(大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連，116024)

1 引言

斜圈彈簧又名彈簧觸指，最早由ABB發(fā)明并應(yīng)用于開關(guān)行業(yè)。作為一種電接觸形式以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、載流量大、體積小、成本低等眾多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于電力、能源等行業(yè)。近年來又在斜圈彈簧的環(huán)圈結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上發(fā)展出二次螺旋結(jié)構(gòu)的新形式，即二次螺旋斜圈彈簧。這種彈簧在保持斜圈彈簧原有電性能、可靠性的基礎(chǔ)上大幅降低了制造成本，在新能源領(lǐng)域(充電樁)一些電連接器廠家正積極采用這種接觸方式。

然而，欲對(duì)這兩種彈簧進(jìn)行3D建模卻遇到了較大的困難，必須通過較復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模寫出這種異型螺旋線的參數(shù)方程。

根據(jù)螺旋線的結(jié)構(gòu)可分為正彈簧和斜彈簧兩種形式，又根據(jù)螺旋線中心軸走向可分為直線式、環(huán)圈式、(二次)螺旋式三種形式。組合后可得到六種螺旋線結(jié)構(gòu)，如圖1至圖6所示。

本文擬以這六種彈簧，由簡(jiǎn)到繁逐步探討其數(shù)學(xué)建模方法。

圖1 直線正彈簧 圖2 直線斜彈簧

圖3 正圈彈簧 圖4 斜圈彈簧

圖5 二次螺旋正彈簧

圖6 二次螺旋斜彈簧

2 直線正螺旋線與斜螺旋線

2.1 直線正螺旋參數(shù)方程

圖1所示的直線正螺旋，其螺旋線是數(shù)學(xué)上常見的圓柱螺旋線，設(shè)r為螺旋線投影圓的半徑，A為螺旋線的螺距。

寫為矩陣形式：令X，Y，Z為坐標(biāo)軸的基底，即X=(1,0,0)′ Y=(0,1,0)′ Z=(0,0,1)′。則其參數(shù)方程矩陣形式為：

轉(zhuǎn)換為一般參數(shù)方程為：

(1)

2.2 直線斜螺旋參數(shù)方程

直線斜螺旋線的包絡(luò)面和正螺旋線一樣為圓柱形，區(qū)別在于Z軸方向進(jìn)行了傾斜處理，我們可以在Z軸增加一項(xiàng)周期性擾動(dòng)，即可達(dá)到使傾斜目的。

于是可以直接得到該螺旋線的一般參數(shù)方程為：

(2)

r與A的意義和正螺旋線一樣，d是衡量?jī)A斜多少的一個(gè)參數(shù)。

工程上習(xí)慣使用傾角θ描述螺旋的傾斜程度，下面討論如何用θ取代式(2)中的參數(shù)d。用與正螺旋線相似的矩陣法，將X軸旋轉(zhuǎn)θ。

?。篨=(1,0,tanθ)′ Y=(0,1,0)′ Z=(0,0,1)′，有：

將其寫為一般參數(shù)方程為:

(3)

在形式上和方程(2)無異，但解釋了參數(shù)d的含義，θ為其傾角。對(duì)比方程(2)、(3)，不難得出： d=rtanθ

3 環(huán)形螺旋線參數(shù)方程

接下來進(jìn)行環(huán)形螺旋線的數(shù)學(xué)建模。前面討論的直線形螺旋線均為沿著Z軸發(fā)展。而環(huán)形螺旋線卻是按照?qǐng)A形軌跡發(fā)展的，如圖5。

圖5 環(huán)形螺旋線

設(shè)軌跡圓半徑R，其軌跡圓的參數(shù)方程：

如何在軌跡圓上建立螺旋線呢？需要使用空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在軌跡圓上任取一點(diǎn)的切線(cost,-sint,0)，以該切線為旋轉(zhuǎn)軸，并在該旋轉(zhuǎn)軸的垂直平面上建立一組正交基底：X=(sint,cost,0)′ Y=(0,0,1)′，根據(jù)螺旋線方程，我們便能寫出在這組基底下的螺旋擾動(dòng)，由于該擾動(dòng)和軌跡圓的參數(shù)方程共用一個(gè)參數(shù)t，所以需要增加一個(gè)參數(shù)M來控制擾動(dòng)螺旋的圈數(shù)，其參數(shù)方程矩陣形式為：

寫為一般參數(shù)方程為：

(4)

其中R為軌跡圓半徑，r為擾動(dòng)螺旋半徑(即小螺旋半徑)，M為擾動(dòng)圈數(shù)。

4 二次螺旋線參數(shù)方程

4.1 二次正螺旋線參數(shù)方程

所謂二次螺旋線，就像將一根直線彈簧繞成一個(gè)更大的螺旋狀，如圖6。這里我們將大螺旋稱為軌跡螺旋，小螺旋稱為擾動(dòng)螺旋。建模的方法是在軌跡螺旋線的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)擾動(dòng)螺旋。其主要思想是將軌跡螺旋上任一點(diǎn)的切線方向作為擾動(dòng)螺旋的旋轉(zhuǎn)軸，再通過該點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)軸垂直的平面上建立一個(gè)正交坐標(biāo)系。但在一個(gè)平面中有無窮多種建立正交坐標(biāo)系的方法。這里我們規(guī)定將其中一個(gè)坐標(biāo)軸與XOY平面平行，這樣這個(gè)坐標(biāo)系就可以唯一確定。下面是具體過程。

