型及其優(yōu)化方法[3-5]，提高了非等間距GM(1,1)模型的模型精度和適應(yīng)性，壯大了灰色模型理論體系。本文從數(shù)據(jù)變換生成方法研究、建模方法研究、背景值、初始條件和模型參數(shù)的優(yōu)化以及模型的拓展角度出發(fā)進行整理總結(jié)，并對非等間距GM(1,1)模型未來的發(fā)展提出建議。

1 數(shù)據(jù)變換生成方法的研究

對原始數(shù)據(jù)作數(shù)據(jù)變換能夠弱化數(shù)據(jù)隨機性，改善光滑性，改善模型病態(tài)性。數(shù)據(jù)變換生成方法主要有2種思路：一種是通過初值化、均值化、歸一化、區(qū)間值化和坐標平移等方法進行函數(shù)變換為新的數(shù)據(jù)序列，使數(shù)據(jù)更符合建模要求，但是目前大多數(shù)文獻未考慮控制還原誤差的問題，限制了方法的應(yīng)用。另一種是通過構(gòu)造弱化緩沖算子和強化緩沖算子[6-7]削弱外在因素影響，排除突發(fā)數(shù)據(jù)干擾造成的失真，使數(shù)據(jù)的規(guī)律更易被把握。這種方法省去了對數(shù)據(jù)的還原處理，克服了函數(shù)變換方法中還原誤差的問題，但是緩沖算子弱化或強化作用太大不能微調(diào)。

無論是函數(shù)變換還是緩沖算子都存在適應(yīng)性不強的問題：許多方法只是對特定的數(shù)據(jù)建模后大大提高了模型精度，卻對于其他數(shù)據(jù)效果一般。此外，有學(xué)者指出光滑性條件只是高精度的充分條件，數(shù)乘變換不影響模型的發(fā)展參數(shù)和精度[8]，甚至證明了函數(shù)變換反而降低了模型精度[9]，數(shù)據(jù)變換生成方法是否真的提高了模型精度的問題還有待研究。

2 建模方法的研究

非等間距GM(1,1)模型的建模方法[10]大致分為2種思路。

一是首先通過對原始非等間隔數(shù)據(jù)進行等距處理使其等間隔化，然后按照等間距數(shù)據(jù)序列進行建模，最后將數(shù)據(jù)還原。主要包括插值法[11]和生成新數(shù)列法[12]。其中，插值法的前提是事先計算出插值數(shù)據(jù)，計算復(fù)雜度較高，且要求下標序列必須為整數(shù)，在一定程度上限制了方法的應(yīng)用；生成新數(shù)列法一般假設(shè)各個時間間隔下數(shù)據(jù)序列的差值和相應(yīng)時間間隔之間為線性關(guān)系，從而導(dǎo)致該方法的適用性不強。無論是插值法還是生成新數(shù)列法得到的都是估計值，可以認為在一定程度上破壞了原始數(shù)據(jù)的內(nèi)部規(guī)律，并且建模機理未脫離GM(1,1)模型，不能稱之為真正意義上的非等間距建模[13]。

二是通過賦權(quán)處理直接利用非等間隔數(shù)據(jù)序列建模，操作簡單、計算簡便、易于實現(xiàn)。但是，當原始數(shù)據(jù)的時間間隔相差比較大時，模型精度會有所下降。此外，有學(xué)者[14]認為賦權(quán)建模方法得到的擬合函數(shù)是與模型相違背的不規(guī)則序列，并指出這種方法只是一種忽略時間間隔的巧合。

3 背景值的優(yōu)化

根據(jù)非等間距GM(1,1)模型的建模過程可知，非等間距GM(1,1)模型的模型精度與發(fā)展系數(shù)和灰色作用量的選取有關(guān)，它們又取決于原始序列和背景值的構(gòu)造，因而背景值直接影響模型的精度。

4 初始條件的優(yōu)化

傳統(tǒng)的非等間距GM(1,1)模型選取原始序列的第一個數(shù)據(jù)作為模型的初始值，不僅違背了鄧聚龍教授提出的“新信息優(yōu)先”原理，而且已有學(xué)者[19]證明這種方式不能保證整個擬合序列的誤差最小，反而還浪費了原始序列的第一點信息。現(xiàn)有的改進方法主要包括兩種：

一是以原始序列每一個數(shù)據(jù)非等加權(quán)的和作為初始值。按照相等權(quán)重[20]或者新信息優(yōu)先原理[21]分配各個分量的權(quán)重。

二是以原始序列和擬合序列的誤差平方和或者相對誤差平方和等衡量標準最小為約束條件直接求解模型白化微分方程中的時間響應(yīng)函數(shù)[22-23]。

5 模型參數(shù)估計方法的優(yōu)化

6 其他要素的優(yōu)化

1）灰導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化。傳統(tǒng)的白化灰導(dǎo)數(shù)方法中以差商代替微商，對于含有突變的序列會帶來較大的誤差，許多學(xué)者對灰導(dǎo)數(shù)進行優(yōu)化，比較流行的有向前差商和向后差商后加權(quán)平均法[27]和離散點處利用導(dǎo)數(shù)定義動態(tài)生成灰導(dǎo)數(shù)[28]等等。

2）殘差的優(yōu)化。當原始數(shù)據(jù)序列含有振蕩特征或者模型的精度始終達不到要求時，應(yīng)用最多的方法是殘差修正[29]。常用的修正手段有傅里葉變換[30]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[31]等來補償系統(tǒng)誤差，提高精度。另一種常見方法是利用非等間距GM(1,1)模型對殘差序列進行預(yù)測，再進行補償?shù)綌M合值上得到殘差修正模型。若一次修正結(jié)果仍不理想，可以考慮二次修正甚至反復(fù)迭代多次修正[32]。

