但慶文 張傳勇 劉章軍

(三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

橋梁結(jié)構(gòu)是人類社會發(fā)展的重要基礎(chǔ)設(shè)施，隨著科技進(jìn)步和建造材料的開發(fā)，橋梁結(jié)構(gòu)日益朝著大跨高墩的方向發(fā)展，越來越多的大跨高墩剛構(gòu)橋、斜拉橋以及懸索橋建成服役，這些橋梁結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下都不可避免地會產(chǎn)生非線性響應(yīng)．對大跨度橋梁隨機(jī)地震響應(yīng)分析和抗震可靠度評價是橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，而地震動時程的模擬是基于動力時程分析的橋梁結(jié)構(gòu)抗震研究所面臨的首要課題[1]．由于強(qiáng)度非平穩(wěn)地震動模型的物理意義明確、使用簡便，人們大多采用其作為地震動輸入模型[2-4]．然而，地震動的頻率非平穩(wěn)對結(jié)構(gòu)的非線性動力作用同樣重要，需要更全面真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，因此，近年來合理考慮地震動的全非平穩(wěn)特性成為地震動建模的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．曾珂等人發(fā)展了一類地震動時變模型，該模型較好的考慮了頻率非平穩(wěn)性[5]；張翠然等人在Priestley[2]演變譜理論的基礎(chǔ)上通過擬合目標(biāo)演變譜構(gòu)造了強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)地震動模型；同樣地，胡燦陽等人在此演變譜理論基礎(chǔ)上，通過引入了強(qiáng)度-頻率雙調(diào)制函數(shù)模型，建立了一類雙調(diào)制地震動過程模型[6]；劉章軍等人從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，通過構(gòu)造與現(xiàn)行水工抗震規(guī)范相結(jié)合的強(qiáng)度-頻率調(diào)制函數(shù)，建立了一類強(qiáng)度-頻率演變功率譜模型[7]，其優(yōu)點(diǎn)在于參數(shù)可以方便地由抗震規(guī)范確定，且適用于公路工程抗震規(guī)范．

本文將借鑒文獻(xiàn)[7]中構(gòu)造廣義演變功率譜的思路，結(jié)合最新的《公路工程抗震規(guī)范》(JTG B02-2013)[8]，發(fā)展一類與最新橋梁抗震規(guī)范相結(jié)合的改進(jìn)Kanai-Tajimi功率譜，同時考慮地震動的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性和頻率非平穩(wěn)特性，建立非平穩(wěn)地震動過程的強(qiáng)度-頻率演變功率譜模型．然后，結(jié)合強(qiáng)度-頻率演變功率譜密度模型和非平穩(wěn)地震動過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)降維法[9-11]，生成610條與公路工程抗震規(guī)范相對應(yīng)的地震波樣本集合，并對模擬結(jié)果的二階統(tǒng)計(jì)量、演變功率譜密度函數(shù)和平均反應(yīng)譜進(jìn)行了分析，以驗(yàn)證本文方法的有效性．最后，將生成的概率完備的代表性時程集合和概率密度演化方法[12-13]結(jié)合，對范和港大橋的隨機(jī)地震動響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行了精細(xì)化的分析．

1 非平穩(wěn)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法

根據(jù)非平穩(wěn)地震動過程模擬的譜表示方法，對于零均值、雙邊演變功率譜密度函數(shù)為SX(t，ω)的非平穩(wěn)地震動過程X(t)(一維單變量隨機(jī)過程)可近似表示為[9]：

(1)

式中，SX(t，ω)滿足SX(t，ω0)=SX(t，0)=0；Δω=ωu/N為頻率步長，ωu為上截?cái)囝l率，N為頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù)，ωk=kΔω．Xk和Yk(k=1，2，…，N)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交的隨機(jī)變量，其滿足如下基本條件[9]：

E[Xk]=E[Yk]=0，E[XkYl]=0，

E[XkXl]=E[YkYl]=δkl

(2)

式中，E[·]為數(shù)學(xué)期望，δkl為Kronecker記號．

在式(1)中，當(dāng)N取有限項(xiàng)時，X(t)的均方相對誤差為[9]：

(3)

式中，T為地震加速度過程的持時．

在此模擬方法中，其核心在于確定式(1)中功率譜密度函數(shù)SX(t，ω)的表達(dá)式和正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}的表達(dá)式，利用隨機(jī)函數(shù)的降維思想[11]，式(1)中的{Xk，Yk}可方便的確定為：

(4)

其中，基本隨機(jī)變量Θ在區(qū)間(-π，π)上均勻分布．

2 時-頻非平穩(wěn)地震動模型

在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)非線性地震分析中，一般采用僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)的地震動模型，然而頻率非平穩(wěn)對結(jié)構(gòu)的非線性分析同樣有著重要的影響．為此，本文在平穩(wěn)地震動過程的Kanai-Tajimi功率譜[14-15]基礎(chǔ)上，采用文獻(xiàn)[7]中的方法構(gòu)造了一類時-頻非平穩(wěn)地震動模型．