圖6 二次螺旋線

令軌跡螺旋線的參數(shù)方程為：

則任一點(diǎn)切線方向?yàn)?cost,-sint,A/2Rπ)，我們?nèi)∨c之垂直且與XOY平面平行的線的方向X′=(sint,cost,0)，最后我們就可以唯一確定一條與前面兩條線都垂直的方向Y′，注意要將Y單位化。參數(shù)方程矩陣形式為：

其中R為軌跡螺旋線半徑，A為軌跡螺旋線截距，r為擾動(dòng)半徑，M為擾動(dòng)螺旋的圈數(shù)。

將其寫成一般參數(shù)方程的形式：

4.2 二次斜螺旋線參數(shù)方程

二次螺旋斜彈簧(圖6)的數(shù)學(xué)建模是本文最終的目的。我們已有二次正螺旋方程式(5)，當(dāng)前的任務(wù)是在式(5)基礎(chǔ)上將擾動(dòng)螺旋進(jìn)行傾斜。我的思路是，在選擇擾動(dòng)螺旋的坐標(biāo)系基底時(shí)，偏轉(zhuǎn)其X軸和Y軸，達(dá)到擾動(dòng)螺旋傾斜的目的。其參數(shù)方程矩陣形式如下：

由于擾動(dòng)螺旋是斜螺旋，故式中X,Y的選取并非正交的，但是同樣能達(dá)到螺旋旋轉(zhuǎn)的目的。

由于擾動(dòng)螺旋半徑在正螺旋和斜螺旋中的定義有所區(qū)別，為方便調(diào)用，使用MATLAB進(jìn)行建模。自定義myfun函數(shù)(參見附錄：myfun(a,b,h,c,d,e,f,g))

共設(shè)置了8個(gè)控制變量，其含義如下：

a為軌跡螺旋半徑；b為軌跡螺旋螺距；h為擾動(dòng)螺旋形狀(h=1時(shí)，擾動(dòng)螺旋包絡(luò)面為圓；h=0時(shí)，擾動(dòng)螺旋包絡(luò)面為橢圓，即該螺旋線在二次螺旋形變前為正螺旋線)；c為擾動(dòng)螺旋半徑(h=1時(shí)，為包絡(luò)面半徑；h=0時(shí)，為二次螺旋形變前的正螺旋半徑)；d為軌跡螺旋一圈擾動(dòng)螺旋圈數(shù)；e為軌跡螺旋軸向方向二次螺旋的偏角；f為軌跡螺旋切線方向二次螺旋的偏角；g為參數(shù)t的最大取值(即軌跡螺旋的總長(zhǎng)度)。

得到二次斜螺旋線如圖7：

圖7 二次斜螺旋線

最后在MATLAB中將該曲線輸出為一個(gè)點(diǎn)陣txt 文件，再通過三維CAD軟件輸入該點(diǎn)陣txt文件，即可建立該曲線模型。

5 結(jié)束語

本文由圓柱螺旋線入手，逐步探討了正、斜螺旋、環(huán)圈螺旋、二次螺旋的變形特點(diǎn)，梳理出若干特征參數(shù)，通過空間坐標(biāo)變換方法成功實(shí)現(xiàn)了這六類螺旋的數(shù)學(xué)建模。并通過自定義的控制變量可以實(shí)現(xiàn)螺旋線的大、小直徑、螺距、形狀、傾角等參數(shù)的自由調(diào)節(jié)，方便產(chǎn)品設(shè)計(jì)師任意更改螺旋參數(shù)。解決了本類螺旋線建模的數(shù)學(xué)問題。

附錄

4.2中的myfun函數(shù)：

function [x,y,z]=myfun(a,b,h,c,d,e,f,g);

t=0:1/1000:g;

if h==0

x=a*sin(t)+(c/cos(e))*sin(d*t).*(cos(e)*cos(t)/sqrt(1+(a/b)^2)+sin(e)*cos(t)/sqrt(1+(b/a)^2))+(c/cos(f))*cos(d*t).*sin(t+f);

y=a*cos(t)-(c/cos(e))*sin(d*t).*(cos(e)*sin(t)/sqrt(1+(a/b)^2)-sin(e)*sin(t)/sqrt(1+(b/a)^2))+(c/cos(f))*cos(d*t).*cos(t+f);

z=b*t+(c/cos(e))*sin(d*t)*(-cos(e)*(a/b)/sqrt(1+(a/(b))^2)+sin(e)*(b/a)/sqrt(1+(b/a)^2));

elseif h==1

x=a*sin(t)+c*sin(d*t).*(cos(e)*cos(t)/sqrt(1+(a/b)^2)+sin(e)*cos(t)/sqrt(1+(b/a)^2))+c*cos(d*t).*sin(t+f);

y=a*cos(t)-c*sin(d*t).*(cos(e)*sin(t)/sqrt(1+(a/b)^2)-sin(e)*sin(t)/sqrt(1+(b/a)^2))+c*cos(d*t).*cos(t+f);

z=b*t+c*sin(d*t)*(-cos(e)*(a/b)/sqrt(1+(a/(b))^2)+sin(e)*(b/a)/sqrt(1+(b/a)^2));

end

plot3(x,y,z)

axis equal;