7 模型拓展

1）非等間距GM(1,1)模型群。隨著非等間距GM(1,1)模型的發(fā)展，衍生了許多派生模型，稱之為模型群[33]。非等間隔 GM(1,1,tα)冪次時間項模型[34]中，合理地選擇冪指數(shù)可以適應(yīng)不同指數(shù)規(guī)律序列的建模，非等間距GM(1,1)模型是該模型冪指數(shù)為0情況下的特殊形式。然而，單單描述指數(shù)規(guī)律往往是不夠的，非等間距GM(1,1)冪模型最大的優(yōu)勢在于它通過靈活調(diào)整灰作用量的冪指數(shù)充分反映非線性特征，以適應(yīng)不同非線性曲線的擬合[35]。此外，還有非等間距無偏GM(1,1)冪模型[36]，它預(yù)測白指數(shù)規(guī)律的序列不存在預(yù)測和模擬誤差，精度高。非等間距多變量時滯模型GM(1,N|τ,r)[37]能夠針對多變量系統(tǒng)的延遲性問題進行研究。

2）非等間距GM(1,1)區(qū)間預(yù)測模型。由于灰色模型建模依賴于光滑度前提，無法識別數(shù)據(jù)序列的振蕩，而殘差修正對于大幅度振蕩的預(yù)測效果也不甚理想，因此為了解決振蕩幅度較大的非等間距小樣本序列的預(yù)測問題，區(qū)間預(yù)測思想應(yīng)運而生。楊平律等[38]通過建立原始序列的上下邊緣包絡(luò)模型，獲得灰區(qū)間確保預(yù)測值的可靠性。曾波等[39]通過包絡(luò)線將振蕩序列劃分為上界和下界，將非等間距上下界轉(zhuǎn)化為等間距建模。羅黨等[40]在此基礎(chǔ)上直接對上下界建立非等間距GM(1,1)模型得到上下包絡(luò)線和取值包絡(luò)帶以描述數(shù)據(jù)的發(fā)展邊界，拓展了非等間距GM(1,1)模型應(yīng)用范圍。

8 展望

自灰色模型問世至今，取得了許多成果和突破，已經(jīng)形成了較為成熟的理論體系，然而在非等間距GM(1,1)模型中還有一些問題需要解決和完善。

1）傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型白化微分方程與灰色微分方程不嚴格匹配，導(dǎo)致其不具有白化指數(shù)重合性，這是造成模型誤差的重要原因?，F(xiàn)今較為流行的解決方法是認為白化方程合理，通過背景值、灰導(dǎo)數(shù)優(yōu)化等方法改進灰色微分方程使二者匹配。因此，可以考慮未來將研究重點放在改進白化方程上使二者相互適應(yīng)，降低模型的預(yù)測誤差。

2）非等間距GM(1,1)模型建立與檢驗時標準不完全一致是模型不可忽視的固有缺陷，導(dǎo)致模型精度始終達不到最優(yōu)。目前比較普遍的改進方法是優(yōu)化模型參數(shù)的求解，并未從根源上解決問題，未來可以考慮研究新的建模方法或者直接利用與的平均相對（絕對）誤差絕對值最小求參數(shù)，保證二者標準的一致性。

3）非等間距GM(1,1)模型目前只適用于小樣本、一維、近指數(shù)增長趨勢的數(shù)據(jù)序列，然而工程實踐中還有許多大樣本、多維、非指數(shù)趨勢序列，能否擴大非等間距GM(1,1)模型的適用范圍是一個亟待解決的問題。

4）現(xiàn)有非等間距GM(1,1)模型的數(shù)據(jù)變換生成方法往往與要處理的數(shù)據(jù)有關(guān)，普遍性差，即對某些實例效果令人滿意，卻對其他實例效果一般。因此，一種考慮全面的、科學(xué)合理的數(shù)據(jù)變換生成方法以適用各種預(yù)測系統(tǒng)有待進一步研究和突破。

5）非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化改進方法多種多樣，然而單方面的提高是有限的。需要對模型進行綜合優(yōu)化，這包括對非等間距GM(1,1)模型多個要素優(yōu)化方法的綜合以及模型與其他優(yōu)秀智能算法的組合，成為未來研究和關(guān)注的方向。

6）非等間距GM(1,1)模型往往存在病態(tài)性問題，目前已有文獻已經(jīng)證明提高光滑度可以改善病態(tài)性，但這可能是以降低模型精度為代價的。因此，如何在保證甚至提高模型精度的前提下改善病態(tài)性對于完善模型理論體系具有重要意義。

9 結(jié)論

經(jīng)過30多年的發(fā)展，灰色模型的應(yīng)用范圍不斷拓展，理論研究也不斷深入。但同時由于灰色模型自身缺陷所帶來的問題也愈發(fā)突出，許多學(xué)者致力于突破模型的局限性，然而這些研究大部分都是針對等間距GM(1,1)模型的，對于非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化改進和拓展研究相對較少，關(guān)于非等間距GM(1,1)模型比較全面詳細的梳理總結(jié)更少。因此，本文從GM(1,1)模型的建模研究、優(yōu)化方法和模型拓展的視角進行比較詳細的描述，并提出了需要進一步研究的問題，以期為后續(xù)研究提供些許思路。