首先，根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]，Kanai-Tajimi的廣義功率譜可定義如下：

(5)

(6)

式中，ωg(t)和ω0分別為場地土的時變頻率和卓越圓頻率；ζg(t)和ζ0分別為場地土的時變阻尼比和阻尼比．參數(shù)ω0、ζ0和a、b可根據(jù)場地類別來確定；S0(t)為譜強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為：

(7)

其次，選取強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，本文選取Shinozuka提出的一種強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)[16]：

(8)

(9)

式中，t*為地震動峰值到達(dá)時間的均值，參數(shù)c和d可根據(jù)場地類別來確定，且參數(shù)c和d反映了地震動過程的強(qiáng)度非平穩(wěn)性．

最后，根據(jù)上述Kanai-Tajimi的廣義功率譜模型和強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，可以給出如下修正的演變功率譜模型：

SX(t，ω)=|f(t)|2S(t，ω)

(10)

式中，SX(t，ω)為演變功率譜密度函數(shù)．

圖1為采用本文方法生成的時-頻演變功率譜密度函數(shù)圖，從圖中可以看出在頻域和時域內(nèi)均表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)特性．

圖1 時-頻演變功率譜密度函數(shù)

3 非平穩(wěn)地震動過程的模擬與驗(yàn)證

為了生成非平穩(wěn)地震動代表性時程樣本集合，首先需要對基本隨機(jī)變量Θ選取代表性點(diǎn)集，本文對基本隨機(jī)變量在區(qū)間(-π，π)上選取610個均勻散布的代表性點(diǎn)，同時計(jì)算每一個代表性點(diǎn)的賦得概率為1/610．然后，將選取的每一個代表性點(diǎn)代入式(4)中，并完成一一映射，便可得到標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}的代表性集合．最后，將正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}帶入到非平穩(wěn)地震動隨機(jī)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)模擬公式(1)中便可生成非平穩(wěn)地震動過程的代表性時程．

表1 演變功率譜模型參數(shù)

圖2為采用本文方法生成的非平穩(wěn)地震動過程代表性時程，從圖中可知，代表性樣本具備地震動時程的典型特征，且強(qiáng)震階段一般出現(xiàn)在1/6～1/3持時范圍內(nèi)；圖3為生成的610條加速度時程的平均傅里葉幅值譜，其反映了地震動能量在頻域中的分布，從圖中可以看出，不同頻率諧波振動所攜帶的能量主要分布在0～15 Hz范圍內(nèi)．

圖4為采用本文方法模擬的610條地震動加速度時程集合的均值及標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)均值及標(biāo)準(zhǔn)差的比較圖，從圖中可知，模擬值與目標(biāo)值十分接近，集合均值和集合標(biāo)準(zhǔn)差均在目標(biāo)均值和目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的上下波動，總體上與目標(biāo)值的相對誤差均在5%以內(nèi)．對應(yīng)地，圖5為采用本文方法生成610條地震動加速度時程集合的估計(jì)反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較，從圖中可知，模擬值與三段式的規(guī)范反應(yīng)譜擬合很好．上述對比分析說明了利用本文方法生成的地震動加速度時程具有較高的精度，可以用于工程結(jié)構(gòu)抗震分析．

圖4 610條代表性時程二階統(tǒng)計(jì)值與目標(biāo)值比較

圖5 平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較

4 范和港跨海斜拉橋抗震分析

由于非平穩(wěn)地震動隨機(jī)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法生成的地震動加速度時程具有給定的概率信息，且所有的代表性時程構(gòu)成一個完備的概率集，因而可結(jié)合概率密度演化理論對范和港跨海大橋的隨機(jī)地震響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行精細(xì)化的分析．

范和港跨海大橋的基本參數(shù)如下[17]，橋梁跨徑(52.5+99.5+300+99.5+52.5)=604 m，橋面寬26.9 m，采用雙塔單索，塔高28.31 m．主梁采用C55混凝土，截面形式為單箱三室三角箱型，橫隔梁間距為6 m，箱梁底板厚度為25 cm，頂板為27 cm．索塔為獨(dú)柱塔型，順橋和橫橋向分別寬6.9 m和3.4 m，順橋向1.5 m，橫橋向壁厚0.8 m至1.1 m，索塔采用C60混凝土．主塔與主墩剛接，主墩為圓端形截面，長端沿順橋向?yàn)?3.8 m至15 m，短端沿縱橋向?yàn)?.8 m至7 m，壁厚1 m至2 m．全橋設(shè)23對一共184根斜拉索，采用8種規(guī)格拉索，從PES(FD)7-109到PES(FD)7-211，拉索最小傾角約為24度，梁上索距為6 m，橫向2.2 m，塔上豎向索距為1.6 m，橫向?yàn)?.8 m．采用有限元軟件Midas Civil對范和港斜拉橋進(jìn)行有限元建模，如圖6所示．

圖6 范和港大橋有限元模型

采用多重Ritz向量法對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析以獲取橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率和各階振型，限于篇幅，僅列出部分模態(tài)，見表2．

表2 結(jié)構(gòu)部分動力特性

從表中可知：該斜拉橋結(jié)構(gòu)的基頻為0.421 5 Hz，對應(yīng)的振型為主塔一致側(cè)彎，這是因?yàn)樗魉?、主梁、主墩采用了固結(jié)形式，有很大的整體剛度；且前三階模態(tài)的振型均表現(xiàn)為主塔側(cè)彎，說明橋塔的橫向剛度很小；結(jié)構(gòu)的頻譜較為密集，振型分布均勻，尤其高階振型表現(xiàn)為明顯的相互耦合作用．

值得說明的是，式(1)所定義的譜表示模擬公式僅適用于一維單變量隨機(jī)過程，其模擬結(jié)果只能獲得單點(diǎn)地震動輸入，同時為簡化計(jì)算，本文僅考慮一致激勵下的橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析，不考慮地震動的多維相關(guān)性以及空間變化特性．將采用本文方法生成的610條代表性時程輸入到結(jié)構(gòu)有限元模型中進(jìn)行確定性的動力時程分析，并結(jié)合概率密度演化方法，考慮縱向+橫向和縱向+豎向兩種地震輸入方式，對范和港跨海大橋的非線性地震響應(yīng)及抗震可靠度進(jìn)行精細(xì)化的分析．方向組合采用SRSS方法，其中水平向地震加速度峰值為0.2g，豎向地震加速度峰值取水平向的0.6倍．限于篇幅，本文僅給出縱向+橫向地震輸入方式下主墩墩底彎矩響應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)量和典型時刻的概率信息，如圖7所示，從圖中可以看出，橋梁結(jié)構(gòu)在地震作用下產(chǎn)生強(qiáng)烈的非平穩(wěn)響應(yīng)，且主墩墩底彎矩不同時刻的典型概率密度曲線表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性特點(diǎn)．

圖7 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的概率信息

在上述橋梁結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震動響應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合等價極值事件的思想[12]，分別取主墩墩底的軸力和彎矩作為可靠度評價指標(biāo)，對橋梁結(jié)構(gòu)抗震可靠度進(jìn)行定量的評價．根據(jù)大量的震害資料，分別選取可靠度閾值為1.8×104kN和1.0×106kN·m．圖8為縱向+橫向和縱向+豎向地震輸入方式下的橋梁抗震可靠度計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出，當(dāng)采用軸力作為可靠度指標(biāo)時，縱向+橫向和縱向+豎向地震輸入方式下的可靠度分別為100%和65%；當(dāng)采用墩底彎矩作為可靠度指標(biāo)時，兩種地震輸入方式下的可靠度曲線幾乎重合，且抗震可靠度均為100%，這說明橫向地震激勵和豎向地震激勵對主墩墩底彎矩的影響是一致的．對比圖8(a)和圖8(b)可以發(fā)現(xiàn)，對于同一失效閾值，軸力在縱向+豎向地震輸入方式下的可靠度遠(yuǎn)小于縱向+橫向地震輸入的抗震可靠度，這說明豎向地震激勵對墩底軸力的可靠度有較大的影響，其抗震可靠度明顯不滿足，因此在橋梁結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中需重點(diǎn)考慮豎向地震激勵對主墩墩底軸力的影響．

圖8 結(jié)構(gòu)抗震可靠度

5 結(jié) 論

本文在平穩(wěn)地震動過程的Kanai-Tajimi功率譜基礎(chǔ)上，建議了一類時-頻非平穩(wěn)地震動演變功率譜模型，結(jié)合《公路工程抗震規(guī)范》(JTG B02-2013)和非平穩(wěn)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)降維方法，生成了與規(guī)范反應(yīng)譜相一致的地震動加速度代表性時程集合．利用 有限元軟件建立斜拉橋有限元模型，對橋梁非平穩(wěn)地震響應(yīng)進(jìn)行了概率密度演化分析．在此基礎(chǔ)上，結(jié)合等價極值事件的思想，分別選用主墩墩底軸力和彎矩作為可靠度評價指標(biāo)，對橋梁結(jié)構(gòu)抗震可靠度進(jìn)行了精細(xì)化的分析．研究結(jié)果表明，地震動隨機(jī)過程的時-頻非平穩(wěn)演變功率譜模型能夠充分體現(xiàn)強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性，且該模型與規(guī)范結(jié)合緊密，從而可以方便地用于工程實(shí)踐．對范和港跨海大橋的抗震分析表明，豎向地震激勵對墩底軸力的可靠度有較大的影響，因而在進(jìn)行橋梁設(shè)計(jì)時需重點(diǎn)考慮豎向地震激勵對主墩墩底軸力的影響．